2024年高考一輪復(fù)習(xí)精細講義第15講 萬有引力與航天(原卷版+解析)

第15講萬有引力與航天

劃重點之精細講義系列

。要也考點3喜

考點一天體質(zhì)量和密度的估算

開普勒行星運動定律

定律內(nèi)容圖示

所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽

開普勒第一定律

處在橢圓的一個焦點上

對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相

開普勒第二定律

筆的時間內(nèi)掃過相等的面積e

所有行星的軌道的半長軸的二次方跟它的

開普勒第三定律

公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.泉火桂陽

二.萬有引力定律

1.內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，弓力的方向在它們的連線上，引力

的大小與物體的質(zhì)量皿和〃?2的乘積成正比,與它們之間距離的平方成反比.

2.公式：尸=染詈,其中G=6.67X10”N-m2/kg2.

3.適用條件

公式適用于質(zhì)點、間的相互作用.當(dāng)兩物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體

可視為質(zhì)點；均勻的球體可視為質(zhì)點，「是球心間的距離;對一個均勻球體與球外一個

質(zhì)點的萬有引力的求解也適用，其中，?為球心到質(zhì)點間的距離.

劃重點

1.解決天體(衛(wèi)星)運動問題的基本思路

(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即

V2,4712r

man~"7=〃?orr=in.

(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即嫖=〃運依表示天

體表面的重力加速度).

2.天體質(zhì)量和密度的計算

(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

由于。鬻=/咫，故天體質(zhì)量M=哈，

天體密度尸&=費=磊.

（2）通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期7和軌道半徑r.

①由萬有引力等于向心力，即堂="芳〃得出中心天體質(zhì)量”=瘵；

②若已知天體半徑R,則天體的平均密度

MM3jr?

③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑一等于天體半徑

R,則天體密度〃=券.可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期7,就可估算出中

心天體的密度.

【典例1】（多選）通過觀測冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量.假設(shè)衛(wèi)星繞

冥王星做勻速圓周運動.除了引力常量外，至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的

質(zhì)量.這兩個物理量可以是（）

A.衛(wèi)星的速度和角速度

B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑

C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度

D.衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑

【典例2】假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體.已知地球表面重力加速度在兩極

的大小為go,在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為7,引力常量為G.地球的密度為（）

3兀go-g3兀蟲）

GT-goGT-go—g

J2Ln—

1r,GFg

【典例3】過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51peg

b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕.“51pegb"繞其中心恒星做勻速圓周運動，

周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的蟲.該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約

為（）

A.=B.1

C.5D.10

巨敲黑根匹

解決天體質(zhì)量和密度的估算問題的兩點注意

(1)衛(wèi)星的軌道半徑與中心天體的半徑不要混淆，只有近地衛(wèi)星的軌道半徑才近似等

于天體半徑.

(2)搞清“以誰為研究對象，誰是中心天體”、“受力特點”、“誰做圓周運動”等，

明確一般只能求解中心天體的質(zhì)量和密度，不能求解環(huán)繞天體的質(zhì)量和密度.

。要也考點M善

考點二衛(wèi)星的運行規(guī)律

1.衛(wèi)星的運行規(guī)律

(I)衛(wèi)星做勻速圓周運動.

(2)萬有引力提供向心力：即由0^=/*7=〃?/32="普廠=小用可推導(dǎo)出:

2.同步衛(wèi)星的六個,'一定”

軌道平面與赤道平面共面

與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即7=24h

與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同

「由G贏5等(RM)得

還三)問:衛(wèi)星離地面的商度

微恒量)

返還心號)與地球自轉(zhuǎn)的方向一致

3.三種宇宙速度

宇宙速度數(shù)值(km/s)意義

是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)

第一宇宙速度

7.9星繞地球做圓周運動的最大運行速度.

（環(huán)繞速度）

第二宇宙速度使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度.

11.2

（脫離速度）

第三宇宙速度

16.7使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.

（逃逸速度）

【典例1】（多選）如圖所示，P、Q是質(zhì)量均為獷的兩個質(zhì)點，分別置于地球表面

的不同緯度上，如果把池球看成一個均勻球體，P、。兩質(zhì)點隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓啟運

動，則下列說法正確的是（）

A.P、Q受地球引力大小相等

B.P、Q做圓周運動的向心力大小相等

C.P、。做圓周運動的角速度大小相等

D.尸受地球引力大于Q所受地球引力

【典例2】如圖，若兩顆人造衛(wèi)星。和〃均繞地球做勻速圓周運動，八人到地心0

的距離分別為r、冷,線速度大小分別為功、3,則（）

【典例3】國務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國航天日”.1970年4

月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌

道近地點高度約為440km,遠地點高度約為2060km；1984年4月8日成功發(fā)射的東

方紅二號衛(wèi)星運行在赤道上空35786km的地球同步軌道上.設(shè)東方紅一號在遠地點的

加速度為3,東方紅二號的加速度為俏，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度

為“3，則"I、。2、。3的大小關(guān)系為（）

A.。2>41>々3B.

