《直線與平面垂直》第1課時教學(xué)設(shè)計二

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《直線與平面垂直》第1課教學(xué)設(shè)計二教學(xué)設(shè)計一、新課導(dǎo)入日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，比如，廣場上豎立的國旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的印象.在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，你能發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線與它的影子BC所在直線的位置關(guān)系嗎？（如圖）隨著時間的變化，盡管影子的位置在移動，但是旗桿所在直線AB始終與影子所在直線BC垂直也就是說，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條過點(diǎn)B的直線垂直.事實上，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線也是垂直的.問題；你認(rèn)為直線與平面垂直該怎樣定義才恰當(dāng)？設(shè)計意圖：用熟悉的生活情境導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.二、探究新知1.直線與平面垂直的定義.一般地，如圖，如果直線l與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l與平面垂直，記作直線l稱為平面的垂線，平面稱為直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P稱為垂足.問題：過一點(diǎn)有多少條直線和一個平面垂直？答：有且只有一條.結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線與一個平面垂直，過點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直.設(shè)計意圖：結(jié)合前面的例子抽象出直線與平面垂直的幾何模型，直觀形象地展示，通過提出問題，讓學(xué)生更好地理解直線與平面垂直的基本特征.2.直線與平面垂直的直觀圖的畫法.畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示.設(shè)計意圖：給出直線與平面垂直的畫圖方法，直觀感知直線與平面垂直的特征，3.直線與平面垂直的性質(zhì).（1）回憶空間兩直線平行的定義；（2）判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系；（3）找出恰當(dāng)?shù)目臻g模型探究同垂直于一個平面的兩條直線的位置關(guān)系.討論結(jié)果：（1）如果兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，我們說這兩條直線平行它的定義是以否定形式給出的，其證明方法多用反證法.（2）如圖，同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系可能是：相交、平行、異面.（3）如圖，長方體中，棱所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？棱所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間互相平行.思考：直線a，b和平面有以下三種關(guān)系：①，②，③，如果任意取其中兩個作為前提，另一個作為結(jié)論構(gòu)造命題，能構(gòu)成幾個命題？并判斷其真假如果是真命題，請予以證明；如果是假命題，請舉一個反例.命題1：如圖，已知，求證：.證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m，n，因為直線,根據(jù)直線與平面垂直的定義知.又因為,所以.又因為是兩條相交直線,所以.命題2:若已知,求證:.此命題可同命題1證明.歸納：兩條互相平行的直線，如果其中一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直.命題3：如圖，已知直線，那么.證明（反證法）：假設(shè)a，b不平行，且是經(jīng)過點(diǎn)B與直線a平行的直線直線b與確定平面，設(shè)，則.因為，所以，又因為，所以這樣在平面內(nèi)，經(jīng)過直線l上同一點(diǎn)B就有兩條直線b，與l垂直，顯然不可能，因此.由此我們可以得到直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.定理的不同表示：直線和平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言表示為:垂直于同一個平面的兩條直線平行，也可簡記為線面垂直，線線平行.直線和平面垂直的性質(zhì)定理用符號語言表示為：.直線和平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言表示為：如圖提示：直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系，而且揭示了“平行”與“垂直”之間的一種內(nèi)在聯(lián)系利用這個定理可以判定兩條直線平行.