高二圓錐曲線最值教案

課題：圓錐曲線中的最值問(wèn)題（一）北京市八一中學(xué)劉揚(yáng)教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：以圓錐曲線中橢圓為例使學(xué)生初步掌握求最值的幾種常見(jiàn)方法，如均值定理、二次函數(shù)等在解題過(guò)程時(shí)，能熟練將幾何條件進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化，并利用相關(guān)代數(shù)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算方法與過(guò)程：通過(guò)作業(yè)題展示復(fù)習(xí)回顧求最值的常見(jiàn)方法，并做分析對(duì)比對(duì)于求面積最大值問(wèn)題，能夠較為熟練的將題目中的幾何條件進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化，并選擇恰當(dāng)?shù)男问?，利用相關(guān)代數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題對(duì)于分式求解最值，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)合理?yè)Q元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或利用均值定理在解題過(guò)程中注意不同方法的比較，選擇更好的方法解題，減少運(yùn)算步驟，提高結(jié)果的準(zhǔn)確度類比橢圓中最值問(wèn)題的處理方法，通過(guò)作業(yè)題對(duì)其他圓錐曲線求最值問(wèn)題進(jìn)行研究3、情感、態(tài)度價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題、分析問(wèn)題的意識(shí)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)自覺(jué)地使用學(xué)科基本思想方法，（數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等），提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)教學(xué)重點(diǎn)：在解決橢圓中求最值問(wèn)題時(shí)，形數(shù)轉(zhuǎn)化的思想方法求最值時(shí)根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，從而順利求解教學(xué)難點(diǎn)：求最值時(shí)如何將表達(dá)式化成可以利用二次函數(shù)或均值定理的形式教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖例題：(課本P48習(xí)題B組第5題)已知Ｐ為橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求：的最大值.【分析】：所求是兩個(gè)變量的積，這兩個(gè)變量是否有相關(guān)性？因?yàn)槭菣E圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以，于是可以向兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化，第一：可以考慮均值定理，和為定值積有最大值；第二：可以考慮消去變量轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值。解：【方法一】：因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到“=”【方法二】：因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值.還可以這樣考慮，點(diǎn)Ｐ在橢圓上運(yùn)動(dòng)，使的值發(fā)生變化，在某一特定位置時(shí)乘積取到最大值，因此可設(shè)，這樣的值與有關(guān)，而滿足橢圓方程，所以可消去變量轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)處理?！痉椒ㄈ浚涸O(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值另外還可設(shè)，將轉(zhuǎn)化為與參數(shù)相關(guān)的函數(shù)，利用三角代換法解決問(wèn)題?！咀兪健浚涸谏侠醒娱L(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，求面積的最大值.【分析】：可以設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，三角形的面積可用與到的距離d來(lái)表示，即，再求最大值.也可以將的面積分成兩個(gè)小三角形面積之和，即，這時(shí)直線的方程可設(shè)為.【方法一】：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，到的距離為，則當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓中得（1）因?yàn)橹本€過(guò)橢圓焦點(diǎn)，所以方程（1）必有兩實(shí)根，設(shè)，，則，，由弦長(zhǎng)公式得設(shè)到距離為d，則，所以令則代入上式得因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)取最大值為綜上所述三角形的面積最大值為2另外對(duì)也可以用均值定理：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最大值2【方法二】：設(shè)直線方程為代入橢圓中得，因?yàn)橹本€過(guò)橢圓焦點(diǎn)，所以上述方程必有兩實(shí)根，設(shè)，則，所以，令則代入上式因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)取最大值為2另外，若對(duì)（1）式令則則（1）式可變?yōu)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最大值為2課堂小結(jié)：本節(jié)課通過(guò)對(duì)橢圓中相關(guān)最值問(wèn)題的討論，復(fù)習(xí)了求最值的幾種常見(jiàn)方法：二次函數(shù)、均值定理，三角代換等等；并再次強(qiáng)調(diào)處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，要將已知的幾何條件作代數(shù)轉(zhuǎn)化，并利用代數(shù)知識(shí)解決幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)幾何代數(shù)幾何的轉(zhuǎn)化；認(rèn)真觀察函數(shù)式結(jié)構(gòu)，利用換元法將式子變形，并求出最大值；今天只是對(duì)橢圓中最值問(wèn)題進(jìn)行了初步的研究，課后請(qǐng)同學(xué)們按照相同的研究方法，試著對(duì)雙曲線和拋物線最值問(wèn)題進(jìn)行研究，完成以下作業(yè)題。課后作業(yè)：1．已知橢圓C的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓Ｐ圓心為Ｐ.（Ⅰ）求橢圓Ｃ的方程； （Ⅱ）若圓Ｐ與軸相切，求圓心Ｐ的坐標(biāo)；（Ⅲ）設(shè)是圓Ｐ上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求的最大值.2．已知Ｐ為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求：的最小值.3．已知拋物線C:，過(guò)點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線C于A，B和M，N.設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為P，Q求證：直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；并求面積的最小值.以作業(yè)展示的方式進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