初中九年級數學培優(yōu)訓練(奧數)專題27數形結合

初中九年級數學培優(yōu)訓練（奧數）專題27數形結合閱讀與思考數學研究的對象是現(xiàn)實世界中的數量關系與空間形式，簡單地說就是“數”與“形”，對現(xiàn)實世界的事物，我們既可以從“數”的角度來研究，也可以從“形”的角度來探討，我們在研究“數”的性質時，離不開“形”；而在探討“形”的性質時，也可以借助于“數”．我們把這種由數量關系來研究圖形性質，或由圖形的性質來探討數量關系，即這種“數”與“形”的相互轉化的解決數學問題的思想叫作數形結合思想.數形結合有下列若干途徑：1．借助于平面直角坐標系解代數問題；2．借助于圖形、圖表解代數問題；3．借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問題；4．借助于函數解幾何問題.現(xiàn)代心理學表明：人腦左半球主要具有言語的、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具有非言語的、綜合的、直觀的、音樂的、幾何圖形識別的形象思維的功能．要有效地獲得知識，則需要兩個半球的協(xié)同工作，數形結合分析問題有利于發(fā)揮左、右大腦半球的協(xié)作功能.代數表達及其運算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因為如此，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，用代數方法統(tǒng)一處理幾何問題．從而成為現(xiàn)代數學的先驅．幾何問題代數化乃是數學的一大進步．例題與求解【例1】設y=《x2+2x+2+Jx2—4x+13,則y的最小值為.（羅馬尼亞競賽試題）解題思路：若想求出被開方式的最小值，則顧此失彼.y=JQ+15+1+*x-2、+9=4+1,+6-11+.Q-21+6-31，于是問題轉化為：在x軸上求一點C（X,0）,使它到兩點A（-1,1）和B（2,3）的距離之和（即CA+CB）最小.【例2】直角三角形的兩條直角邊之長為整數，它的周長是X厘米，面積是X平方厘米，這樣的直角三角形（ ）A.不存在 B.至多1個 C.有4個 D.有2個（黃岡市競賽試題）解題思路：由題意可得若干關系式,若此關系式無解,則可推知滿足題設要求的直角三角形不存在；若此關系式有解,則可推知這樣的直角三角形存在,且根據解的個數,可確定此直角三角形的個數．

【例3】如圖，在△ABC中，/A=90。,/B=2ZC,/B的平分線交AC于D,AE±BC于E,111DF±BCDF±BC于F.求證：BD?DFAE?BFAE?BE（湖北省競賽試題）解題思路：圖形中含多個重要的基本圖形,待證結論中的代數跡象十分明顯．可依據題設條件,分別計算出各個線段,利用代數法證明．【例4】當a在什么范圍內取值時，方程,2-5x|=a【例4】當a在什么范圍內取值時，方程,2-5x|=a有且只有相異的兩實數根?（四川省聯(lián)賽試題）解題思路：從函數的觀點看，問題可轉化為函數y=x2-5x與函數j=a（a三0）圖象有且只有相異兩個交點.作出函數圖象，由圖象可直觀地得a的取值范圍.【例5】設4ABC三邊上的三個內接正方形（有兩個頂點在三角形的一邊上，另兩個頂點分別在三角形另兩邊上）的面積都相等，證明：△ABC為正三角形.（江蘇省競賽試題）解題思路：設△ABC三邊長分別為a,b,J對應邊上的高分別為h,h,h,△ABC的面積abc2S為S,則易得三個內接正方形邊長分別為一-a+ha2S一廠，由題意得a+hac+hc=b+h—c+hb c,2S2S 2S 2S即a+———b+———c+———L.則Ua,b,c適合方程x+———L.

abc xX2+xy+—=25,3【例6】設正數x,y,z滿足方程組一二+z2=9 ，求Xy+2yz+3z的值.3z2+zx+X2=16（俄羅斯中學生數學競賽試題）能力訓練.不查表可求得tan150的值為 .3\；3 八.如圖，點A,C都在函數y=——（X>0）的圖象上，點B,D都在X軸上，且使得^OAB,△xBCD都是等邊三角形，則點D的坐標為. （全國初中數學聯(lián)賽試題）.平面直角坐標系上有點P（—1,—2）和點Q（4,2）,取點R（1,m），當m=時，PR+RQ有最小值.TOC\o"1-5"\h\z.若a>0,b<0,要使|x—a+|x—b|二a—b成立，X的取值范圍是 ..已知AB是半徑為1的。O的弦，AB的長為方程X2+X—1=0的正根，則NAOB的度數是 . （太原市競賽試題）.如圖，所在正方形的中心均在坐標原點，且各邊與X軸或y軸平行，從內到外，它們的邊長依次為2,4,6,8,…，頂點依次用A,A,A,A，…表示，則頂點A的坐標是（ ）1 2 3 4 55A.(13,13)BA.(13,13)B．(—13,—13)C.(14,14)D.(—14,14)yy第2題圖第6題圖7.在△ABC中，/C=90°,AC=3,BC=4.在△ABD中，/A=90。yy第2題圖第6題圖7.在△ABC中，/C=90°,AC=3,BC=4.在△ABD中，/A=90。,AD=12.點C和點D分居AB兩側，過點D且平行于AC的直線交CB的延長線于E.如果"DBDEm,其中，m,n是互質的正整數，n那么m+n=(A.25)B.128C.153D.243E.256(美國數學統(tǒng)一考試題)8.設ac分別是△ABC的三邊的長，—：—，則它的內角NA，/B的關系是( )a+b+cA.ZB>2ZAB.ZB=2ZAC.NBV2NAD.不確定9.如圖A.SAAFG27——a11SAACGB.=4a,SABFG28—a11C.則S=(AAEG29. a11D.30—a11DC.滿足兩條直角邊邊長均為整數，且周長恰好等于面積的整數倍的直角三角形的個數有( )1個2個1個2個3個D.無窮多個.如圖，關于X的二次函數y=X2-2mx-m的圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(x2>0>x1),與y軸交于C點，且NBAC=NBCO.(1)求這個二次函數的解析式；

(2)以點D(2,,0)為圓心。D,與y軸相切于點0,過=拋物線上一點E(X3,t)(t>0,x3<0)作X軸的平行線與。D交于F,G兩點，與拋物線交于另一點H.問是否存在實數t，使得EF+GH=CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由. (武漢市中考題).已知正數a,b,c,A,B,C滿足a+A=b+B=c+C=k.求證：aB十bC+cA<k2..如圖，一個圓與一個正三角形的三邊交于六點，已知AG=2,GF=13,FC=1,HI=7,求DE.(美國數學邀請賽試題).射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點M,動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，<3cm為半徑的圓與△A5C的邊相切（切點在邊上）.請寫出/可以取的一切值：（單位：秒）.第14題圖15.如圖已知D是^ABC邊AC上的一點，AD：DC=2：1,ZC=450，/ADB=60015.如圖求證:AB求證:AB是^BCD的外接圓的切線.（全國初中數學聯(lián)賽試題）第15題圖16.如圖，在^ABC中，作一條直線l〃BC,且與AB、AC分別相交于D，E