2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題04 函數(shù)的概念與性質(zhì)5題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

專題04函數(shù)的概念與性質(zhì)5題型分類1．函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}2．函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的3．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值4．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱5．函數(shù)的周期性周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.（一）函數(shù)的概念與表示1．函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．2．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．4．函數(shù)的定義域（1）無(wú)論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合．（2）若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出．（3）若復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在[a，b]上的值域．5．函數(shù)解析式的求法（1）配湊法．（2）待定系數(shù)法．（3）換元法．（4）解方程組法．6．分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題思路（1）求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．（2）求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．題型1：函數(shù)的概念與表示1-1．（2024高二下·寧夏吳忠·學(xué)業(yè)考試）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的概念判斷【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于一個(gè)，只能有唯一的與之對(duì)應(yīng)，只有D滿足要求故選：D1-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)從定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系兩個(gè)方面一一驗(yàn)證，即可得到正確答案.【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋远x域相同.又對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以為同一個(gè)函數(shù).故C正確；對(duì)于D：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?因?yàn)槎x域不同，所以和不是同一個(gè)函數(shù).故D錯(cuò)誤；故選：C1-3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6【答案】A【分析】由分段函數(shù)解析式，利用周期性求得，進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由分段函數(shù)知：當(dāng)時(shí)，周期，所以，所以．故選：A1-4．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】解不等式即可得函數(shù)的定義域.【詳解】令，可得，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.1-5．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坑深}意知，解不等式即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以在函?shù)中，，解得或，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.1-6．（2024高一上·湖南邵陽(yáng)·期末）已知的定義域?yàn)?，那么a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，的解集為，由即可求出．【詳解】依題可知，的解集為，所以，解得．故答案為：．1-7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)的值域是，分步求出的值域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?-8．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】先求函數(shù)的定義域，由于，在結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和根式的性質(zhì)求函數(shù)的值域．【詳解】由有意義可得，所以，的定義域?yàn)?，，設(shè)，則，，則.故答案為：．1-9．（2024高一·上海·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.【分析】（1）先分離常數(shù)，利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可；（2）直接利用二次函數(shù)性質(zhì)求分母取值范圍，再求y的取值范圍即得結(jié)果；（3）先求定義域，再利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)取值范圍即可；（4）變形得，即可得解；（5）利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可；（6）令，則，將函數(shù)變形為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（7）求出函數(shù)定義域，平方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域即可；（8）直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性逐步求值域即可；（9）先分離常數(shù)，利用分式函數(shù)有意義直接得到值域即可；（10）先進(jìn)行換元，再利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解值域即可.【詳解】解：（1）分式函數(shù)，定義域?yàn)椋?，所有，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，分母，則，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，令得，易見(jiàn)函數(shù)和都是減函數(shù)，故函數(shù)在時(shí)是遞減的，故時(shí)，故值域?yàn)?；?），故值域?yàn)榍?；?），而，，，，即，故值域?yàn)椋唬?）函數(shù)，定義域?yàn)?，令，所以，所以，?duì)稱軸方程為，所以時(shí)，函數(shù)，故值域?yàn)椋唬?）由題意得，解得，則，故，，，由y的非負(fù)性知，，故函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，故，即值域?yàn)?；?）函數(shù)，定義域?yàn)?，故，所有，故值域?yàn)椋唬?0）函數(shù)，令，則由知，，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在遞減，在遞增,可知時(shí)，，故值域?yàn)?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)值域常見(jiàn)方法：（1）單調(diào)性法：判斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域（包括常見(jiàn)一次函數(shù)、二次函數(shù)、分式函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)等）；（2）換元法：將復(fù)雜函數(shù)通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化到常見(jiàn)函數(shù)上，結(jié)合圖象和單調(diào)性求解值域；（3）判別式法：分式函數(shù)分子分母的最高次冪為二次時(shí)，可整理成關(guān)于函數(shù)值y的二次方程，方程有解，判別式大于等于零，即解得y的取值范圍，得到值域.1-10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；(4)已知滿足，求的解析式.【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）設(shè)，由換元法可得出答案.（2）由，由配湊法可得答案.（3）可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，利用待定系數(shù)法可得答案.