2024學(xué)年寧德市古田一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月第三次月考試卷附答案解析

學(xué)年寧德市古田一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月第三次月考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若函數(shù)，則滿足的的取值范圍為()A．B．C． D．4．已知，是兩個(gè)非零平面向量，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．在1和11之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．若這個(gè)數(shù)中第1個(gè)為，第個(gè)為，則的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．6．在三角形內(nèi)到其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)，在中，若，且，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為（

）A．B．C． D．7．正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．18．已知函數(shù)若方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．是增函數(shù) D．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小正周期為B．函數(shù)過(guò)定點(diǎn)C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為D．函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．無(wú)論點(diǎn)在線段的什么位置，都有平面平面C．線段上存在點(diǎn)，使平面平面D．為上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，直線與所成角最小三、本題共3小題，每小題5分，共15分．12．底面直徑為2的圓錐，它的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的表面積為．13．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.14．如圖，在中，，，直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，且的面積是面積的一半.設(shè)，，記y=fx，則的最小值與最大值之和為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(13分)若銳角中，、、所對(duì)的邊分別為、、，且的面積為(1)求；(2)求的取值范圍.16．（15分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為且.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.17．（15分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角三角形，，點(diǎn)、分別在、上，且，，.(1)若平面，求；(2)若，求二面角的余弦值.18．(17分)定義：記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若f'x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f'x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；(2)若為區(qū)間上的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.19．（17分）正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，定義.當(dāng)集合中恰有個(gè)元素時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).（1）判斷集合，是否具有性質(zhì)；（2）若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值;（3）若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問(wèn)：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案題號(hào)1234567891011答案DABCCBBAADBCABD8．A【詳解】作出圖像，令，則方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且，則，解得，故選：.11．ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于AB，的面積為，所以，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，連接，易知面，又面，所以，又分別為棱的中點(diǎn)，則，而，所以，又面，，所以面，又面，所以平面平面，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0、、、、、、、，、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1由，取，可得，設(shè)，可得點(diǎn)，其中，則，所以，解得，故平面與平面不平行，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，，，設(shè)直線與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.12．13．14．15．【詳解】（1）由余弦定理，，又三角形面積為， 2分則，又由題，則； 5分（2）由（1），，又為銳角三角形，則. 7分由正弦定理：.因在上單調(diào)遞增，則時(shí)，. 10分則，即. 13分16．【詳解】（1）設(shè)公比為，由可得， 2分又，解得或， 4分由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，故； 5分（2）由可得， 7分， 9分故 11分. 15分17．【詳解】（1）在線段上取一點(diǎn)，使，連接、，在中，因?yàn)?，，所以?2分所以且，因?yàn)榍遥瑒t四邊形為平行四邊形，則，且，所以，所以，、、、四點(diǎn)共面，若平面，平面，平面平面，所以，，因?yàn)椋?，四邊形為平行四邊形?4分所以，，故，故當(dāng)平面時(shí)，. 6分（2）因?yàn)榈酌妫?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋瑒t，，因?yàn)?，，則，又因?yàn)?，，則、、、， 8分設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則，取，則， 10分設(shè)平面的法向量為n=x2,y2則，取，則， 12分所以，， 14分由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以，二面角的余弦值為. 15分18．【詳解】（1）由題意得，，記f'x的導(dǎo)函數(shù)為f則，所以f'x在區(qū)間0,+所以為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù). 2分（2）由題意得，，則，令，則，故. 3分令，則，故在上單調(diào)遞增，故， 5分則，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 6分（3）由題意得，.當(dāng)時(shí)，，符合題意， 7分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，則即證，即證，設(shè)，則，所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故.故當(dāng)時(shí)，，即成立. 10分當(dāng)時(shí)，由（1）知在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以，使得，所以，因?yàn)椋?，所? 11分i）當(dāng)時(shí)，，即證，設(shè)，則，所以Fx在上單調(diào)遞減，所以. 14分ii）當(dāng)時(shí)，，即，即證，設(shè)，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則，則，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，. 16分綜上，當(dāng)時(shí)，. 17分19【詳解】【小問(wèn)1詳解】具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).若，則，恰有個(gè)元素，所以具有性質(zhì)； 2分若，，有5個(gè)元素，，不具有性質(zhì). 17分 4分【小問(wèn)2詳解】當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)時(shí)，因?yàn)橹兴性啬軜?gòu)成等比數(shù)列，不妨設(shè)元素依次為構(gòu)成等比數(shù)列，則，其中互不相同.于是這與具有性質(zhì)，中恰有個(gè)元素，即任取中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾. 6分當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)恰有3個(gè)時(shí)，取時(shí)滿足條件，所以集合中的元素個(gè)數(shù)最大值為3. 8分【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，不妨設(shè)，所以. 9分（1）當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，其中互不相同.這與中恰有個(gè)元素，即任取中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾. 11分（2）當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列，第3項(xiàng)是或.①若第3項(xiàng)是，則，即，