概率與統(tǒng)計(jì)中的樣本空間與事件的運(yùn)算

概率與統(tǒng)計(jì)中的樣本空間與事件的運(yùn)算CONTENTS概率與統(tǒng)計(jì)基本概念樣本空間及其構(gòu)成事件運(yùn)算規(guī)則與性質(zhì)古典概型與幾何概型應(yīng)用隨機(jī)變量與概率分布函數(shù)關(guān)系多元隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布概率與統(tǒng)計(jì)基本概念01概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。滿足非負(fù)性、規(guī)范性和可列可加性的集合函數(shù)稱為概率。包括互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率乘法公式等。概率的直觀定義概率的公理化定義概率的性質(zhì)概率定義及性質(zhì)統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征。統(tǒng)計(jì)量的定義常見統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的分布包括樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本協(xié)方差等。在給定樣本量下，統(tǒng)計(jì)量服從一定的概率分布，如正態(tài)分布、t分布、F分布等。030201統(tǒng)計(jì)量及其分布隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，用于描述隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。隨機(jī)變量的定義離散型隨機(jī)變量取值可數(shù)，常見的分布有二項(xiàng)分布、泊松分布等。離散型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量取值不可數(shù)，常見的分布有正態(tài)分布、均勻分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布包括數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量與概率分布兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生概率。獨(dú)立性的定義在給定條件下，兩事件相互獨(dú)立的充要條件是它們的條件概率等于無條件概率的乘積。條件概率與獨(dú)立性相關(guān)性描述了兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系程度。相關(guān)性的定義相關(guān)系數(shù)是描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系程度和方向的數(shù)值指標(biāo)，取值范圍在-1到1之間。相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性獨(dú)立性與相關(guān)性樣本空間及其構(gòu)成02在隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果被稱為一個(gè)樣本點(diǎn)。樣本點(diǎn)定義通常用大寫字母來表示隨機(jī)試驗(yàn)，而用小寫字母來表示樣本點(diǎn)，如$omega$表示樣本點(diǎn)。表示方法樣本點(diǎn)概念及表示方法隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能樣本點(diǎn)的集合被稱為樣本空間，記作$Omega$。根據(jù)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)和性質(zhì)，樣本空間可分為有限樣本空間、無限可數(shù)樣本空間和連續(xù)樣本空間。樣本空間定義與分類分類樣本空間定義擲骰子試驗(yàn)擲一顆六面骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。此時(shí)，樣本點(diǎn)有6個(gè)，分別為1,2,3,4,5,6，樣本空間為$Omega={1,2,3,4,5,6}$。摸球試驗(yàn)從裝有紅、白、黑三種顏色球的袋子中隨機(jī)摸取一球。此時(shí)，樣本點(diǎn)有3個(gè)，分別為紅、白、黑，樣本空間為$Omega={$紅，白，黑$}$。離散型樣本空間舉例測(cè)量長度試驗(yàn)用尺子測(cè)量某物體的長度。此時(shí)，樣本空間為所有可能的長度值，即$Omega=mathbb{R}^+$（正實(shí)數(shù)集）。等待時(shí)間試驗(yàn)觀察某公交車站乘客等待公交車的時(shí)間。此時(shí)，樣本空間為所有可能的等待時(shí)間，即$Omega=mathbb{R}^+$（非負(fù)實(shí)數(shù)集）。連續(xù)型樣本空間舉例事件運(yùn)算規(guī)則與性質(zhì)03在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事物或現(xiàn)象稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。事件定義事件通常用大寫字母A，B，C，...表示，也可以用小寫字母a，b，c，...表示，還可以用數(shù)字1，2，3，...表示。在每次試驗(yàn)中，必然發(fā)生的事件稱為必然事件，用Ω表示；不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，用?表示。表示方法事件定義及表示方法事件運(yùn)算基本規(guī)則若某事件發(fā)生是事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并（或和），記作A∪B（或A+B）。若某事件發(fā)生是事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交（或積），記作A∩B（或AB）。若某事件發(fā)生是事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的差，記作A-B。若某事件發(fā)生是事件A不發(fā)生，則稱此事件為事件A的對(duì)立事件，記作A'（或?。：褪录úⅲ┓e事件（交）差事件對(duì)立事件加法公式01若事件A與事件B互斥（即不能同時(shí)發(fā)生），則事件A與事件B的并的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。乘法公式02若事件A與事件B相互獨(dú)立（即一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生），則事件A與事件B的交的概率等于事件A的概率與事件B的概率之積，即P(AB)=P(A)P(B)。全概率公式03若事件組B1，B2，...是樣本空間Ω的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0(i=1，2，...)，則對(duì)Ω中的任意事件A，有全概率公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。復(fù)合事件概率計(jì)算條件概率定義設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(B)>0，稱P(AB)/P(B)為在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率，記作P(A|B)。乘法公式推廣對(duì)于任意事件A，B，有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)。