C.D.

【典例4】假設(shè)地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動，己知地球到太陽的距離小于

火星到太陽的距離，那么（）

A.地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期

B.地球公轉(zhuǎn)的線速度小于火星公轉(zhuǎn)的線速度

C.地球公轉(zhuǎn)的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的加速度

D.地球公轉(zhuǎn)的角速度大于火星公轉(zhuǎn)的角速度

【典例5】（多選）在圓軌道上運動的質(zhì)量為機的人造地球衛(wèi)星，它到地面的距貿(mào)等

于地球半徑R,地面上的重力加速度為g,忽略地球自轉(zhuǎn)影響，則（）

A.衛(wèi)星運動的速度大小為，荻

B.衛(wèi)星運動的周期為47r欄

C.衛(wèi)星運動的向心加速度大小為上

D.衛(wèi)星軌道處的直力加速度為為

人造衛(wèi)星問題的解題技巧

（1）衛(wèi)星向心加速度的不同表述形式.

①^

②4=n?=，心=爺V.

（2）解決力與運動關(guān)系的思想還是動力學(xué)思想，解決力與運動的關(guān)系的橋梁還是牛頓

第二定律.

①衛(wèi)星的出、”①、7是相互聯(lián)系的，其中一個量發(fā)生變化，其他各量也隨之發(fā)生

變化.

②/、“co、丁均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由軌道半徑「和中心天體質(zhì)量共同決定.

，■出當(dāng)點剖析

考點三航天器的變軌問題

1.衛(wèi)星軌道的漸變：當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度逐漸改變時，萬有引力不再等于向

心力，衛(wèi)星將做變軌運行.

⑴當(dāng)衛(wèi)星的速度逐漸增加時，尊＜〃,，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將

做離心運動，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由。=、恃可知其運

行速度比原軌道時減小.

2

⑵當(dāng)衛(wèi)星的速度逐漸減小時，C誓〉〃;，即萬用引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星

將做近心運動，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由v=、怦可知其

運行速度比原軌道時增大.

2.衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r間內(nèi)啟動飛行

器上的發(fā)動機，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進入預(yù)定的軌道.如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)

星時，可以分多過程完成：

(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道I.

(2)使其繞地球做勻速圓周運動，速率為％,變軌時在P點點火加速，短時間內(nèi)將

速率由S增加到S,使衛(wèi)星進入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道II.

(3)衛(wèi)星運行到遠地點Q時的速率為。3,此時進行第二次點火加速，在短時間內(nèi)將

速率由。3增加到內(nèi)，使衛(wèi)星進入同步軌道川，繞地球做勻速圓周運動.

國典例分局

【典例1】(多選)我國已先后成功發(fā)射了“天宮一號”飛行器和“神舟八號”飛船,

并成功地進行了對接試臉，若“天宮一號”能在離地面約300km高的圓軌道上正常運

行，則下列說法中正確的是()

A.“天宮一號”的發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度

B.對接前，“神舟八號”欲追上“天宮一號”，必須在同一軌道上點火加速

C,對接時，“神舟八號”與“天宮一號”的加速度大小相等

D.對接后，“天宮一號”的速度小于第一宇宙速度

【典例2］我國即將發(fā)射“天宮二號”空間實驗室，之后發(fā)射“神舟十一號”飛船

與“天宮二號”對接.假設(shè)“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動,

為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是（）

A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對

接

B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對

接

C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，

兩者速度接近時實現(xiàn)對接

D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室,

兩者速度接近時實現(xiàn)對接

【典例2】（多選）如圖為嫦娥三號登月軌跡示意圖.圖中M點為環(huán)地球運行的近地

點，N點為環(huán)月球運行的近月點.a為環(huán)月球運行的圓軌道，人為環(huán)月球運行的橢偃軌

道，下列說法中正確的是（）

A.嫦娥三號在環(huán)地球軌道上的運行速度大于11.2km/s

B.嫦娥三號在M點進入地月轉(zhuǎn)移軌道時應(yīng)點火加速

C.設(shè)嫦娥三號在國軌道。上經(jīng)過N點時的加速度為n，在橢圓軌道〃上經(jīng)過N點

時的加速度為S，則CI|>42

D.嫦娥三號在圓軌道。上的機械能小于在橢圓軌道6上的機械能

【典例3】（多選）目前，在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運轉(zhuǎn)，其中，些衛(wèi)

