考研專業(yè)課題庫 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系《數(shù)學(xué)分析》（第3版）（下冊）（真題 課后題 章節(jié)題 模擬題）

第一模塊名校考研真題第1部分?jǐn)?shù)項(xiàng)級數(shù)和反常積分第9章數(shù)項(xiàng)級數(shù)第10章反常積分第2部分函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第11章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)第12章傅里葉級數(shù)和傅里葉變換第4篇多變量微積分學(xué)第1部分多元函數(shù)的極限論第13章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第2部分多變量微分學(xué)第14章偏導(dǎo)數(shù)和全微分第15章極值和條件極值第16章隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)第3部分含參變量的積分和反常積分第17章含參變量的積分第18章含參變量的反常積分第4部分多變量積分學(xué)第19章積分(二重、三重積分，第一類曲線、曲面積分)的定義和性質(zhì)第20章重積分的計(jì)算及應(yīng)用第21章曲線積分和曲面積分的計(jì)算第22章各種積分間的聯(lián)系和場論初步第二模塊課后習(xí)題第1部分?jǐn)?shù)項(xiàng)級數(shù)和反常積分第9章數(shù)項(xiàng)級數(shù)第10章反常積分第2部分函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第11章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)第12章傅里葉級數(shù)和傅里葉變換第4篇多變量微積分學(xué)第1部分多元函數(shù)的極限論第13章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第2部分多變量微分學(xué)第14章偏導(dǎo)數(shù)和全微分第15章極值和條件極值第16章隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)第3部分含參變量的積分和反常積分第17章含參變量的積分第18章含參變量的反常積分第4部分多變量積分學(xué)第19章積分(二重、三重積分，第一類曲線、曲面積分)的定義和性質(zhì)第20章重積分的計(jì)算及應(yīng)用第21章曲線積分和曲面積分的計(jì)算第22章各種積分間的聯(lián)系和場論初步第三模塊章節(jié)題庫第1部分?jǐn)?shù)項(xiàng)級數(shù)和反常積分第11章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)第12章傅里葉級數(shù)和傅里葉變換第1部分多元函數(shù)的極限論第13章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第2部分多變量微分學(xué)第14章偏導(dǎo)數(shù)和全微分第15章極值和條件極值第16章隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)第3部分含參變量的積分和反常積分第17章含參變量的積分第18章含參變量的反常積分第4部分多變量積分學(xué)第19章積分(二重、三重積分，第一類曲線、曲面積分)的定義和性質(zhì)第20章重積分的計(jì)算及應(yīng)用第21章曲線積分和曲面積分的計(jì)算第22章各種積分間的聯(lián)系和場論初步第四模塊模擬試題復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系《數(shù)學(xué)分析》(第3版)配套模擬試題及詳解第一模塊名校考研真題第1部分?jǐn)?shù)項(xiàng)級數(shù)和反常積分1.若收斂，則存在.[重慶大學(xué)2003研]【答案】錯查看答案【解析】舉反例：,雖然發(fā)散.v,→1,n→,則收斂.[南京師范大學(xué)研]【答案】錯查看答案二、解答題1.求級的和.[深圳大學(xué)2006研、浙江師范大學(xué)2006研]2.