6.2.3組合 教學(xué)設(shè)計(jì)【新教材 新思維高中數(shù)學(xué)】-2021-2022學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)同步教學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)）

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節(jié)問(wèn)題1的6種選法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成先選出甲、乙兩名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的.同樣，先選出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2種方法.從而甲、乙、丙3名同選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，就只需考慮選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的順序。于是，在6.2.1節(jié)問(wèn)題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況：甲乙、甲丙、乙丙.從三個(gè)不同元素中取出兩個(gè)元素作為一組一共有多少個(gè)不同的組？一、組合的相關(guān)概念1.組合:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.相同組合:兩個(gè)組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.名師點(diǎn)析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點(diǎn):兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素.(2)不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無(wú)關(guān).例1.校門(mén)口停放著9輛共享自行車(chē)，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛，下面的問(wèn)題是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題？

（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？

（2）從中選2輛給3位同學(xué)有多少種不同的方法？（1）與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題；（2）選出2輛給3位同學(xué)是有順序的，是排列問(wèn)題。例2.平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).

（1）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線(xiàn)段共有多少條？

（2）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段共有多少條？分析：（1）確定一條有向線(xiàn)段，不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn)，還要考慮他們的順序是排列問(wèn)題；

（2）確定一條線(xiàn)段，只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需要考慮它們的順序是組合問(wèn)題.解：（1）一條有向線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)，要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線(xiàn)段條數(shù)，就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線(xiàn)段條數(shù)為A42=4×3=12.

這AB

,

BA,AC

,

CA,AD

,

DA,BC（2）由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將（1）中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線(xiàn)段作為一條線(xiàn)段，就是中平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的條數(shù)，共有如下6條：

AB,AC,AD,BC,BD,CD.問(wèn)題2：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)？【例1】判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題.(1)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場(chǎng)？(2)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？解(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場(chǎng)比賽，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問(wèn)題.(3)3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問(wèn)題.(4)3人參加某項(xiàng)相同活動(dòng)，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.思維升華區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)是有無(wú)順序，而區(qū)分有無(wú)順序的方法是：把問(wèn)題的一個(gè)選擇結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說(shuō)明有順序，是排列問(wèn)題；若無(wú)新變化，即說(shuō)明無(wú)順序，是組合問(wèn)題.【訓(xùn)練1】判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題.(1)集合{0，1，2，3，4}的含三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)是多少？(2)某小組有9位同學(xué)，從中選出正、副班長(zhǎng)各一名，有多少種不同的選法？若從中選出2名代表參加一個(gè)會(huì)議，有多少種不同的選法？解(1)由于集合中的元素是無(wú)序的，一個(gè)含三個(gè)元素的集合就是一個(gè)從0，1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)組成的集合.這是一個(gè)組合問(wèn)題.(2)選正、副班長(zhǎng)時(shí)要考慮順序，所以是排列問(wèn)題；選代表參加會(huì)議是不用考慮順序的，所以是組合問(wèn)題.題型二簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題【例2】有5名教師，其中3名男教師，2名女教師.(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有__________種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議，有________種不同的選法；(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有__________種不同的選法.答案(1)10(2)4(3)3解析(1)從5名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，通過(guò)列舉法可得共有10種不同的方法.(2)可把問(wèn)題分兩類(lèi)情況：第1類(lèi)，選出的2名是男教師，有3種方法；第2類(lèi)，選出的2名是女教師，有1種方法.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋1＝4(種)不同選法.(3)從3名男教師中選2名的選法有3種，從2名女教師中選2名的選法有1種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的選法3×1＝3(種).思維升華(1)解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題，組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)別在于排列問(wèn)題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問(wèn)題與取出元素的順序無(wú)關(guān).(2)要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類(lèi)與分步的靈活運(yùn)用.在分類(lèi)和分步時(shí)，一定注意有無(wú)重復(fù)或遺漏.【訓(xùn)練2】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的4個(gè)白球和1個(gè)黑球.(1)從口袋內(nèi)取出的3個(gè)小球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內(nèi)的5個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是10.(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是需要從4個(gè)白球中取出2個(gè)，取法種數(shù)是6.(3)由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從4個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是4.題型三雙重元素的組合問(wèn)題【例3】某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益活動(dòng)，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，則不同的選派方案共有()A.25種 B.35種C.820種 D.840種答案A解析分三類(lèi)完成：男生甲參加，女生乙不參加，只需在其余5人中選3人，有10種選法；男生甲不參加，女生乙參加，只需在其余5人中選3人，有10種選法；兩人都不參加，只需在其余5人中選4人，有5種選法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理共有10＋10＋5＝25(種)不同的選派方案.思維升華本題用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題，兩個(gè)原理的區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理每次得到的是最后結(jié)果，分步乘法計(jì)數(shù)原理每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部分，當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)步驟全部做完后，整件事情才算完成.【訓(xùn)練3】某校開(kāi)設(shè)A類(lèi)選修課3門(mén)，B類(lèi)選修課5門(mén)，一位同學(xué)要從中選3門(mén).若要求兩類(lèi)課程中各至少選1門(mén)，則不同的選法共有()A.15種 B.30種C.45種 D.90種答案C解析分兩類(lèi)，A類(lèi)選修課選1門(mén)，B選修課選2門(mén)，或者A類(lèi)選修課選2門(mén)，B類(lèi)選修課選1門(mén)，因此，共有3×10＋3×5＝45(種)選法.三、課堂小結(jié)1.牢記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)組合的概念；(2)排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)