思考交流：兩條異面直線能垂直于同一平面嗎？說明理由.設(shè)計意圖：構(gòu)建假設(shè)命題，啟發(fā)學(xué)生探究，通過思考得到準(zhǔn)確答案，從而得出并理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理.4.直線與平面所成的角.斜線：一條直線和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線稱為這個平面的斜線.斜足：斜線與平面的交點(diǎn).斜線在平面內(nèi)的投影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面作垂線，過垂足和斜足的直線稱為斜線在這個平面上的投影.直線與平面相交，直線與平面的相互位置類同于兩條相交直線，也需要用角來表示，但過交點(diǎn)在平面內(nèi)可以作無數(shù)條直線與平面相交的直線l與平面內(nèi)的直線a，b所成的角多是不相等的為了定義的確定性，我們必須找到一些角中有確定值的，又能準(zhǔn)確描述其位置的一個角，故可以由斜線與其在平面內(nèi)的投影所成的銳角作為直線和平面所成的角.定義：平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)，就說它們所成的角是的角.如圖，l是平面的一條斜線，點(diǎn)O是斜足，A是l上不同于點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，AB是的垂線，點(diǎn)B是垂足，所以直線OB（記作）是l在內(nèi)的投影，（記作）是l與所成的角.注意：直線與平面所成的角的范圍：.點(diǎn)評：直線與平面所成的角是一個非常重要的概念，在實際中有著廣泛的應(yīng)用如發(fā)射炮彈時，當(dāng)炮筒和地面所成的角為多少度時，才能準(zhǔn)確地命中目標(biāo)，也即射程為多遠(yuǎn)？又如鉛球運(yùn)動員在投擲時，以多大的角度投擲，投出的距離最遠(yuǎn)？設(shè)計意圖：展示直線與平面所成角的相關(guān)概念，全面理解“線面角”及其特征三、例題講解例1本章12節(jié)已提到從平面外一點(diǎn)作一個平面的垂線，這個點(diǎn)和垂足間的距離稱為點(diǎn)到平面的距離請證明：如果一條直線平行一個平面，那么這條直線上各點(diǎn)到這個平面的距離都相等.證明如圖，直線與平面分別用l與表示，且.要證明直線l上各點(diǎn)到平面的距離相等，只要證明直線l上任意兩點(diǎn)到平面的距離相等而點(diǎn)到平面的距離也就是點(diǎn)到平面垂線段的長.過直線l上任意兩點(diǎn)A，B分別作平面的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).因為，，所以.設(shè)過直線AE和BF的平面為，則.由，得.所以四邊形AEFB是平行四邊形所以，即直線l上各點(diǎn)到平面的距離相等.小結(jié)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離.活動：教師展示例題，點(diǎn)撥分析題目的關(guān)鍵信息，學(xué)生畫出直觀圖，用語言表述證明過程.點(diǎn)評：直線和平面平行，直線上的點(diǎn)到平面的距離相等可用于一般結(jié)論應(yīng)用，是后續(xù)證明解題的常用結(jié)論.例2如圖，已知正方體.(1)求與底面所成的角;(2)設(shè)正方體的棱長為,求與底面所成的角的余弦值.解（1）因為底面,所以是與底面所成的角.因為側(cè)面是正方形,所以.即與底面所成的角為.(2)如圖,連接,則.因為底面,所以是與底面所成的角,同時.在中,,所以.即與底面所成的角的余弦值為.活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.點(diǎn)評：求直線與平面所成的角，是本節(jié)的又一重點(diǎn)，作線面角”的關(guān)鍵是找出平面的垂線設(shè)計意圖：通過對“線面角”的求作和運(yùn)算，讓學(xué)生動手作，動腦思，完善“線面角”的求作步驟，理解尋找方法，加深應(yīng)用.四、課堂小結(jié)1.知識：直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用，直線與平面的距離的定義、直線與平面所成的角的定義.2思想方法：轉(zhuǎn)化思想，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.設(shè)計意圖：鞏固直線與平面垂直的定義、性質(zhì)及“線面角”的求解等主干知識，形成知識網(wǎng)絡(luò)，為更好地學(xué)習(xí)空間垂直關(guān)系做好鋪墊.五、布置作業(yè)教材第229頁練習(xí)第1，2，3題.板書設(shè)計第1課時直線與平面垂直的性質(zhì)一、新課導(dǎo)入二、探究新知1.直線與平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l與平面垂直，記作，直線l稱為平面的垂線，平面稱為直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P稱為垂足2.直線與平面垂直的直觀圖的畫法3.直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面