討論正項(xiàng)級的斂散性.[武漢理工大學(xué)研]解：由,所以當(dāng)a>1時收斂，當(dāng)0<a<1時發(fā)散；當(dāng)a=1時，由于,故發(fā)散.3.證明：收斂.[東南大學(xué)研]證明：因,所以4.討論：p∈R的斂散性.[上海交通大學(xué)研]證明：因?yàn)樵鰯?shù)列，為減數(shù)列，所以.從而判別法知收斂：當(dāng)p=0時，因發(fā)散，所發(fā)散：發(fā)散.則有,故由比較判別法知級數(shù)收斂.6.求[中山大學(xué)2007研]解：由于,解：由于,所絕對收斂連理工大學(xué)研]證明：因,所以對任意的e,存在N,當(dāng)n>N時，有即現(xiàn)在證明現(xiàn)在證明所以對任意的ε,存在N,當(dāng)n>N時，有對任意的0<c-ε<r,有因此8.說明下面級數(shù)是條件收斂或絕對收斂[復(fù)旦大學(xué)研]解：數(shù)n的單調(diào)遞減函數(shù).且由萊布尼茲判別法，可知收斂.故當(dāng)2x>1,即收斂，即對收斂；條件收斂.9.證明：若絕對收斂，則亦必絕對收斂.[華東師范大學(xué)研]證明：絕對收斂，從而收斂，記所以收斂，即10.證明級數(shù)研]對收斂.發(fā)散到發(fā)散到+發(fā)散到林大學(xué)[吉林大學(xué)林大學(xué)所以原級數(shù)發(fā)散到+∞.學(xué)研、浙江大學(xué)研、南京師范大學(xué)2006研]【答案】錯查看答案【解析】舉反例：利用反常積分概念，很明顯可知滿足題意，但是二、解答題1.如果廣義積(其中a是瑕點(diǎn))收斂，那收斂.并舉例說明命題的逆不成立.[中國科學(xué)院研]證明：收斂，根據(jù)柯西準(zhǔn)則，VE>0存在8>0,只要，uz∈(a,a+8),總有利用定積分的絕對值不等式，又有再由柯西收斂準(zhǔn)則的充分性可知收斂.命題的逆不成立，例如：而由狄利克雷法可以判定是條件收斂的，從而可知不收斂.2.積分是否收斂?是否絕對收斂?證明所述結(jié)論.[北京大學(xué)研]而絕對收斂，積分是無窮積分，當(dāng)x>1時，已知條件收斂，而絕對收斂，所以無窮積分條件收斂但不絕對收斂.綜合可知：條件收斂.3.計(jì)算積分[武漢大學(xué)研]解：設(shè)S.=[0.a]×[0.a]顯然f(z,y)=e-2+3在SA上可積，且而即由夾逼原則可得4.求[中山大學(xué)2007研]解：由于,所以絕對收斂.解：令u=1/t,則原式變?yōu)?.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+○]上連續(xù)，0<a<b.,,其中介于aα與ba之間.令α→0°,β→+∞,則同時有5→0+*由f(x)在(0,+)內(nèi)至少有一個零點(diǎn).第2部分函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第11章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)解答題1.證明：若K(x,t)在D=[a≤x≤b,a≤t≤b]上連續(xù)，uo(x)在[a,b]上連續(xù)，且對任意x∈[a,b],令證明：K(x,t)在閉區(qū)域D上連續(xù)，從而在D上有界，即3M?>0使得對uo(x)在[a,b]上連續(xù)，從而在[a,b]上有界，即3M>0使得對由數(shù)學(xué)歸納法易知(x)在[a,b]上一致收斂.2.證明：在任何有窮區(qū)間上一致收斂，而在任何一點(diǎn)都不絕對收斂.[華證明：(1)對任何有窮區(qū)間1,3M?>0,使得對一切x∈I有I≤M②對單調(diào)減且,即是一致有界的.由阿貝爾判別法知在任何有窮區(qū)間I上，級①對Ve>0,;,則當(dāng)n>N時，對一切∈[a·由①式，工(z)-F'(x)=|f'(x+0.)-f'((2)f(x)在(-。,+○)內(nèi)處處有任意階導(dǎo)數(shù)，級數(shù)…+"(x)+…+按二個方向在(-,+o)內(nèi)一致收斂.試求級數(shù)的和函數(shù)F(x).[同濟(jì)大學(xué)研]證明：(1)與均收斂，所以"收斂，與均收斂，所以"收斂，當(dāng)x=1時，.亦收斂.但f(0)=f'C0)=f"(0)=1.廠(0)=0.f(0)=-3,(0)=-87.判斷級數(shù)的收斂性并給出證明.