星的軌道可近似為圓，且軌道半徑逐漸變小.若衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過程中，只

受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用，則下列判斷正確的是（）

A.衛(wèi)星的動能逐漸減小

B.由于地球引力做正功，引力勢能一定減小

C.由于氣體阻力做負功，地球引力做正功，機械能保持不變

D.衛(wèi)星克服氣體阻力做的功小于引力勢能的減小

自蟀塞MWHI

航天器變軌問題的三點注意事項

(1)航天器變軌時半徑的變化，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在

新軌道上的運行速度變化由。=、/半判斷.

(2)航天器在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大.

(3)航天器經(jīng)過不同軌道相交的同一點時加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速

度.

。顯出考點8d揖

考點四天體運動中的“多星”問題

“多星”模型

1.雙星系統(tǒng)

(1)雙星做勻速圓周運動向心力的來源

雙星繞著連線上的一點做勻速圓周運動，其向心力由兩顆星間的萬有引力提供。

(2)雙星做勻速圓周運動的運動參量關(guān)系

兩星的運動周期和角速度是相等的，線速度與各自的軌道半徑成正比。

(3)雙星做圓周運動的動力學(xué)關(guān)系設(shè)雙星相距L,質(zhì)量分別為Mi和Mz,線速度分

別為VI和v?,機道半徑分別為ri和r?,共同運動的周期為T、角速度為3,如圖所示。

對于這兩星，由萬有引力定律和向心力公式分別有

V2

「MMA/l2w4/

=M^=Mrco=Mr—

G-T22222

其中ri+r2=Lo

因此，在求解雙星問題時，要注意弄清雙星各自的軌道半徑，切勿與兩星之間的距

離相混淆。

(4)幾個基本結(jié)論(建議自行推導(dǎo))

①軌道半徑：6=」^—L,r,=—四一L

/W,+M2~M+%

②星體…產(chǎn)聯(lián)場二空

4萬2心3

④系統(tǒng)質(zhì)量：M==一

GT-

L

④星體周期：T=2E

G(陷十%)

2.三星系統(tǒng)

宇宙中存在一些離其他恒星較遠(可忽略其他星體對它們的引力作用)的三顆星組

成的三星系統(tǒng)。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)主要有兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位

于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運動；另一種是三顆星位

于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運動。如圖所示(設(shè)每

顆星體的質(zhì)量均為m)。

(1)對第一種形式中A而言，B、C對A的萬有引力提供A做圓周運動的向心力,

m士廠"2廠n2九、>

則不G-7+G------7=mR.(——)-

R；(2/?,)21T

(2)對第二種形式中A而言，B、C對A的萬有引力提供A做圓周運動的向心力,

則有

22

Gacos30。+G<cos30°=mR、(―)2這里r=2Rcos300。

r~r~-T

目共例分東

【典例1】經(jīng)長期觀測人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“雙星系統(tǒng)”，“雙星系統(tǒng)”由兩

顆相距較近的恒星組成，每個恒星的直徑遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一

般遠離其他天體.兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的0

點做周期相同的勻速圓周運動.現(xiàn)測得兩顆星之間的跣離為L,質(zhì)量之比為即：加2=3：

2.則可知()

A.孫、〃?2做圓周運動的角速度之比為2：3

口.〃八、〃，2做圓周運動的線速度之比為3：2

2

C.做圓周運動的半徑為

2

D.〃?2做圓周運動的半役為千

【典例2】（多選）宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的匹星

系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為機,

半徑均為R,四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上，其中L遠大于R.已知

萬有引力常量為G,忽咯星體自轉(zhuǎn)效應(yīng)，則關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（）

A.四顆星做圓周運動的軌道半徑均為方

D.四顆星做圓周運動的線速度均為［等（2+乎）

C.四顆星做圓周運動的周期均為2nJ（4+葦）G〃

D.四顆星表面的囪力加速度均為嘮

e爾因綽習(xí)

