浙江省杭州市2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡的相應(yīng)位置.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，解得，則，所以.故選：A2.函數(shù)是（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【答案】B【解析】當(dāng)x>0時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，又,綜上可得，f-x即函數(shù)為偶函數(shù).故選：B3.已知直線y=2x是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】的漸近線方程為，因此，故，故離心率為，故選：A4.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則"是偶函數(shù)"是""的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意可得，由是偶函數(shù)可得，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由是偶函數(shù)可得或，故充分性不滿足；當(dāng)時(shí)，可得為偶函數(shù)，故必要性滿足；所以"是偶函數(shù)"是""的必要不充分條件.故選：B5.已知向量，若，則（）A.1或 B.或C.或2 D.或1【答案】D【解析】，∵，∴，即∴∴或.故選：D.6.設(shè)，滿足.若函數(shù)存在零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋揖鶠閱握{(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)，由于，故，滿足，說(shuō)明中有1個(gè)是負(fù)數(shù)一定是，兩個(gè)正數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，由于存在零點(diǎn)，故．故選：B．7.已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】由可得，故選：C8.對(duì)，不等式恒成立，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】由得，對(duì)于選項(xiàng)A、B，若，可令，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，綜上可得，不存在使得不等式恒成立，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C、D，若，∵∴，∴，要使不等式恒成立，則需，∵函數(shù)在為增函數(shù)，∴函數(shù)有相同的零點(diǎn)，由得，由得，，∴，即，∴，∴，選項(xiàng)D正確.故選D.二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.若，則B.若，則C.若，則在0,1上單調(diào)遞減D.若，則在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對(duì)于AB，，因?yàn)椋允堑臉O小值點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】令，，則令，則則，，∴或令，則若，則，矛盾，∴，則，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，∴B選項(xiàng)正確；令，則，則，即，C選項(xiàng)正確；由A、C選項(xiàng)中結(jié)論，令，則，則令，則，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是_________.【答案】【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，因此，所求切線的斜率為，故答案為.13.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都不為0，滿足①；②.則_____，_____.（寫出滿足條件的一組和）【答案】【解析】設(shè)，則，，由，整理得，即，所以，可取，所以.故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）14.已知雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率分別記為，設(shè)雙曲線的漸近線分別為和.若，則_____.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在漸近線上，不合題意；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，同理，因?yàn)?，所以，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，所以，即，綜上所述，.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知在中，.（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由;（2）若點(diǎn)在AB邊上，且.若，求的面積.解：（1）由可得，故，進(jìn)而，由于,故，又，故,化簡(jiǎn)可得,故，由于B∈0,π,故進(jìn)而,故三角形為直角三角形，（2）由于，，且為直角三角形，設(shè)，則,故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得，故16.在直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為.（1）求的方程;（2）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在上，求的值.解：（1）因?yàn)榈耐饨訄A的面積為，則其半徑為，且外接圓的圓心一定在的垂直平分線上，其中焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以圓心的橫坐標(biāo)為，則圓心到準(zhǔn)線的距離為，即，所以的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)-1,1關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，即，化簡(jiǎn)可得①，由對(duì)稱性又可知，-1,1和所在直線與垂直，則②，聯(lián)立①②可得，，解得，所以，又因?yàn)樵趻佄锞€上，則，即，即，即，即，所以，其中時(shí)，，所以，所以，即.17.設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且.定義事件的信息量為，稱的平均信息量為信息熵.（1）若，求此時(shí)的信息熵;（2）最大熵原理:對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件的概率分布進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復(fù)雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風(fēng)險(xiǎn)最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定.證明:，并解釋等號(hào)成立時(shí)的實(shí)際意義.（參考不等式:若，則）解：（1）當(dāng)時(shí)，，且，∴，∴（2）令，則，∴有題意可知當(dāng)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)最小（最合理）的決定，∴當(dāng)隨機(jī)變量中每個(gè)變量發(fā)生的概率相同的時(shí)候，這時(shí)事物中每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相同，情況分析是最復(fù)雜的，也是最合理的.18.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間;（2）若，求證:;（3）若使得，求證:.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則令，則，令，∵，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是0,+∞，無(wú)增區(qū)間.（2）∵，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，令，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.（3），∴，令，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴.不妨設(shè)，則，，先證：，易知在處的切線方程為，該切線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，令，則，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，此時(shí)，∴當(dāng)x∈0,1時(shí)，圖像在hx下方∴，∴，再證，設(shè)，，易知直線方程為，直線方程為，則直線，與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，∴，∵，同理可證：，∴，類似的可以證明，∴，即，∴19.已知正項(xiàng)有窮數(shù)列，設(shè)，記的元素個(gè)數(shù)為.（1）若數(shù)列，求集合，并寫出的值;（2）若是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證:”的充要條件是“為等比數(shù)列”;（3）若，數(shù)列由這個(gè)數(shù)組成，且這個(gè)數(shù)在數(shù)列中每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求的取值個(gè)數(shù).解：（1）因?yàn)椋?，，，故所以，；?）充分性：若是等比數(shù)列，設(shè)公比為．不妨考慮數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．則當(dāng)時(shí)，．所以，故，得證.必要性：若．因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以且互不相等,又，所以，又，所以，且互不相等．所以，，，．所以，所以為等比數(shù)列；若為單調(diào)遞減數(shù)列，同理可證.（3）因?yàn)閿?shù)列由這個(gè)數(shù)組成，