[北京大學(xué)研]解：由于而因此由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法收斂，從而也收斂.8.的收斂域.[大連理工大學(xué)2006研]于0,所以當(dāng)x=1時該級數(shù)發(fā)散.當(dāng)x=-1時，為交錯級數(shù)，所以收斂.的收斂域?yàn)?-1,1).9.求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).[西安電子科技大學(xué)研]解：由于,所以收斂半徑為√2,易知其收斂域?yàn)?-√2.√2).記所10.求冪級的收斂域及和函數(shù).[華南理工大學(xué)2006研]所以[-1,1]為其收斂域，在[-1,1]內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積分，因此令令所以11.的Maclaurin級數(shù)展開式.[華東師范大學(xué)2006研]解：由從而12.求f(x)=In(2+x2)在x=0處的冪級數(shù)展開式及收斂半徑.[中南大學(xué)研],有易知其收斂半徑R=√2學(xué)研]證明：易知在(-0,+o)上一致收斂.[東北大,由于故,從而有15.設(shè)函數(shù)un(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(n=1,2,3,…),級數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)一致收斂.證明：函在閉區(qū)間[a,b]上一致連續(xù).[北京交通大學(xué)2006研、深圳大學(xué)2006研]證明：由于級數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)一致收斂，所以對任意的E>0,存在N由于函數(shù)u(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(n=1,2,3,.…),在上式中分別令x→at,x→b-有從而有在閉區(qū)間[a,b]上一致收斂.故函在閉區(qū)間[a,b]上一致連續(xù).16.設(shè)函數(shù)f(x)在(-,+∞)上有任意階導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)函數(shù)列f"(x))證明：由于(x).在(-0,+)上一致收斂于φ(x),從而(f"(x)即"(x)在(-0,+o)上一致收斂，由一致收斂函數(shù)列的可微性質(zhì)得于是φ(x)=Ce.又因?yàn)棣?0)=1,所以C=1,故φ(x)=e3.17.設(shè),計(jì)算積分[江蘇大學(xué)2006研]收斂，故由Weierstrass判別法知在(-0,+c)上一致收斂.從而由一致收斂函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的可積性知第12章傅里葉級數(shù)和傅里葉變換1.試將周期函數(shù)f(x)=arcsin(sinx)展為傅里葉級數(shù).[哈爾=-arcsin(sinx)=-f(x).故f(x)是奇函數(shù)，于是有4.=0(n=0.1,2.……)時，力=0,當(dāng)n=2k+12.將函數(shù)f(x)=x(0<x<2)展成余弦級數(shù).[國防科技大學(xué)研]解：將f(x)=x延拓為(-2,2)上的偶函數(shù)故對Vx∈(0.2)有f(x)=x=1+(3)對任意的a、b,有,因?yàn)榧墧?shù)在[a,b]上一致收斂，所以但,所以級數(shù)關(guān)于a、b∈(0,1)一致收斂.故4.的Fourier級數(shù)，并由此求級數(shù)的和.[華南師范大學(xué)研]解：根據(jù)Fourier級數(shù)的系數(shù)公式可得展開成正弦級數(shù)，并求出該正弦級數(shù)的和函數(shù)解：若要展開成正弦級數(shù)，應(yīng)該將f(x)奇延拓至(-π,0).由于解：由于當(dāng)n≥1時，有所以在開區(qū)間(-π,π)上的Fourier級數(shù)為由于f(x)在上可積，于是Parseval等式成立7.f(x)是周期為2的函數(shù)，且在區(qū)間[0,2]上定義為求f(x),有,有故第1部分多元函數(shù)的極限論第13章多元函數(shù)的極限與連續(xù)解答題1.用定義證明.[山東師范大學(xué)研]證明：由所以對任意的ε>0,取δ=1,y>A時，有艮2.