（4）將x用替換,由方程消元法可得答案.【詳解】（1）設(shè)，，則∵∴，即，（2）∵由勾型函數(shù)的性質(zhì)可得，其值域?yàn)樗裕?）由f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，∴解得∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.（4）∵2f(x)+f(-x)=3x，①∴將x用替換，得，②由①②解得f(x)=3x.（二）函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性（1）?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．（2）在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．（3）y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．2．確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法（1）定義法．（2）導(dǎo)數(shù)法．（3）圖象法．（4）性質(zhì)法．3．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決．（2）求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．（3）利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．題型2：函數(shù)的單調(diào)性與最值2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性然后轉(zhuǎn)化分段函數(shù)推出不等式組，即可求出a的范圍.【詳解】對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有,即成立，可得函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于0，說(shuō)明函數(shù)是減函數(shù)；可得：，解得，故選：C2-2．（2024高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù).【答案】3【分析】先分離變量，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，分類研究即可.【詳解】∵函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，最大值為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，最大值為，即，顯然不合題意，故實(shí)數(shù).故答案為：32-3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥恳字且粋€(gè)固定的數(shù)記為，得到，進(jìn)而有，即，求得，利用函數(shù)的單調(diào)性求得其值域.【詳解】因?yàn)闉槎x在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且，所以，．易知在上為增函數(shù)，且，，則在上的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?2-4．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)且，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則在上的最大值為.【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)兩直線垂直得到切線在的斜率為2，得到方程，求出，由是增函數(shù)求出，得到的單調(diào)性，得到最大值.【詳解】由題意得，所以，因?yàn)榍芯€與直線垂直，而的斜率為，所以切線斜率為2，即，解得，所以，且，顯然是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故.故答案為：2-5．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇偶性和對(duì)稱性判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，再比較大小，結(jié)合的單調(diào)性即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，又因?yàn)閷?duì)任意，，且都有成立．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以，而，因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：A．（三）函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)的奇偶性（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)奇偶性的判斷（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．（2）判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．3．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（1）利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．（2）利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題．題型3：函數(shù)的奇偶性3-1．（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數(shù)則．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，先求當(dāng)時(shí)，，，再進(jìn)一步求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則．故答案為：.3-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，則，所以.綜上所述，.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式的步驟：（1）設(shè)：要求哪個(gè)區(qū)間的解析式，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間；（2）代：利用已知區(qū)間的解析式代入進(jìn)行推導(dǎo)；（3）轉(zhuǎn)：根據(jù)的奇偶性，把寫(xiě)成或，從而解出.3-3．（2024·新疆阿勒泰·一模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】2【分析】由偶函數(shù)的概念列方程即可求得.【詳解】∵函數(shù)為偶函數(shù)∴即又∵,∴故答案為：3-4．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值即可.【詳解】∵為偶函數(shù)，定義域?yàn)椋鄬?duì)任意的實(shí)數(shù)都有，即，∴，由題意得上式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，∴，解得,所以故答案為：13-5．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）取結(jié)合得出，再由證明函數(shù)的奇偶性；（2）由奇偶性得出，再由函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【詳解】解：（1）依題意，.∴∴，又因?yàn)榈亩x域?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù).（2）由④知，，∵，，，∴，∴即在上單調(diào)遞增.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在證明奇偶性時(shí)關(guān)鍵是利用求出，再由定義證明函數(shù)為偶函數(shù)；在證明單調(diào)性時(shí)，關(guān)鍵是由，結(jié)合，證明在上單調(diào)遞增.（四）函數(shù)的周期性1．函數(shù)周期性常用結(jié)論（1）若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．（2）若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．2．函數(shù)的周期性（1）求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．（2）利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題．題型4：函數(shù)的周期性4-1．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）在如圖所示的的圖象中，若，則.【答案】3【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)周期，利用函數(shù)的周期求值即可.【詳解】由圖象知：周期為0.02，所以.故答案為：34-2．（2024高一上·陜西寶雞·期末）已知是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，，則.