2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章變化率與導(dǎo)數(shù)單元質(zhì)量評(píng)估習(xí)題含解析北師大版選修1-1

第三章單元質(zhì)量評(píng)估本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)答題表題號(hào)123456789101112答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．已知函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖像上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx,1＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4ΔxC．4＋2Δx D．4＋2Δx22．下列結(jié)論中不正確的是()A．若y＝3，則y′＝0B．若y＝eq\f(1,\r(x))，則y′＝－eq\f(1,2)eq\r(x)C．若y＝－eq\r(x)，則y′＝－eq\f(1,2\r(x))D．若y＝3x，則f′(1)＝33．f(x)＝3－x，則f′(0)＝()A．1 B．log3eC．ln3 D．－ln34．若對(duì)于隨意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝3，則此函數(shù)的解析式為()A．f(x)＝x4－1B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋25．曲線y＝x3＋11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A．－9 B．－3C．9 D．56．已知曲線f(x)＝lnx在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－1)，則x0的值為()A.eq\f(1,e) B．1C．e D．107．拋物線y＝x2＋bx＋c上點(diǎn)(1,2)處的切線與其平行線bx＋y＋c＝0間距離為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\r(2)8．曲線y＝e－x－ex的切線的斜率的最大值為()A．2 B．0C．－2 D．－49．下列圖像中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像，則f(－1)等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(7,3)10．已知直線m：x＋2y－3＝0，函數(shù)y＝3x＋cosx的圖像與直線l相切于點(diǎn)P，若l⊥m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(3π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))11．已知函數(shù)f(x)在R上滿意f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率是()A．2 B．1C．3 D．－212．(2024·四川卷)設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx，0<x<1，,lnx，x>1))圖像上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是()A．(0,1) B．(0,2)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上)13．已知曲線y＝eq\f(1,x)－1上兩點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，B2＋Δx，－eq\f(1,2)＋Δy，當(dāng)Δx＝1時(shí)，割線AB的斜率為_(kāi)_______．答案1．Ceq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.2．B因?yàn)閥＝eq\f(1,\r(x))＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))，所以y′＝(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,2x\r(x)).3．D∵f′(x)＝(3－x)′＝3－xln3·(－x)′＝－3－xln3，∴f′(0)＝－30ln3＝－ln3.4．D∵f′(x)＝4x3，∴f(x)＝x4＋k.又f(1)＝3，∴k＝2，∴f(x)＝x4＋2.5．C因?yàn)閥′＝3x2，切點(diǎn)P(1,12)，所以切線的斜率k＝3×12＝3.故切線方程為y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.6．B依題意得，題中的切線方程是y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)．又該切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－1)，于是有－1－lnx0＝eq\f(1,x0)(－x0)，由此得lnx0＝0，x0＝1，選B.7．C由拋物線過(guò)點(diǎn)(1,2)，得b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，即2＋b＝－b，∴b＝－1，∴c＝2，故所求切線方程為x－y＋1＝0.∴兩平行直線x－y－2＝0和x－y＋1＝0之間的距離為d＝eq\f(|－2－1|,\r(12＋12))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).8．Cy′＝k＝－e－x－ex＝－(e－x＋ex)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))≤－2eq\r(\f(1,ex)·ex)＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,ex)＝ex，即x＝0時(shí)，等號(hào)成立．9．Af′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，由a≠0，知f′(x)的圖像為第③個(gè)．因此f′(0)＝0，故a＝－1，∴f(－1)＝－eq\f(1,3).10．B因?yàn)橹本€m的斜率為－eq\f(1,2)，l⊥m，所以直線l的斜率為2.因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x＋cosx的圖像與直線l相切于點(diǎn)P，設(shè)P(a，b)，則b＝3a＋cosa且當(dāng)x＝a時(shí)，y′＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以b＝eq\f(3π,2)＋6kπ(k∈Z)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋6kπ))(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).