5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（知識(shí)梳理+例題+變式+練習(xí)）（解析版）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要點(diǎn)一幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝要點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝-sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝【重點(diǎn)小結(jié)】(1)幾個(gè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的特點(diǎn)①正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以記憶為“正余互換，(符號(hào))正同余反”．②指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)函數(shù)本身乘以底數(shù)的自然對(duì)數(shù)．③對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于x與底數(shù)的自然對(duì)數(shù)乘積的倒數(shù)．(2)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)奇偶性的關(guān)系①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.②奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)．③偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．【基礎(chǔ)自測(cè)】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2).()(2)(log3x)′＝eq\f(1,3lnx).()(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))′＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).()(4)若y＝e3，則y′＝e3.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多選題)下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()A．(lnx)′＝xB．(ax)′＝xax－1C．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－5x－6【答案】CD【解析】由導(dǎo)數(shù)公式得C、D正確．3．曲線y＝ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線方程是()A．x＋y＋1＝0B．x－y－2＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－2＝0【答案】C【解析】y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切線斜率為1，又切點(diǎn)為A(0,1)，故切線方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0.4．函數(shù)f(x)＝sinx，則f′(6π)＝________.【答案】1【解析】f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.題型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝eq\r(x\r(x\r(x)))；(4)y＝log5x；(5)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(6)y＝sineq\f(π,6)；(7)y＝lnx；(8)y＝ex.【解析】(1)y′＝－3x－4；(2)y′＝3xln3；(3)y＝eq\r(x·\r(x·x\f(1,2)))＝eq\r(x\r(x\f(3,2)))＝eq\r(x·x\f(3,4))＝x，∴y′＝eq\f(7,8)x；(4)y′＝eq\f(1,xln5)；(5)y＝sinx，y′＝cosx；(6)y′＝0；(7)y′＝eq\f(1,x)；(8)y′＝ex.不能用基本初等函數(shù)公式直接求導(dǎo)的，應(yīng)先化為基本初等函數(shù)再求導(dǎo)．【方法歸納】求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有兩種基本方法(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度．解題時(shí)根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式．【跟蹤訓(xùn)練1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝lgx；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1.【解析】(1)y′＝(lgx)′＝eq\f(1,xln10).(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2.(3)y′＝(xeq\r(x))′＝(x)′＝eq\f(3,2)x＝eq\f(3,2)eq\r(x)；(4)∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.題型二利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程【例2】已知曲線y＝lnx，點(diǎn)P(e,1)是曲線上一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)P處的切線方程．【解析】∵y＝lnx，∴y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝e＝eq\f(1,e)，即切線斜率為eq\f(1,e).∴切線方程為y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.【變式探究】本例中的曲線不變，求過點(diǎn)(0,0)的切線方程．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(0,0)不在曲線上，所以設(shè)切點(diǎn)Q(a，b)．則切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝a＝eq\f(1,a)，又k＝eq\f(b－0,a－0)＝eq\f(b,a)，且b＝lna∴a＝e，b＝1，∴切線方程為x－ey＝0.【方法歸納】(1)求過點(diǎn)P的切線方程時(shí)應(yīng)注意，P點(diǎn)在曲線上還是在曲線外，兩種情況的解法是不同的；(2)解決此類問題應(yīng)充分利用切點(diǎn)滿足的三個(gè)關(guān)系：一是切點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程；二是切點(diǎn)坐標(biāo)滿足對(duì)應(yīng)切線的方程；三是切線的斜率是曲線在此切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值．【跟蹤訓(xùn)練2】已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ垂直的曲線y＝x2的切線方程．【解析】∵y′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則y′|＝2x0，又∵直線PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切線垂直于直線PQ，∴2x0＝－1，即x0＝－eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求的切線方程為y－eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即4x＋4y＋1＝0.易錯(cuò)辨析混淆冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式致錯(cuò)【例3】曲線f(x)＝2x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________．【答案】y＝xln2＋1【解析】∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，∴f′(0)＝ln2故所求切線方程為y－1＝(x－0)ln2即y＝xln2＋1.【易錯(cuò)警示】1.出錯(cuò)原因記錯(cuò)導(dǎo)數(shù)公式(ax)′＝axlna，與冪函數(shù)y＝xα的求導(dǎo)公式混淆.2.糾錯(cuò)心得利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)先弄清是指數(shù)函數(shù)，還是冪函數(shù).一、單選題1．若函數(shù)（其中a為參數(shù)）在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而求解參數(shù)的值.【解析】根據(jù)題意，

在R上單調(diào)遞增在R上恒成立

令，，則可寫為根據(jù)題意在上的最小值非負(fù)解得，所以選項(xiàng)B正確故選：B.2．已知函數(shù)，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出即可【解析】由，得，所以，故選：D3．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得的值.【解析】因?yàn)?，則，所以，，所以，，故，因此，.故選：C.4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，乘法公式的求導(dǎo)法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式對(duì)函數(shù)求導(dǎo)即可.【解析】因?yàn)?，所?故選：D.5．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【解析】解：.故選：C.6．函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．不能確定【答案】A【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可比較.【解析】，，所以，即.故選：A.7．給出下列命題：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】利用求導(dǎo)公式和法則逐個(gè)分析判斷即可【解析】①中為常數(shù)函數(shù)，故，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，∵，∴，故②正確；顯然③④正確.故選：C.8．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用求導(dǎo)公式和法則逐個(gè)分析判斷即可【解析】因?yàn)椋?，，，所以選項(xiàng)A，B，C均不正確，選項(xiàng)D正確，故選：D.二、多選題9．（多選）以下運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，依次計(jì)算判斷即可【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以D不正確.故選：BC.10．下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則求解.【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤．故選：ACD11．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可.【解析】對(duì)于A，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故正確；對(duì)于D，，故正確．故選：CD.第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．對(duì)于三次函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心。給定函數(shù)；，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算__________．【答案】【分析】對(duì)已知函數(shù)兩次求導(dǎo)數(shù)，由題意可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，即，從而即可得答案．【解析】解：由題意，，，由，得，解得，而，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，所以，.故答案為：.13．已知函數(shù)，則的值為______．【答案】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后令代入導(dǎo)函數(shù)中求出的值，從而可求出函數(shù)解析式，進(jìn)而可求出的值【解析】由，得，令，則，解得，所以，所以，故答案為：14．已知，，若，則________.【答案】##【分析】對(duì)與求導(dǎo)后代入題干中的條件，列出方程，求出x的值.【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知，，由得，即，解得.故答案為：四、解答題15．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.（3）；（4）；（5）y＝.（6）；（7）；（8）；（9）y＝.（10）（11）（12）.【答案】（1）（2）（