【答案】/【分析】先求出函數(shù)的周期，再通過(guò)周期以及時(shí)的解析式可得.【詳解】由得的周期，，又當(dāng)時(shí)，，.故答案為：.4-3．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.故選：B.4-4．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，試求當(dāng)時(shí)，的解析式.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性求得正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，.（五）函數(shù)的對(duì)稱性1、函數(shù)自身的對(duì)稱性(1)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是：，即。推論：函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是。(2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是：，即。推論：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是。2、不同函數(shù)對(duì)稱性(1)函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱。推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱題型5：函數(shù)的對(duì)稱性5-1．（2024高三上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對(duì)稱性先求出的解析式，再由平移得出的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出其值域.【詳解】設(shè)為的圖像上一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為由題意點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則所以，則當(dāng)時(shí)，，則所以故選：C5-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒成立.若存在實(shí)數(shù)，，…，（），使得成立，則n的最大值為（

）A．25 B．26 C．28 D．31【答案】B【分析】求解本題的關(guān)鍵：一是根據(jù)已知條件得到，，從而求出函數(shù)的解析式；二是根據(jù)函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)特征換元求得時(shí)的值域；三是根據(jù)題意得到.【詳解】由題意得，，所以解得所以.令，若，則.令，，故，即當(dāng)時(shí)，.存在，，…，（）使得成立，即存在，，…，（），使得，由時(shí)，的最小值為2，最大值為51，得，得，又，所以可得n的最大值為26.故選：B.5-3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的圖象連續(xù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)，易知，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其在上的單調(diào)性，并確定對(duì)稱軸，進(jìn)而得到的單調(diào)性，由等價(jià)于，即可求解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即有．令，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增．∵，∴關(guān)于直線對(duì)稱，故在上單調(diào)遞減，由等價(jià)于，則，得．∴的解集為．故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先確定符號(hào)，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性、對(duì)稱性，由等價(jià)于求解集．5-4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)）．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知確定函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，然后把“”后面自變量的值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上，可得大小關(guān)系．【詳解】由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，，，，，，，所以，所以．故選：C．一、單選題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．至少1個(gè) B．至多1個(gè) C．僅有1個(gè)D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)【答案】B【分析】利用函數(shù)的定義判斷.【詳解】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn)，若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn)，故選：B.2．（2024高一上·湖南·期中）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】函數(shù)的三要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域；函數(shù)的三要素相同，則為同一個(gè)函數(shù)，判斷函數(shù)的三要素即可求解.【詳解】對(duì)于，和的定義域都是，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和同一函數(shù)的定義逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A：的定義域是，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對(duì)于B：，，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對(duì)于C：的定義域?yàn)?，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，對(duì)于D：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同，是同一函數(shù)，故選：D．4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且，則（

）A．-16 B．16 C．26 D．27【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C5．（2024·四川樂(lè)山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題，分，兩種情況討論求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，所以，的取值范圍是故選：D6．（2024·江西）已知函數(shù)f(x)=(a∈R)，若，則a=（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案【詳解】解：由題意得，所以，解得a=.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題7．（2024·山東）已知函數(shù)的定義域是，若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.【詳解】對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，總有成立，等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有.所以函數(shù)一定是增函數(shù).故選：C8．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增【答案】A【分析】根據(jù)條件可得當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，從而可判斷.【詳解】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號(hào)，即當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】去絕對(duì)值符號(hào)表示出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合冪函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，得，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.11．（2024高二下·陜西寶雞·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函定義域，再通過(guò)換元法利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)得到結(jié)果【詳解】由，得，令，則，在上遞增，在上遞減，因?