故選B.11．A由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8兩邊求導(dǎo)得，f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8?f′(1)＝2，∴k＝2.12．A不妨設(shè)P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)，由于l1⊥l2，所以eq\f(1,x1)×(－eq\f(1,x2))＝－1，則x1＝eq\f(1,x2).又切線l1：y－lnx1＝eq\f(1,x1)(x－x1)，l2：y＋lnx2＝－eq\f(1,x2)(x－x2)，于是A(0，lnx1－1)，B(0,1＋lnx1)，所以|AB|＝2.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－lnx1＝\f(1,x1)x－x1,y＋lnx2＝－\f(1,x2)x－x2))，解得xP＝eq\f(2,x1＋\f(1,x1)).所以S△PAB＝eq\f(1,2)×2×xP＝eq\f(2,x1＋\f(1,x1))，因?yàn)閤1>1，所以x1＋eq\f(1,x1)>2，所以S△PAB的取值范圍是(0,1)，故選A.13．－eq\f(1,6)解析：Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq\f(－Δx,22＋Δx).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx).所以當(dāng)Δx＝1時(shí)，k＝－eq\f(1,2×2＋1)＝－eq\f(1,6).————————————————————————————14.曲線y＝－5ex＋3在點(diǎn)(0，－2)處的切線方程為_(kāi)_______．15．設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．16．已知曲線C：y＝2x2，點(diǎn)A(0，－2)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A視察點(diǎn)B，要視線不被曲線C攔住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1).18．(12分)點(diǎn)P是曲線y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的隨意一點(diǎn)，且點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，求α的取值范圍．答案14．5x＋y＋2＝0解析：∵y′＝－5ex，∴當(dāng)x＝0時(shí)，所求曲線的切線斜率k＝－5e0＝－5，∴切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.15．(1,1)解析：曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′＝ex|x＝0＝1；由y＝eq\f(1,x)，可得y′＝－eq\f(1,x2)，因?yàn)榍€y＝eq\f(1,x)(x>0)在點(diǎn)P處的切線與曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線垂直，故－eq\f(1,x\o\al(2,P))＝－1，解得xP＝1，由y＝eq\f(1,x)，得yP＝1，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)．16．(－∞，10]解析：在曲線C：y＝2x2上取一點(diǎn)D(x0,2xeq\o\al(2,0))(x0>0)，因?yàn)閥＝2x2，所以y′＝4x，f′(x0)＝4x0.令eq\f(2x\o\al(2,0)＋2,x0)＝4x0，得x0＝1，此時(shí)，D(1,2)，kAD＝eq\f(2－－2,1－0)＝4，直線AD的方程為y＝4x－2.要視線不被曲線C攔住，則實(shí)數(shù)a≤4×3－2＝10，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，10]．17．解：(1)y′＝(x2)′＋(x－2)′＝2x－2x－3.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝eq\f(lnx′x2＋1－lnx·x2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(1,x)·x2＋1－lnx·2x,x2＋12)＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,xx2＋12).18．解：∵k＝tanα＝y(tǒng)′＝3x2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，∴tanα≥－eq\r(3).又α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).————————————————————————————19.(12分)(2024·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ改編)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，求b的值．20．(12分)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－a，a)(a>0)內(nèi)為偶函數(shù)且可導(dǎo)，試探討y＝f′(x)在(－a，a)內(nèi)的奇偶性．答案19．解：設(shè)y＝kx＋b與y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切點(diǎn)分別為(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．則切線分別為y－lnx1－2＝eq\f(1,x1)(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)(x－x2)，化簡(jiǎn)得y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1＋1，y＝eq\f(1,x2＋1)x－eq\f(x2,x2＋1)＋ln(x2＋1)，依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1),lnx1＋1＝－\f(x2,x2＋1)＋lnx2＋1))，解得x1＝eq\f(1,2)，從而b＝lnx1＋1＝1－ln2.20．解：∵f′(－x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f－x＋Δx－f－x,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx－Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－1)·eq\f(fx－Δx－fx,－Δx)＝－f′(x)，∴f′(x)為奇函數(shù)，即y＝f′(x)在(－a，a)內(nèi)為奇函數(shù)．———