2024年吉林省延邊州高考數(shù)學(xué)一模試卷（含詳細(xì)答案解析）

2024年吉林省延邊州高考數(shù)學(xué)一模試卷

學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：_

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=3+5(是虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.B.4C.D.5

2.若集合4={x|lnx>l,xeN*},集合B=(x\x2-6x-7<0},則AAB的子集個(gè)數(shù)為()

A.5B.6C.16D.32

3.若p：苗40，則〃成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.-1<x<2B.\x\>1C.|x|>2D.2<x<5

4.將函數(shù)f（x）=sin（3%+$（3>0）的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C,若C關(guān)于y羯對(duì)稱，則3

的最小值是（）

5.已知｛Q〃｝是公差不為0的等差數(shù)列，S,是其前〃項(xiàng)和，若%+5%=58,則下列關(guān)系中一定正確的是

（）

A.bg=S］（）B.SqV〉］0C.Sg=SgD.SQ<Sg

6.如圖，在△48。中，Z.BAC=而=2而,夕為CO上一點(diǎn)，且滿足而=

mAC+^AB,若|砌=3，|畫=4，則喬?麗的值為（）

7.謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個(gè)實(shí)心等邊三角形（如圖1）,沿三

邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形，挖去中間小三角形（如圖2）,對(duì)剩下的三個(gè)小三角形繼續(xù)以上操

作（如圖3）,按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形.如果圖1三角形的邊長為2,則圖4被挖

去的三角形面積之和是（）

8.已知點(diǎn)M,N是拋物線y=4/上不同的兩點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足乙MFN=與，弦MN的中點(diǎn)尸

到直線/：y=—卷的距離記為乩若|MN|2=Qd2,則2的最小值為（）

A.3B.<3C.1+73D.4

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5

分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.卜列命題中止確的是（）

A.三知隨機(jī)變量X~8（6,；）,則。（3X+2）=12

B.已知隨機(jī)變量丫~W（〃,?。襭（y34）=p（y工0）,則〃=2

C.已知一組數(shù)據(jù)：7,7,8,9,5,6,8,8,則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是8

D.抽取高三年級(jí)50名男生、50名女生的二模數(shù)學(xué)成績，男生平均分123分，方差為60：女生平均分128

分，方差為40,則抽取的100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差為80

10.已知401，y。，8（%2，乃）是圓。：/+y2=4上的兩點(diǎn)，則K列結(jié)論中正確的是（）

A.若點(diǎn)O到直線48的距離為，^則

B.若|/18|=2C，則乙408=2

C.若乙4。8=P則吊+為一1|+%+為一II的最大值為6

D.x^2+y02的最小值為一4

11.如圖，在多面體ABCOfiT7中，底面ABCO是邊長為，I的正方形，DE=BF=1,DE//BF,DE1平面

ABCD,動(dòng)點(diǎn)P在線段EF上，則下列說法正確的是（）

E

A.AC±DP

B.存在點(diǎn)P,使得OP〃平面4CF

C.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)尸重合時(shí)，直線DP與平面AR7所成角的余弦值為嚼

D.三棱錐4-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面積是半

12.已知當(dāng)%>0時(shí)，^<ln(14-i)<i,貝心)

A.e百>?B.1+g+[+…+3VIn8

41/InAegcl(?i

，

C-2+3+4+"+8<ln8D-?+?+?+""+?<e

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)f(x)=1,若對(duì)任意的正數(shù)〃、b,滿足/?(a)+f(2b-2)=0,則5+｝的最小值為____.

14.已知?個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為甯，半徑為門的扇形.若該圓錐的頂點(diǎn)及底面圓周都在球

。的表面上，則球。的體積為.

15.定義在(0,+8)上的函數(shù)1(%)滿足療(%)-1>0,/(4)=21n2；則不等式f(e*)<%的解集為.

16.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的

22

反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線￡*:a一方=1(。>0,匕>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F],F2,從F2

發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A,3兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)。和0,且C0S48/1C=—"AB1BD,則七的離

心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

己知函數(shù)/(%)=1-sin2dox4-^ysin26jx,(co>0)的最小正周期為47r.

(1)求3的值，并寫出/(%)的對(duì)稱軸方程；

(2)在△力8c中角A,B,C的對(duì)邊分別是“，b,c滿足(2a-c)cos8=bcosC,求函數(shù)/'(A)的取值范圍.

18.(本小題12分)

己知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和外,滿足：Sn=(空產(chǎn)

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)記b=普設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為荒，求證7；

^n^n+2

19.(本小題12分)

“斯諾克(Snooker)”是臺(tái)球比賽的?種，意思是“阻礙、障礙”，所以斯諾克臺(tái)球有時(shí)也被稱為障礙臺(tái)

球，是四大“紳士運(yùn)動(dòng)”之一，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為人們喜歡的運(yùn)動(dòng)之一.現(xiàn)甲、乙

兩人進(jìn)行比賽比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流開球(例如：若第一局中開球，則第二局乙開球，第

三局甲開球……)，沒有平局已知在甲的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為:，在乙的“開球

局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為a并且通過“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開球權(quán).

(1)求甲以3：1贏得比賽的概率；

(2)設(shè)比賽的總局?jǐn)?shù)為f,求E(f).

20.(本小題12分)

已知三棱柱側(cè)面1GC是邊長為2的菱形，4C44i=$側(cè)面四邊形4?為必是矩形，且

平面4&GC1平面488遇1，點(diǎn)Z)是棱&B1的中點(diǎn).

(1)在棱4C上是否存在一點(diǎn)E,使得力。〃平面BiGE,并說明理由；

(2)當(dāng)三棱錐B—&DG的體積為，^時(shí)，求平面4G。與平面CG。夾角的余弦值.

21.(本小題12分)

已知橢圓E：圣+，=1(。>6>0)的右焦點(diǎn)為尸2，上頂點(diǎn)為從。為坐標(biāo)原點(diǎn)，乙0“尸2=30。，點(diǎn)(1,|)

在橢圓E上.

(1)求橢I員IE的方程：

(11)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F?且斜率不為0的直線/與橢圓￡相交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)P(-2,0),Q(2,0).若M,N分別為直

線AP,與)，軸的交點(diǎn)，記△MPQ,△NPQ的面積分別為SAMPQ,S^PQ，