0基礎(chǔ)篇

i.下列說法正確的是（）

A.萬有引力定律是開普勒發(fā)現(xiàn)的，而引力常最是伽利略測定的

B.尸=8警中的G是一個比例常數(shù)，是沒有單位的

C.萬有引力定律適用于任意質(zhì)點間的相互作用

D.萬有引力定律不適用于地面上的物體

2.海王星有13顆已知的天然衛(wèi)星.現(xiàn)認為“海衛(wèi)二”繞海王星沿圓軌道勻速運轉(zhuǎn),

已知海衛(wèi)二的質(zhì)量為2.0Xl（）i9kg,軌道半徑為5.5X106km,運行的周期為360天，萬

有引力常量G=6.67X10—"N-m2/kg2.則海王星的質(zhì)量大約為（）

A.1.0X10"kgB.1.0X1026kg

C.2.0XIO11kgD.2.0X10l9kg

3.關(guān)于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是（）

A.開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律

B.開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律

C.開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因

D.開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律

4.利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電

通訊，目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍.假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變

小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn).上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為（）

A.1hB.4h

C.8hD.I6h

5.北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（BDS）是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由35顆

衛(wèi)星組成，衛(wèi)星的軌道的二種：地球同步軌道、中地球軌道和傾斜軌道.具中，同步軌

道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為（）

B.

6.我國實施“嫦娥三號”的發(fā)射和落月任務(wù)，進一步獲取月球的相關(guān)數(shù)據(jù).如果

該衛(wèi)星在月球上空繞月做勻速圓周運動，經(jīng)過時間］,衛(wèi)星行程為s,衛(wèi)星與月球中心連

線掃過的角度是1弧度，萬有引力常量為G,根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量是（?

A上口已

A?B-G產(chǎn)

C.等D1

7.（多選）據(jù)悉，我國的火星探測計劃將于2018年展開.2018年左右我國將進行第一

次火星探測，向火星發(fā)射軌道探測器和火星巡視器.已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)最的提

火星的半徑約為地球半徑的3.下列關(guān)于火星探測器的說法中正確的是（）

A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可

B.發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以

C.發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度

8.宇航員王亞平在“天宮一號”飛船內(nèi)進行了我國苜次太空授課，演示了一些完

全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象.若飛船質(zhì)量為機，距地面高度為/?,地球質(zhì)量為M,半徑為

R，引力常量為G,則飛船所在處的重力加速度大小為（）

八一GM

A.0B.（R+/?）2

GMm

C（R+〃）2D爺

9.（多選）有一宇宙飛船到了某行星上（假設(shè)該行星沒有自轉(zhuǎn)運動），以速度。貼近行

星表面勻速飛行，測出運動的周期為7,已知引力常量為G,則可得（）

A.該行星的半徑為五

B.該行星的平均密度為晟

O/

C.無法求出該行星的質(zhì)量

A22

D.該行星表面的直力加速度為節(jié)

10.（多選）歐洲航天局的第一枚月球探測器——“智能I號”環(huán)繞月球沿橢圓軌道

運動，用機表示它的質(zhì)量，力表示它近月點的高度，。表示它在近月點的角速度，。表

示它在近月點的加速度，《表示月球的半徑，g表示月球衣面處的重力加速度.忽略具

他星球?qū)Α爸悄?號”的影響，則它在近月點所受月球?qū)λ娜f有引力的大小等于

（）

R21g

A.niuB.八?,、,

（/?+/?）-

R2co2

C./??（/?+/?）w2D.ni..

DK~rn

11.宇航員站在某一星球距離表面力高度處，以初速度。。沿水平方向拋出一個小

球，經(jīng)過時間,后小球落到星球表面，已知該星球的半徑為上引力常量為G,則該星

球的質(zhì)量為（）

人2/依2hR2

B

A?鏟-GT

「絕D紀

「Gt2u2hR2

12.（多選）如圖所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星4、8繞地球做勻速圓周運動，用R、T、