·[上海理工大學(xué)研]解：由于當(dāng)x>0、y>0時，有,故由夾逼法知[南京農(nóng)業(yè)大學(xué)研]4.討論二元函在(0,0)處的重極限與累次極限.[南京師范大學(xué)研]貝解：令(x,y)沿直線y=kx趨于(0,0),得不存在.(1)對每個(x,y)∈Ω的x存證明：由條件(2),得①①在①式兩邊令→,則)存在.由條件(2),得38?>0,當(dāng)0時由條件(1),得3品>0,當(dāng)時,得30,>0,當(dāng)o<1x-zoI<&時②③④第2部分多變量微分學(xué)第14章偏導(dǎo)數(shù)和全微分①③0)處連續(xù).④證明f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)但不可微.[南開大學(xué)研]故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，下證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微.令而與k有關(guān).所以f(x,y)在(0,0)處不可微.證明f(x,y)在(0,0)處連續(xù)且計(jì)算f(0,0)和f(0,0).[天津工業(yè)大學(xué)2006研]4.討論在(0,0)點(diǎn)的連續(xù)性和可微性.[武漢大學(xué)研]解：(1)連續(xù)性.可以令x=ζcosθ,y=ζsinθ,因?yàn)樗詅(x,y)在(0,0)點(diǎn)連續(xù).(2)可微性.由于1,所以f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不可微.故6.函數(shù)u=x2+y2+z2+xyz在M(1,1,1)沿方向l=(1,-1,1)的方向?qū)?shù).[天津大=-L(x-y.φ(xy)+xp(xy)f。(x-y,p(xy))+[q(y)+xvφ(xy)]/f,(x-y+yp(y)[-f,(x-y,p(xv))+xo(x)f,(x-y,=-L(x-y,φ(y))+(x-yφ(xy)f。(x-y,p(y)+xy[φ(xy)P,(x-y.+[φ(xy)+xyφ'(xy]/f(x-y.,,.[華中科技大學(xué)研]故充分性.令則即亦即又由得,于是13.設(shè)z由(cx-az,cy-6z)=0定義為x,y的隱函數(shù)，其中9為二次連續(xù)可微，求解：由(cx-az,y-如)=0兩邊對x求導(dǎo)得①式兩端再對x求導(dǎo)得為=1與(1)當(dāng)t=1時，過曲線上的點(diǎn)(1,-1,1)的切線，其方向數(shù)為：=(1,-2,3),切線方第15章極值和條件極值L(x,y,z,λ)=ax2+by2+c2+A(重L(x,y,k)=2x2+y2-8x-2y+9+a令L'=L',=L'=0.得x2+x+2=1-y1=f(y)C∵x+3=令，=L',=.='=L0.得L(x.y,z,d:dz)=x2+y2+x2+A(x2+y-z)+A由b=4,2,3,求一點(diǎn)使其到這三條直線的距離的平方和最小.[汕頭大學(xué)研]解：點(diǎn)(x,y)到三條直線的距離的平方和為,對f(x,y)求偏導(dǎo)，并令它們都等于0.解此方程得由于這樣的最小值一定存在，所以此解就是要求的點(diǎn).7.在已知三角形內(nèi)求一點(diǎn)，使該點(diǎn)至三個頂點(diǎn)的距離的平方和最小.[四川大學(xué)研]解：設(shè)三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是ACa1.bj),B(az.b?).CCay,b?),在△ABCM則由初等幾何知0?,B.為飩角，故從而AB2+AC>2AM。2+BM。+CM。>AM。+BM。+這說明A點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離平方和大于Mo點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離的平方和，則Mo即為所求.8.用條件極值法證明不等式：下求/在x+x+…x,=r(r>0)下的極值.為此，作拉格朗日函數(shù)十x-r)L(x?·x:…·x.A)=f(xx+z?…,x.)+A十x-r)9.求f=2x+4y+4z在球面x2+y2+z2=1上的最大平面方程.[北京化工大學(xué)研],或由,所以f=2x+4y+4z在球面上的最大值為6,最小值為-6.