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A12．（2024高三上·山東·階段練習(xí)）若函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和分析函數(shù)內(nèi)外層的單調(diào)性，列不等式求解【詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有意義，則，設(shè)則，(1)當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，則需使，對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立；因?yàn)闀r(shí)，所以與矛盾，此時(shí)不成立.(2)當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，則需使對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)?，所以，又，所?綜上，的取值范圍是故選：B13．（2024高一上·四川廣安·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，解得：，故選：C.14．（2024高三上·江西撫州·期末）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，分類討論求解作答.【詳解】函數(shù)在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D15．（2024高一上·天津紅橋·期末）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】首先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再結(jié)合題意求解即可.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上具有單調(diào)性，所以或，即或.故選：C16．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一判斷可得答案.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，不符合；函數(shù)是偶函數(shù)，但是在上單調(diào)遞減，不符合；函數(shù)不是偶函數(shù)，不符合；函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.17．（2024·北京順義·一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故A不符合題意；對(duì)于B，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D不符合題意.故選：B.18．（2024·北京海淀·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，即可由選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A,的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，但在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故D正確，故選：D19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知等式可得，聯(lián)立可得，即得答案.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，故，即，將該式和相減可得，則，故選：C20．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，，再結(jié)合題意即可求出的表達(dá)式．【詳解】由函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，所以，，因?yàn)棰伲瑒t②，所以①+②得，所以．故選：A．21．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】代入計(jì)算并運(yùn)用函數(shù)奇偶性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C.22．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由于為奇函數(shù)，所以，由得，由于所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故選：A23．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【分析】令，則，f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，g(x)時(shí)奇函數(shù)，可得g(x)在，據(jù)此可求M＋m，從而求出.【詳解】令，則，∴f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，∴設(shè)g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上為奇函數(shù)，∴，∴，∴，.故選：C.24．（2024高一下·福建福州·期中）已知函數(shù)，若，則（

）A．等于 B．等于 C．等于 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】首先證明是奇函數(shù)，由此可得也是奇函數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，顯然定義域?yàn)?，又，則，所以是上的奇函數(shù)；又也是上的奇函數(shù)，所以也是上的奇函數(shù)，因此，則.故選：C.25．（2024高一上·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出時(shí)，的解析式，把恒成立轉(zhuǎn)化為，求出，解不等式即可.【詳解】若，則∵，∴即∵時(shí)，恒成立，∴只需.當(dāng)時(shí)，最小值為（當(dāng)時(shí)）；當(dāng)時(shí)，最小值為（當(dāng)時(shí)），∴所以只需，解得：或∴實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)法是求參數(shù)范圍的一種非常常用的方法，結(jié)合最值即可求出結(jié)果.26．（2024·全國(guó)·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知先求出，即，進(jìn)一步可得，再將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，，所以，，顯然當(dāng)時(shí)，，故，，若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識(shí)，是一道較為綜合的數(shù)列題.27．（2024·四川內(nèi)江·二模）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意首先得得到函數(shù)的具體表達(dá)式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表達(dá)式，在根據(jù)函數(shù)思維求出f（x）最小值解不等式即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)闀r(shí)，，所以,因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以，所以，，又因?yàn)?，恒成立，故，解不等式可得?【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的解析求法，解本題關(guān)鍵就是要能合理的運(yùn)用已知條件將變量的范圍變化到已知表達(dá)式范圍中，然后根據(jù)函數(shù)的最值思維即可得出結(jié)論.28．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù) D．方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】C【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，推出函數(shù)的一個(gè)周期為、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于直線對(duì)稱，再根據(jù)這些性質(zhì)可判斷A正確，B正確，C錯(cuò)誤；作出與的大致圖象，結(jié)合圖像可判斷D正確.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則關(guān)于對(duì)稱，即，又為偶函數(shù)，所以，則關(guān)于對(duì)稱，即，所以，則，故，所以，即，故，所以的周期為8，又當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；由周期性知：，所以，從而為奇函數(shù)，故B正確；由題意，在與上單調(diào)性相同，而上遞增，關(guān)于對(duì)稱知：上遞增，故上遞增，所以在上是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；的根等價(jià)于與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得：，，所以如圖示函數(shù)圖象：函數(shù)共有6個(gè)交點(diǎn)，故方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確．