4、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積.F

列關(guān)系式正確的有（）

13.宇航員在地球上的水平地面將一小球水平拋出，使小球產(chǎn)生一定的水平位移，

當(dāng)他登陸一半徑為地球半徑2倍的星球后，站在該星球水平地面上以和地球完全相同的

方式水平拋出小球，測得小球的水平位移大約是地球上平拋時的4倍，由此宇航號估算

該星球的質(zhì)量M艮約為（式中M為地球的質(zhì)量）（）

A.MB.M^=2M

C.〃星=加

D.M型=4例

14.在發(fā)射衛(wèi)星時，往往先將衛(wèi)星發(fā)送到一個橢圓軌道上，再變軌到圓軌道。已知

某衛(wèi)星運行的橢圓軌道的近地點M距地面210km,遠地點N距地面345km，衛(wèi)星進入

該軌道正常運行時，通過M點和N點時的速率分別為4和v2,當(dāng)某次衛(wèi)星通過N點時,

啟動衛(wèi)星上的發(fā)動機，使口星在短時間內(nèi)加速后進入離地面345km的圓形軌道，開始繞

地球做勻速圓周運動，這時衛(wèi)星的速率為匕。比較衛(wèi)星在M、N、P三點正常運行時（不

包括啟動發(fā)動機加速階段）的速率匕、彩、匕和加速度大小4、生、生，下列結(jié)論正確的

B.v,>v2=v3,U]>u2>

C.v(>v3>>ay>a2D.匕>匕>匕>〃2=/

15.2019年3月10日，長征三號乙運載火箭將"中星6C"通信衛(wèi)星（記為衛(wèi)星即

送入地球同步軌道上，主要為我國、東南亞、澳洲和南太平洋島國等地區(qū)提供通信與廣

播業(yè)務(wù)。在同平面內(nèi)的圓軌道上有一顆中軌道衛(wèi)星團它運動的每個周期內(nèi)都有一段時間

7（，未知）無法直接接收到衛(wèi)星團發(fā)出的電磁波信號，因為其軌道上總有一段區(qū)域沒有

被衛(wèi)星團發(fā)出的電磁波信號覆蓋到，這段區(qū)域?qū)?yīng)的圓心角為2a。已知R星團對地球的

張角為2月，地球自轉(zhuǎn)周期為"，萬有引力常量為G,則下列說法正確的是（）

sinP

B.衛(wèi)星③、回的角速度之比為Vn//

sin-p?

C衛(wèi)星圖的周期為J盤與D.題中時間,不可能為甘當(dāng)馬

16.天文觀測發(fā)現(xiàn)，天狼星A與其伴星B是一個雙星系統(tǒng)。它們始終繞著。點在

兩個不同橢圓軌道上運動，如圖所示，實線為天狼星A的運行軌跡，虛線為其伴星B

A.A的運行周期小于B的運行周期

B.A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量

C.A的加速度總是小于B的加速度

D.A與B繞。點的旋轉(zhuǎn)方向可能相同，可能相反

17.如圖所示為人類歷史上第一張黑洞照片。黑洞是一種密度極大、引力極大的天

體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規(guī)律間接研究

黑洞。已知某黑洞的逃逸速度為，其中引力常量為G,M是該黑洞的質(zhì)量，

R是該黑洞的半徑。若天文學(xué)家觀測到與該黑洞相距為廣的天體以周期r繞該黑洞做勻

速圓周運動，則下列關(guān)于該黑洞的說法正確的是（）

A.該黑洞的質(zhì)量為gB.該黑洞的質(zhì)量為竺

4不,GT-

C.該黑洞的最大半徑為絲乙D.該黑洞的最大半徑為空￡

c2cT

18.（多選）兩顆相距較遠的行星A、B的半徑分別為RA、RR,距A、B行星中心一

處，各有一衛(wèi)星分別圍繞行星做勻速圓周運動，線速度的平方V2隨半徑/?變化的關(guān)系如

圖甲所示，兩圖線左端的縱坐標相同；衛(wèi)星做勻速圓周運動的周期為7，lgT-】gr的圖

像如圖乙所示的兩平行直線，它們的截距分別為4、而已知兩圖像數(shù)據(jù)均采用國際單

位，兒一履=愴6,行星可看作質(zhì)量分布均勻的球體，忽略行星的自轉(zhuǎn)和其他星球的影

甲

3

A.圖乙中兩條直線的斜率均為］

B.行星A、B的質(zhì)量之比為1回3

C.行星A、B的密度之比為1團9

D.行星A、B表面的重力加速度大小之比為3團1

19.（多選）人類設(shè)想在赤道平面內(nèi)建造垂直于地面并延伸到太空的電梯，又稱"太

空電梯”如圖甲所示。圖乙中，圖線A表示地球引力對航天員產(chǎn)生的加速度大小與航天

員距地心的距離，?的關(guān)系，圖線B表示航天員相對地面靜止時而產(chǎn)生的向心加速度大小

與，?的關(guān)系。圖乙中R（地球半徑），助為已知量，地球芻轉(zhuǎn)的周期為。引力常量為G,

下列說法正確的有（）

圖甲

A.太空電梯停在內(nèi)處時，航天員對電梯艙的彈力為。

B.地球的質(zhì)量為也工

GT-

C.地球的第一宇宙速度為學(xué)杵

D.隨著，?的增大，航天員對電梯艙的彈力逐漸減小

20.（多選）如圖所示，。|是一個半徑為2R,質(zhì)量為M的密度均勻球體的球心,

現(xiàn)在其內(nèi)以。2為球心挖去一個半徑為R的球，并在空心球內(nèi)某點/，放置一個質(zhì)量為加

的質(zhì)點。若已知質(zhì)量分布均勻的薄球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則。?球剩余部分對該

