5.2.2導數(shù)的4則運算法則（知識梳理+例題+變式+練習）（解析版）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育5.2.2導數(shù)的四則運算要點導數(shù)的運算法則若函數(shù)f(x)，g(x)均為可導函數(shù)，則有導數(shù)運算法則語言敘述1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差)．2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)．3.[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)乘以分母，減去分子乘以分母的導數(shù)，再除以分母的平方.【重點小結(jié)】法則1：函數(shù)的和(差)的導數(shù)導數(shù)的加法與減法法則，可由兩個可導函數(shù)推廣到任意有限個可導函數(shù)的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．法則2：函數(shù)的積的導數(shù)(1)(特殊化)當g(x)＝c(c為常數(shù))時，法則2可簡化為[cf(x)]′＝cf′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf′(x)＝cf′(x)，即[cf(x)]′＝cf′(x)．(2)由上述結(jié)論及法則1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b為常數(shù)．(3)函數(shù)的積的導數(shù)可以推廣到有限個函數(shù)的乘積的導數(shù)，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w′(x)．法則3：函數(shù)的商的導數(shù)(1)注意[eq\f(fx,gx)]′≠eq\f(f′x,g′x).(2)(特殊化)當f(x)＝1，g(x)≠0時，eq\f(fx,gx)＝eq\f(1,gx)，[eq\f(1,gx)]′＝－eq\f(g′x,[gx]2).【基礎自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)已知函數(shù)y＝2lnx－2x，則y′＝eq\f(2,x)－2xln2.()(2)已知函數(shù)y＝3sinx＋cosx，則y′＝3cosx＋sinx．()(3)函數(shù)f(x)＝xex的導數(shù)是f′(x)＝ex(x＋1)．()(4)若函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x2)，則f′(x)＝eq\f(exx＋2,x3).()【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．已知函數(shù)f(x)＝cosx＋lnx，則f′(1)的值為()A．1－sin1B．1＋sin1C．sin1－1D．－sin1【答案】A【解析】因為f′(x)＝－sinx＋eq\f(1,x)，所以f′(1)＝－sin1＋eq\f(1,1)＝1－sin1.故選A.3．函數(shù)y＝sinx·cosx的導數(shù)是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx【答案】B【解析】y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝________.【答案】1【解析】f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.題型一利用運算法則求函數(shù)的導數(shù)【例1】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝x2－2x－4lnx；(2)y＝x·tanx；(3)y＝eq\f(x,ex)；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(5)y＝x＋sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).【解析】(1)y′＝2x－2－eq\f(4,x).(2)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(3)y′＝eq\f(x′ex－x·ex′,ex2)＝eq\f(1－x,ex)(4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(5)先使用三角公式進行化簡，得y＝x＋eq\f(1,2)sinx∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)sinx))′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))′＝1＋eq\f(1,2)cosx.觀察各函數(shù)的特點，能化簡的先化簡，再用求導法則求解．【方法歸納】利用導數(shù)的公式及運算法則求導的思路【跟蹤訓練】(1)已知f(x)＝eq\f(ex,x)(x≠0)，若f′(x0)＋f(x0)＝0，則x0的值為________．【答案】(1)eq\f(1,2)【解析】(1)因為f′(x)＝eq\f(ex′x－ex·x′,x2)＝eq\f(exx－1,x2)所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得eq\f(ex0x0－1,x\o\al(2,0))＋eq\f(ex0,x0)＝0，解得x0＝eq\f(1,2).(2)求下列函數(shù)的導數(shù)．①y＝x－2＋x2；②y＝3xex－2x＋e；③y＝eq\f(lnx,x2＋1)；④y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).【解析】(2)①y′＝2x－2x－3；②y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；③y′＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,xx2＋12)；④因為y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x2－eq\f(1,2)sinx，所以y′＝2x－eq\f(1,2)cosx.題型二導數(shù)運算法則的綜合應用【例2】已知曲線y＝eq\f(x,x－1)在(2,2)處的切線與直線ax＋2y＋1＝0平行，求實數(shù)a的值．【解析】因為y′＝eq\f(x′x－1－x－1′x,x－12)＝－eq\f(1,x－12)所以y′|x＝2＝－1即－eq\f(a,2)＝－1所以a＝2.【變式探究1】本例條件不變，求該切線到直線ax＋2y＋1＝0的距離．【解析】由例2知切線方程為x＋y－4＝0直線方程x＋y＋eq\f(1,2)＝0所以所求距離d＝eq\f(\f(1,2)＋4,\r(2))＝eq\f(9\r(2),4).【變式探究2】本例條件不變，求與直線y＝－x平行的過曲線的切線方程．【解析】由例2知y′＝－eq\f(1,x－12)令－eq\f(1,x－12)＝－1得x＝0或2所以切點為(0,0)和(2,2)，所以切線方程為x＋y－4＝0.【方法歸納】關(guān)于求導法則的綜合應用(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數(shù)、切線方程三個主要元素．