獨(dú)立性判斷若事件A與事件B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過計(jì)算P(AB)、P(A)和P(B)來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立。若P(AB)≠P(A)P(B)，則稱事件A與事件B不相互獨(dú)立或相依。條件概率與獨(dú)立性判斷古典概型與幾何概型應(yīng)用04古典概型是一種特殊的概率模型，其中樣本空間中只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相等。定義在古典概型中，事件發(fā)生的概率可以通過計(jì)算有利樣本點(diǎn)數(shù)與總樣本點(diǎn)數(shù)的比值來求得。此外，古典概型具有等可能性和有限性兩個(gè)顯著特點(diǎn)。特點(diǎn)古典概型定義及特點(diǎn)定義幾何概型是概率論中另一種重要的概率模型，其中樣本空間是一個(gè)可度量的幾何區(qū)域，而每個(gè)樣本點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于該區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn)。特點(diǎn)在幾何概型中，事件發(fā)生的概率可以通過計(jì)算有利區(qū)域面積（或體積）與總區(qū)域面積（或體積）的比值來求得。此外，幾何概型具有無限性和等可能性（在某些特定條件下）兩個(gè)顯著特點(diǎn)。幾何概型定義及特點(diǎn)排列是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（m≤n），按照一定的順序排成一列。在古典概型中，排列數(shù)可以用來計(jì)算有利樣本點(diǎn)數(shù)。排列組合是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（m≤n），并成一組。與排列不同，組合不考慮元素之間的順序。在古典概型中，組合數(shù)也可以用來計(jì)算有利樣本點(diǎn)數(shù)。組合排列組合在古典概型中有著廣泛的應(yīng)用，例如抽獎(jiǎng)問題、分配問題、密碼問題等。通過靈活運(yùn)用排列組合的知識(shí)，可以有效地解決這些問題。應(yīng)用排列組合在古典概型中應(yīng)用面積在幾何概型中，如果樣本空間是一個(gè)二維區(qū)域，則可以使用面積來計(jì)算事件發(fā)生的概率。具體來說，有利區(qū)域的面積與總區(qū)域的面積之比即為事件發(fā)生的概率。體積如果樣本空間是一個(gè)三維區(qū)域，則可以使用體積來計(jì)算事件發(fā)生的概率。與面積類似，有利區(qū)域的體積與總區(qū)域的體積之比即為事件發(fā)生的概率。應(yīng)用面積和體積在幾何概型中有著廣泛的應(yīng)用，例如投針問題、蒲豐投針問題等。通過靈活運(yùn)用面積和體積的知識(shí)，可以有效地解決這些問題。面積和體積在幾何概型中應(yīng)用隨機(jī)變量與概率分布函數(shù)關(guān)系05隨機(jī)變量概念及分類隨機(jī)變量的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e},X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)。稱X=X(e)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的分類根據(jù)隨機(jī)變量可能取值的性質(zhì)，可以分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為$x_k$，X取各個(gè)可能值的概率$P{X=x_k}=p_k$，則稱函數(shù)$f(x)=P{X=x}$為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)。概率分布函數(shù)的定義二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布等。常見的離散型隨機(jī)變量分布概率密度函數(shù)的定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)。常見的連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)VS設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)$F(x)=P{Xleqx}$稱為X的累積分布函數(shù)。分位點(diǎn)計(jì)算對(duì)于給定的概率p，如果存在實(shí)數(shù)$x_p$，使得$P{Xleqx_p}=p$，則稱$x_p$為隨機(jī)變量X的對(duì)應(yīng)于概率p的分位點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，常常需要計(jì)算某個(gè)分位點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值，例如在質(zhì)量控制中計(jì)算某個(gè)百分位數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值。累積分布函數(shù)的定義累積分布函數(shù)和分位點(diǎn)計(jì)算多元隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布06多元隨機(jī)變量的定義設(shè)$X_1,X_2,ldots,X_n$是定義在同一樣本空間$Omega$上的$n$個(gè)隨機(jī)變量，則稱$(X_1,X_2,ldots,X_n)$為$n$維隨機(jī)變量或多元隨機(jī)變量。0102多元隨機(jī)變量的表示方法多元隨機(jī)變量可以用向量形式表示，即$mathbf{X}=(X_1,X_2,ldots,X_n)$，其中$mathbf{X}$表示一個(gè)$n$維隨機(jī)向量。多元隨機(jī)變量概念及表示方法設(shè)$(X,Y)$是二元隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二元隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。設(shè)$(X,Y)$是二元隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，則稱$F_X(x)=F(x,+infty)$和$F_Y(y)=F(+infty,y)$分別為$X$和$Y$的邊緣分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)的定義邊緣分布函數(shù)的定義聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)設(shè)$(X,Y)$是二元隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。若$P{Y=y}>0$，則稱$P{Xleqx|Y=y}=frac{P{Xleqx,Y=y}}{P{Y=y}}$為在$Y=y$條件下$X$的條件分布函數(shù)。條件分布的定義如果二元隨機(jī)變量$(X,Y)$滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，則稱$X$和$Y$相互獨(dú)立。獨(dú)立性判斷條件分布和獨(dú)立性判斷協(xié)方差的定義設(shè)$(X,Y)$是二元隨機(jī)變量，若$E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$存在，則稱它為$X$與$Y$的協(xié)方差，記作$