故選：C29．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為或，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可解.【詳解】已知是定義在上的偶函數(shù)，則，又對(duì)任意，且，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：等價(jià)為或，即或，解得或，即不等式的解集為.故選：.30．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由為偶函數(shù)求得函數(shù)對(duì)稱軸，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又∵函數(shù)定義域?yàn)?，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴由得，，解得.故選：D.31．（2024·北京西城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式．再解不等式即可.【詳解】由得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為上的偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減，又都是在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集為.故選：D32．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意不等式等價(jià)于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分和兩種情況討論即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，所以原不等式的解集為.故選：A.33．（2024·安徽黃山·二模）已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由得，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)，均為單調(diào)遞增函數(shù)，在單調(diào)遞增，因此為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，解得,故選：C34．（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù),則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)，得到，令，令，求得，得到在上單調(diào)遞增，且函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而得到上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，所以，令，可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又由，即，即，整理得，解得或，即不等式的解集為.故選：B.35．（2024高二下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C．∪ D．∪【答案】A【分析】根據(jù)題意可判斷函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，進(jìn)而根據(jù)奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以可化為，即，所以，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A二、多選題36．（2024高一上·甘肅慶陽(yáng)·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，則（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性直接求解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，又，且，故此函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．由已知條件及偶函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．對(duì)于A，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確．故選:BD.37．（2024高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域都為R，所以各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域也為R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，對(duì)于A，因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，故D正確.故選：CD.38．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為，導(dǎo)函數(shù)分別為，，若，，且，則（

）A．4為函數(shù)的一個(gè)周期 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題中條件可得即可判斷A,由的關(guān)系可判斷B，由得進(jìn)而可得，結(jié)合周期性即可判斷CD.【詳解】由得，由求導(dǎo)得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4為函數(shù)的一個(gè)周期，A正確；，故，因此，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確，在中，令由得為常數(shù)，故，由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，因此，所以由于的周期為4，所以的周期也為4，由于，所以，，所以，故C正確，由于,故D錯(cuò)誤，故選:ABC39．（2024·山東濱州·二模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．8是的一個(gè)周期C．一定存在零點(diǎn) D．【答案】ACD【分析】根據(jù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)判斷為偶函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)一步得到的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合可求解ABD,由零點(diǎn)存在性定理即可判斷C.【詳解】對(duì)于A,由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，故，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確，由得，令所以，故為偶函數(shù)，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，又，從而，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，對(duì)于C,在中,令，所以，由于在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由零點(diǎn)存在性定理可得在有零點(diǎn)，故C正確對(duì)于D,由于的圖象關(guān)于對(duì)稱以及得，又，所以，所以是周期為8的周期函數(shù)，，故D正確，對(duì)于B，，所以8不是的周期，故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，函數(shù)的常用性質(zhì)有：奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等.常見(jiàn)的奇偶性與對(duì)稱性結(jié)合的結(jié)論有：(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．40．（2024高二下·江蘇南通·期末）已知函數(shù)對(duì)任意都有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)任意的，，且，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．是偶函數(shù) B．的周期C． D．在單調(diào)遞減【答案】ABC【分析】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，故是偶函數(shù)，可判斷A的正誤；由，令，可得，則，得到的周期，可判斷B的正誤；又在遞增，結(jié)合奇偶性，周期性，再判斷CD是否正確.