浙江省A9協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省A9協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫(xiě)班級(jí)、學(xué)號(hào)和姓名；座位號(hào)寫(xiě)在指定位置；3.所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.直線l：3x+y﹣3＝0的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的斜率,故傾斜角滿足,又,故.故選：C.2.向量，，若，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由可得，因此可得，解得.故選：B3.若點(diǎn)在圓內(nèi)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，解得.故選：D.4.若直線與直線垂直，則的值是（）A.2 B.0 C.0或2 D.2或-2【答案】C【解析】直線與直線垂直則，解得或.故選；C.5.已知橢圓的下焦點(diǎn)是，上焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，由題意可知：，所以，所以，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：，所以，代入橢圓方程得：，所以點(diǎn)，則，，所以.故選：A.6.已知平面上兩定點(diǎn)，則滿足（常數(shù)且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)阿氏圓.已知在中,，，則面積的最大值是（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)因?yàn)榈没?jiǎn)得，易知，該圓圓心，三點(diǎn)共線，該圓半徑，所以面積最大值是.故選：D7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中為上頂點(diǎn)，且，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，設(shè)則由，可得，解得，即，又在橢圓上，故，即，故，即離心率.故選：B8.一條東西走向的高速公路沿線有三座城市，其中在正西處，在正東處，臺(tái)風(fēng)中心在城市西偏南方向處，且以每小時(shí)的速度沿東偏北方向直線移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)必須保持一級(jí)警戒，則從地解除一級(jí)警戒到地進(jìn)入一級(jí)警戒所需時(shí)間（單位：小時(shí)）在以下哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（）A. B. C. D.12,1【答案】A【解析】作與，作與，直線的方程為，故又可得，，，,從地解除一級(jí)警戒到地進(jìn)入一級(jí)警戒所需時(shí)間為小時(shí).故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.空間向量與垂直B.已知空間向量，，則在方向上的投影向量的模為C.已知向量，，，若可作為一組基底，則可取1D.若和分別是直線和直線方向向量，則兩直線所成夾角為【答案】BC【解析】對(duì)于A，由向量與，得，不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量，，在方向上的投影向量，其模為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，假定共面，即存在有序數(shù)對(duì)使得，則，于是，此方程無(wú)解，因此不共面，即當(dāng)時(shí)，可作為一組基底，C正確；對(duì)于D，由，而，解得，直線所成夾角為，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，為橢圓上任意一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8B.存在點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為4C.橢圓上存在4個(gè)不同的點(diǎn)，使得D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)A，由題意，則，故，解得，故橢圓，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)B，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，即，故，即不存在點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為4，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點(diǎn)，易得該圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，即橢圓上存在4個(gè)不同的點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)D，的周長(zhǎng)為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，故當(dāng)最大時(shí)最大，此時(shí)為上下頂點(diǎn)，，則，解得，故D正確.故選：ACD11.在數(shù)學(xué)中有“四瓣花”系列曲線，下列結(jié)論正確的有（）A.曲線恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）B.曲線夾在直線和直線之間C.曲線所圍成區(qū)域面積是所圍成區(qū)域面積的9倍D.曲線上任意兩點(diǎn)距離都不超過(guò)【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，，，有，，，有，，時(shí)，有，，時(shí)，，畫(huà)出圖形，如下：經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)有：，，，，，，，，，共9個(gè)，故A正確；B選項(xiàng)，曲線，當(dāng)，，有，即，當(dāng)，，有，即，當(dāng)，，有，即，當(dāng)，，有，即，畫(huà)出圖形，如下：其中，，故，則，故曲線由四個(gè)弓形組成，弓形的弓高為，是夾在直線和直線之間，故B正確.C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，表示的圖形可以分解為一個(gè)正方形和四個(gè)半圓，其中正方形邊長(zhǎng)為，半圓半徑為，故其面積為，同理，曲線也可以分解一個(gè)正方形和四個(gè)半圓，其中正方形邊長(zhǎng)為，半圓半徑為，其面積為，所圍成區(qū)域面積為所圍成的區(qū)域面積的9倍，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)，，有，即，當(dāng)，，有，即，當(dāng)，，有，即，當(dāng)，，有，即，畫(huà)出圖形，如下：連接兩圓心并延長(zhǎng)，分別與兩圓交于，則，D錯(cuò)誤.故選：ABC第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】，即，則，解得，則其經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故答案為：.13.在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為1，且它們兩兩所成夾角都是，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，則，故答案為：14.若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是__________.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，令，即，代入橢圓方程得，由，解得，，則（可驗(yàn)證等號(hào)可?。?，故的最小值是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為，點(diǎn)為.（1）求直線的方程；（2）的面積是否為定值？若是，求出該值.若不是，說(shuō)明理由.解：（1）由，得，由點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)得.（2）的面積為定值，由于，故，又點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)到直線的距離為定值，即為兩平行直線的距離，，，.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)和（1）若斜率為1的直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相交，截得的弦長(zhǎng)為，求圓的半徑；（2）已知點(diǎn)在圓上，且，若點(diǎn)存在兩個(gè)位置，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）圓化為，故，解得，所以圓心為，直線的方程為，圓心到直線距離為，由垂徑定理得，解得.（2）點(diǎn)在以為直徑的圓上，由于點(diǎn)和，故此圓方程為，從而圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，其中圓心距，只需滿足，得，即，解得17.如圖，，，且，平面平面，四邊形為正方形.（1）求證：.（2）若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)到平面距離為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，連接，，，，又，，又平面平面，且交線為，平面，且平面,，而四邊形為正方形，則，且，平面，平面，平面，.（2），平面平面，且交線為，平面，平面，平面，故平面平面，從而點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離，且為，又點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)到平面距離為，故點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）.如圖，取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.又，，設(shè)平面的法向量，則，不妨令，可得，，，設(shè)平面的法向量n=x2,則，不妨令，可得，故平面的法向量設(shè)平面與平面所成角為，，由圖可知平面與平面所成角銳角，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）求四邊形的面積的最小值.解：（1）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線垂直于軸，，，即，在上，所以，解得：，，所以橢圓方程為；（2）由（1）F1-1,0，F(xiàn)2則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值2當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值3，所以的取值范圍為（3）（i）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得，必有，設(shè)，，則，，；因?yàn)榕c相交于點(diǎn)，且的斜率為，所以.四邊形的面積當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào).（ii）當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r(shí)，四邊形的面積6.綜上，四邊形的面積的最小值為.19.在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空間向量為該平面的一個(gè)法向量.有四個(gè)平面，，，（1）若平面與平面互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）請(qǐng)利用法向量和投影向量的相關(guān)知識(shí)證明：點(diǎn)到平面的距離為；（3）若四個(gè)平面，，，圍成的四面體的外接球體