其他的條件可以進行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系．(2)準確利用求導法則求出導函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務必做到準確．【跟蹤訓練2】已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導函數(shù)f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值．(2)設函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程．【解析】(1)因為f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3，所以g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.【易錯辨析】混淆曲線下的相切與導數(shù)背景下的相切致錯．【例3】若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9(a≠0)都相切，則a等于()A．－1或－eq\f(25,64)B．－1C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64)D．－eq\f(7,4)【答案】A【解析】因為y＝x3，所以y′＝3x2，設過點(1,0)的直線與曲線y＝x3相切于點(x0，xeq\o\al(3,0))，則在點(x0，xeq\o\al(3,0))處的切線斜率為k＝3xeq\o\al(2,0)，所以切線方程y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).又點(1,0)在切線上，所以3xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).當x0＝0時，由直線y＝0與曲線y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得方程ax2＋eq\f(15,4)x－9＝0有兩個相等的實數(shù)根，此時Δ＝(eq\f(15,4))2－4a×(－9)＝0，解得a＝－eq\f(25,64)；當x0＝eq\f(3,2)時，由直線y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)與曲線y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切，聯(lián)立直線方程和曲線方程并消去y，得ax2－3x－eq\f(9,4)＝0，此時Δ＝9－4×a×(－eq\f(9,4))＝0，解得a＝－1.綜上可得，a＝－1或a＝－eq\f(25,64).【易錯警示】出錯原因有的同學認為x0＝0時，此時直線y＝0與曲線y＝x3相交，就把這種情況舍去了，錯選了B.糾錯心得正確理解導數(shù)背景下的相切．例如直線y＝0與曲線y＝x3在x＝0處是相切的.一、單選題1．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則計算可得；【解析】解：.故選：C.2．已知函數(shù)，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】對函數(shù)求導，將代入導函數(shù)，即可得到導函數(shù)的表達式，再代入即可得到結(jié)果.【解析】因為，所以得到，因此，所以．故選：B.3．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，結(jié)合復合函數(shù)的導數(shù)運算法則求，進而求.【解析】，，∴，當時，.故選：C4．下列求導計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)的四則運算和復合函數(shù)的導數(shù)，即得解【解析】，A錯誤；，B正確；，C錯誤；，D錯誤．故選：B．5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，若函數(shù)，為的導函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和導數(shù)的運算法則即可求出.【解析】，，為等比數(shù)列，，，則.故選:C.6．若函數(shù)，則（）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導法則求導計算得解.【解析】令，則，求導得：，所以.故選：A7．設，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝.8．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)＝（）A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e【答案】C【分析】對函數(shù)求導得，再將代入，解方程即可得到答案；【解析】∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴，∴，解得，故選：C.二、多選題9．（多選）下列求導運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】A中′＝1－，A不正確；D中，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D不正確；BC正確.答案BC10．下列求導數(shù)運算正確的是（）A．（2021x）′=x2021x﹣1B．（x2021+log2x）′=2021x2020C．（）′D．（x23x）′=2x3x+x23xln3【答案】BD【分析】根據(jù)題意，依次計算選項中函數(shù)的導數(shù)，即可得答案.【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，（2021x）′=2021xln2021，A錯誤；對于B，（x2021+log2x）′=（x2021）′+（log2x）′=2021x2020，B正確；對于C，（）′，C錯誤；對于D，（x23x）′=（x2）′?3x+x2×（3x）′=2x3x+x23xln3，D正確.故選：BD.11．設函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．B．C．在處的切線方程為D．【答案】BC【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則，對四個選項一一求導，即可驗證.【解析】對于A：因為，所以，所以，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，故B正確；對于C：因為，所以，所以.而，所以在處的切線方程為，故C正確；對于D：.故D錯誤.故選：BC第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．函數(shù)在處的導數(shù)是______．【答案】6【分析】將函數(shù)解析式展開，再求導，之后代入即可得到結(jié)果.【解析】將函數(shù)解析式展開得到：，求導得，所以．故答案為：6.13．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】先利用基本函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求導，再利用導數(shù)的