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，故是偶函數(shù)，A正確；由，令，可得，則，則的周期，B正確；，故C正確；又在遞增，則遞減，由周期，則在單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故答案為：ABC【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性，周期性，單調(diào)性，屬于中檔題.三、填空題41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則.【答案】或【分析】由解析式有意義可求，再求，由此可求.【詳解】由有意義可得，所以或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：或.42．（2024高一下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坑膳即胃?、?duì)數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.43．（2024高三上·海南·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算可求得的值，然后列出不等式求解即可得到函數(shù)的定義域.【詳解】由可得，即，所以，代入即，解得或（舍），則所以解得所以函數(shù)定義域?yàn)楣蚀鸢笧?44．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊痉治觥苛钸M(jìn)行換元，根據(jù)已知函數(shù)的定義求u的范圍即可.【詳解】令，由得：，所以，即，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：45．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用函數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)定義域求法求解作答.【詳解】因的定義域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，即的定義域?yàn)?，于是中有，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：46．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊痉治觥坑珊瘮?shù)的定義域可推得的定義域，再結(jié)合對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0、要使函數(shù)有意義即可得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的定義域是，得到，故即.解得:；所以原函數(shù)的定義域是：.故答案為：.47．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥恐苯咏獠坏仁娇傻?【詳解】由解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：48．（2024高一上·安徽合肥·期中）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】由恒成立可得．【詳解】的定義域是R，則恒成立，時(shí)，恒成立，時(shí)，則，解得，綜上，．故答案為：．49．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可得恒成立，分和兩種情況分別考慮，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以的解為R，即函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故成立；（2）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域問(wèn)題，注意運(yùn)用分母不為，以及二次不等式恒成立問(wèn)題解法，屬于中檔題．50．（2024高一上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由函數(shù)定義域?yàn)镽且負(fù)數(shù)不存在平方根的性質(zhì),推導(dǎo)出,轉(zhuǎn)化成一元二次不等式恒成立的問(wèn)題,利用判別式求解參數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)镽,得恒成立,化簡(jiǎn)得恒成立,所以由解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了已知復(fù)合函數(shù)定義域求參數(shù)的問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化思想,由函數(shù)定義域?yàn)镽,轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立的問(wèn)題,考查了運(yùn)算能力,屬于一般難度的題.51．（2024高三·廣東深圳·階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為.【答案】【分析】賦值法得到，，求出函數(shù)解析式.【詳解】中，令，解得，令得，故，不妨設(shè)，滿足要求.故答案為：52．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為．【答案】．【分析】由題可求，再利用數(shù)形結(jié)合即求.【詳解】∵定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意都有，令，則，在上式中令，則，解得，故，由得，即，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，

可知這兩個(gè)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即和，則方程的解集為．故答案為：.53．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮俊痉治觥繉?wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍的求解，利用直線與圓的位置關(guān)系可求得過(guò)的圓的切線的斜率，結(jié)合圖象可確定結(jié)果.【詳解】表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，的軌跡為圓，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：過(guò)作圓的切線，斜率必然存在，則設(shè)過(guò)的圓的切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得：，結(jié)合圖象可知：圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍為，即的值域?yàn)?故答案為：.54．（2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】依題意可得，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，則，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：55．（2024·浙江）已知函數(shù)則；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是．【答案】/【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.56．（2024·上海靜安·二模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】利用偶函數(shù)的定義求出，則，設(shè)，利用基本不等式，即可求出結(jié)果．【詳解】函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，易得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?7．（2024高三下·四川成都·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則．【答案】-1【分析】由，列出方程，求出的值.【詳解】定義域?yàn)镽，由得：，因?yàn)椋?，?故答案為：-158．（2024高三下·湖南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則．【答案】【分析】由的奇偶性可得，代入函數(shù)解析式列出等式求解，即可求得.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，，即，解得.故答案為：.四、解答題59．（2024高一上·安徽宣城·期中）根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用換元法即可求解；（2）設(shè)，然后結(jié)合待定系數(shù)法即可得解；（3）由題意可得，利用方程組思想即可得出答案.【詳解】（1）解：令，則，故，所以；（2）解：設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以；?）解：因?yàn)棰?，所以②，②①得，所?60．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為_(kāi)_________．(2)已知滿足，求的解析式．(