質(zhì)點的萬有引力（）

A.方向由尸點指向。。2連線上某點

B.方向與QQ連線平行

GMm

大小為

C.8店一

GMm

D.大小為

2R-

21.（多選）中國科幻電影《流浪地球》講述了地球逃離太陽系的故事，假設(shè)人們在

逃離過程中發(fā)現(xiàn)一種二星組成的孤立系統(tǒng)，三星的質(zhì)量相等、半徑均為穩(wěn)定分布在

等邊三角形的三個頂點上，三角形的邊長為d,三星繞。點做周期為7的勻速圓周運動。

已知萬有引力常量為G,忽略星體的自轉(zhuǎn)，下列說法王確的是（)

A.勻速圓周運動的半徑為巫d

2

B.每個星球的質(zhì)量為萼享

3GT-

每個星球表面的重力加速度大小為黑

C.

24d叵

D.每個星球的第一宇宙速度大小為

第15講萬有引力與航天

——劃重點之精細講義系列

考點一天體質(zhì)量和密度的估算

一.開普勒行星運動定律

定律內(nèi)容圖示

所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽

開普勒第一定律

處在橢圓的一個焦點上

對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相

開普勒第二定律

等的時間內(nèi)掃過相等的面積

所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的

開普勒第三定律公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等筆=&

二.萬有引力定律

1.內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大

小與物體的質(zhì)量/小和"12的乘積成正比,與它們之間距離的平方成反比.

2.公式：F=」詈.其中G=6.67X10"N-nr/kg2.

3.適用條件

公式適用于質(zhì)息間的相互作用.當(dāng)兩物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視

為質(zhì)點；均勻的球體可視為質(zhì)點，「是球心間的距離;對一個均勻球體與球外一個質(zhì)點的萬

有引力的求解也適用，其中r為球心到質(zhì)點間的距離.

1.解決天體(衛(wèi)星)運動問題的基本思路

(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即

V7”

2r=

(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即琛表示天體表

面的重力加速度).

2.天體質(zhì)量和密度的計算

（1）利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

由于（7誓=機g,故天體質(zhì)量M=喑，

天體皆度p-V~4^R~4nGR-

（2）通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期7和軌道半徑r.

①由萬有引力等于向心力，即牽=〃姆得出中心天體質(zhì)量M=等；

②若已知天體半徑R,則天體的平均密度

MM3n?

③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R,

則天體密度〃=券.可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期7；就可估算出中心天體

的密度.

國典例分言

【典例1】（多選）通過觀測冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量.假設(shè)衛(wèi)星繞冥王

星做勻速圓周運動，除了引力常量外，至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質(zhì)量.這

兩個物理量可以是（）

A.衛(wèi)星的速度和角速度

B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑

C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度

D.衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑

解析：選AD.由o=or可求出入根據(jù)排得=〃。或6^=〃曲2/可求出冥王星的質(zhì)量，

人才確.根據(jù)爺?/可求出冥子星的質(zhì)量，DIF確.B和C中都由于已知量不足，

無法求出冥王星的質(zhì)量.

【典例2］假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體.匕知地球表面重力加速度在兩極的大

小為go,在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為。引力常量為G.地球的密度為（）

3兀go—g37t陽

GT-goGFgo—g

c.G產(chǎn)D，G尸g

解析：選B.設(shè)地球半徑為R.質(zhì)量為m的物體在兩極點時，有"】go=G^^,在赤道時，

有輦一〃吆=〃?R博＞，義地球的密度〃=｛，由各式聯(lián)立得〃=G(；；Ck選項B正

確.

【典例3】過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星"51pegb"

的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕.“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約

為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的點.該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為()

A.-j^jB.1

C.5D.10

解析：選B.行星繞中心恒星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律

得尊=〃書,則先陟電=(4M竽b1選項B正確.

解決天體質(zhì)量和密度的估算問題的兩點注意

(1)衛(wèi)星的軌道半徑與中心天體的半徑不要混淆，只有近地衛(wèi)星的軌道半徑才近似等于

天體半徑.

(2)搞清“以誰為研究對象，誰是中心天體”、“受力特點”、“誰做圓周運動”等，

明確一般只能求解中心天體的質(zhì)量和密度，不能求解環(huán)繞天體的質(zhì)量和密度.

蜀要爭考點5策

考點二衛(wèi)星的運行規(guī)律

1.衛(wèi)星的運行規(guī)律

⑴衛(wèi)星做勻速圓周運動.

(2)萬有引力提供向心力：即由(^^一，步:二加小/?/等尸小為可推導(dǎo)出：

、

v=

?減小

⑴減小

A今當(dāng)廠增大時＜

7增大

、出減小

2.同步衛(wèi)星的六個“一定”

軌道平面與赤道平面共面

與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即7=24h

與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同

巨豆同步衛(wèi)星離地面的商度

微恒量）

返還心號）與地球自轉(zhuǎn)的方向一致

3.三種宇宙速度

宇宙速度數(shù)值(km/s)意義

是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)

第一宇宙速度

7.9星繞地球做圓周運動的最大運行速度.

（環(huán)繞速度）

第二宇宙速度使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度.

11.2

（脫離速度）

第三宇宙速度

16.7使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.

（逃逸速度）

【典例1】（多選）如圖所示，P、。是質(zhì)量均為小的兩個質(zhì)點，分別置于地球表面的不

同緯度上，如果把地球看成一個均勻球體，P、Q兩質(zhì)點隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動，則下

列說法正確的是（）

A.P、Q受地球引力大小相等

B.P、。做圓周運動的向心力大小相等

C.P、Q做圓周運動的角速度大小相等

D.P受地球引力大于Q所受地球引力

解析：選AC.計算均勺球體與質(zhì)點間的萬有引力時，「為球心到質(zhì)點的距離，因為P、

Q到地球球心的距離相同，根據(jù)/=絲"知，P、Q受地球引力大小相等，P、。隨地球自

轉(zhuǎn)，角速度相同，但軌道半徑不同，根據(jù)人=〃求d,p、。做圓周運動的向心力大小不同，

A、C正確，B、D錯誤.

【典例2】如圖，若兩顆人造衛(wèi)星。和。均繞地球做勻速圓周運動，〃、〃到地心。的

距離分別為，I、-2,線速度大小分別為助、。2,則（）

解析：選A.對人造衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力戶=〃7,可得。=y一丁，所

以對于。、力兩顆人造衛(wèi)星有意=y,故選項A正確.

【典例3］國務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國航天日”.1970年4月

24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號，H前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地

點高度約為440km,遠地點高度約為2060km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號衛(wèi)

星運行在赤道上空35786km的地球同步軌道上.設(shè)東方紅一號在遠地點的加速度為的，東

方紅二號的加速度為S，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為。3，則⑶、6、

的的大小關(guān)系為（）

A.42＞。1＞。3B.的＞。2＞。1

C.Cl3＞d\＞a2D.

解析：選D.由于東方紅二號衛(wèi)星是同步衛(wèi)星，則其用速度和赤道上的物體角速度相等,

可得：。=0?廣，由于「2＞門，則可以得出：ai＞ay,又由萬有引力定律有：（j^r=ma,且n

＜n,則得出42V即故選項D正確.

【典例4】假設(shè)地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動，已知地球到太陽的距離小于火星

到太陽的距離，那么（）

A.地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期

B.地球公轉(zhuǎn)的線速度小于火星公轉(zhuǎn)的線速度

C.地球公轉(zhuǎn)的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的加速度

D.地球公轉(zhuǎn)的角速度大于火星公轉(zhuǎn)的角速度

解析：選D.根據(jù)機（爺，,=〃；;=〃?小=fnarr得，公轉(zhuǎn)周期7=2兀，故地

球公轉(zhuǎn)的周期較小，選項A錯誤；公轉(zhuǎn)線速度。='怦，故地球公轉(zhuǎn)的線速度較大，選

項B錯誤：公轉(zhuǎn)加速度跖1=￡?,故地球公轉(zhuǎn)的加速度較大，選項C錯誤；公轉(zhuǎn)角速度（o=

故地球公轉(zhuǎn)的角速度較大，選項D正確.

【典例5】（多選）在圓軌道上運動的質(zhì)量為機的人造地球衛(wèi)星，它到地面的距離等于地

球半徑上地面上的重力加速度為g,忽略地球自轉(zhuǎn)影響，則（）

A.衛(wèi)星運動的速度大小為4荻

B.衛(wèi)星運動的周期為47r展

C.衛(wèi)星運動的向心加速度大小為加

D.IJ.星軌道處的重力加速度玲

解析：選BD.地面上萬有引力等于重力，即G^=/〃g,該衛(wèi)星到地面的距離等于地球

半徑R,則其軌道半徑r=2R,其做勻速圓周運動的向心力由萬有引力提供，根據(jù)牛頓第二

定律〃亭依'，可求得衛(wèi)星運動的速度大小0=周期7=4兀

普，向心加速度大小a=g'=；g,選項A、C錯誤，B、D正確.

人造衛(wèi)星問題的解題技巧

(1)衛(wèi)星向心加速度的不同表述形式.

①道pm.

②nn=?=no2=箏匚

(2)解決力與運動關(guān)系的思想還是動力學(xué)思想，解決力與運動的關(guān)系的橋梁還是牛頓第

二定律.

①衛(wèi)星的出、。、3、7是相互聯(lián)系的，其中一個量發(fā)生變化，其他各量也隨之發(fā)生變化.

②為、八⑴、丁均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由軌道半徑「和中心天體質(zhì)量共同決定.

。.爭考點￡蒲

考點三航天器的變軌問題

1.衛(wèi)星軌道的漸變：當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度逐漸改變時，萬有引力不再等于向心力，

衛(wèi)星將做變軌運行.

(I)當(dāng)衛(wèi)星的速度逐漸增加時，G華即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離

心運動，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由。='岸可知其運行速度比

原軌道時減小.

(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度逐漸減小時，聾＞〃。，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做

近心運動，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時由v=1愣可知其運行速度

比原軌道時增大.

2.衛(wèi)星軌道的突變：由于技術(shù)上的需要，有時要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r間內(nèi)啟動飛行器上

的發(fā)動機，使飛行器軌道發(fā)生突變，使其進入預(yù)定的軌道.如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星時，可

以分多過程完成：

(1)先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道I.

(2)使其繞地球做勻速圓周運動，速率為變軌時在尸點點火加速，短時間內(nèi)將速率

由力增加到S,使衛(wèi)星進入橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道II.

(3)衛(wèi)星運行到遠地點Q時的速率為。3,此時進行第二次點火加速，在短時間內(nèi)將速率

由S增加到內(nèi)，使衛(wèi)星進入同步軌道IH,繞地球做勻速圓周運動.

目共例分市

【典例1】(多選)我國已先后成功發(fā)射了“天宮一號”飛行器和“神舟八號”飛船，并

成功地進行了對接試驗，若“天宮?號”能在離地面約300km高的圓軌道上正常運行，則

下列說法中正確的是()

A.“天宮一號”的發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度

B.對接前，“神舟八號”欲追上“天宮一號”，必須在同一軌道上點火加速

C.對接時，“神舟八號”與“天宮一號”的加速度大小相等

D.對接后，“天宮一號”的速度小于第一宇宙速度

解析：選CD.地球衛(wèi)星的發(fā)射速度都大于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度，A錯誤；

若“神舟八號”在與“天宮一號”同一軌道上點火加速，那么“神舟八號”的萬有引力小于

向心力，其將做離心運動，不可能實現(xiàn)對接，B錯誤：對接時，“神舟八號”與“天宮一號”

必須在同一軌道上，根據(jù)〃=6白可知，它們的加速度大小相等，C正確；第一宇宙速度是

地球衛(wèi)星的最大運行速度，所以對接后，“天宮一號”的速度仍然要小于第一宇宙速度，D

正確.

【典例2］我國即將發(fā)射“天宮二號”空間實驗室，之后發(fā)射“神舟十一號”飛船與

“天宮二號”對接.假設(shè)“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了

實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是()

［二

A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接

B.使飛船與空間實驗室在同一軟道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)走接

C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩

者速度接近時實現(xiàn)對接

D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩

者速度接近時實現(xiàn)對接

解析：選C.若使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，則飛船加速后，萬有引力不

足以提供向心力，飛船將運離原來的就道，不能實現(xiàn)對接，A錯誤；若使飛船與空間實臉室

在同一就道上運行，則空間實險室減速將會使空間實驗室進入低軌道，也不能實現(xiàn)對接，故

B錯誤；實現(xiàn)對接的方法能使飛船在比空間實驗室低的軌道上加速，然后飛船進入較高的空

間實驗室就道后實現(xiàn)對接，C正確；若使飛