此球面在最大值點(diǎn)處的切平面.方程為x+2y+2z=3,在最小值點(diǎn)處的切平面方程為x+2y+2z=-3.10.求旋轉(zhuǎn)拋物面z+x2+y2=0到平面4x+2y+z=6的最短距離.[天津大學(xué)研]第16章隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)得y-1-ey'cosy=0對x求導(dǎo)得y-ey'cosy+E(y)2sin(1)由方程確定了隱函數(shù)z=z(x,y);(2)由方程確定了隱函數(shù)y=y(z,x).[華東師范大學(xué)研]解：(1)將3x+2y2+z3=6xyz對x求又又大學(xué)2006研]6.設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=z(x,y)由方程xe?-ye°=ze2所解：將xe3-ye"=ze2分別對x8.請將直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)分量x、y所滿足的常微分方程組變換成極坐標(biāo)系下坐標(biāo)分量r、θ所滿足的相應(yīng)方程組.[復(fù)旦大學(xué)研].[河北學(xué)研]對對第3部分含參變量的積分和反常積分第17章含參變量的積分1.求積分其中a>b>0.[北京大學(xué)研]解：由,顯然f(x,y)在x≥0,試證：當(dāng)x≥0時，.[天津大學(xué)研]證明：記,則F'(,)=-2ze+(0)=0,所以因此，當(dāng)x≥0時，3.計(jì)算積分.[南京大學(xué)研]3.計(jì)算積分第18章含參變量的反常積分1.試判斷在y≥a>0時是否一致收斂?說明理由.[北京師范大學(xué)研]在y≥a>0時一致收斂.單調(diào)遞減趨于0,故由Dirichlet判別法知收斂，即關(guān)于參數(shù)α在[0,+0]上一致收斂.ea關(guān)于x單調(diào)，且一致有界le“|≤1,因而由Abel判別法知關(guān)于參數(shù)α在[0,+0]上一致收斂.3.證明：積分上一致收斂.[武漢大學(xué)研]解：做變量替換可得又收斂，故由Weierstrass判別法知I?1上一致收斂.對于I?,顯關(guān)于x單調(diào)遞減.由,所在上一致收斂于0.又易知部分一致有界，故由Dirichlet判別法上一致收斂，從而上一致收斂，即上一致收斂.4.證明：證明：由于在x>0上一致收斂.[清華大學(xué)2006研]所以當(dāng)A→+o時，有一致收斂于0,故在x>0上一致收斂.5.,(a≥0),證明：J(α)可微并求出J(α).[東南大學(xué)研] 收斂，所以根據(jù)Weierstrass判別法可a≥0上一致收由于故由Weierstrass判別法知在α≥0上一致收斂，從而有J(a)可微.由一致收斂反常積分的可微性知所以(2)計(jì)算I(x).[南京大學(xué)研]收斂.于是有(2)由于I(x)在(0,+)上一致收斂，再做變量替換得.[浙江大學(xué)2006研]續(xù).于是對eo>0,存在8>0,當(dāng)x-x:|<8,v-x.|<8,x、x?E[4.A?],v、v?e/第4部分多變量積分學(xué)即第20章重積分的計(jì)算及應(yīng)用 對任意點(diǎn)(x,y,z)有下式成立f(x+1,y,z)=f(x,y+1,z)=f(x,y,zb>0)所圍成的區(qū)域.[北京師范大學(xué)2006研]x=arc11.已知兩個球的半徑為a和b(a>b),且小球球心在大球球面上，試求小球在大球內(nèi)那解：如圖示以小球心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則大記所考慮的立體為V,則V在xy平面上的投影D:V的體積(仍記為V)圖20-112.計(jì)算三重積分,其中Ω是曲面√+x與=3+圍成的有界區(qū)域.[北京大學(xué)研]解：如圖示Ω在xy平面上的投影.所以圖20-213.求三重積分的值.[西安交通大學(xué)研]圖20-3圖20-3=2π.則積分區(qū)域變?yōu)闁|師范大學(xué)研]解：做球坐標(biāo)變換x=arsinφcosθ.y=brsinosinb,z16.半徑為r的球體沉入水中，其比重與水相同，試問將球體從水中撈出需做多少功?[江蘇大學(xué)2006研]從而將球體從水中撈出需做的功為第21章曲線積分和曲面積分的計(jì)算1.計(jì)算第一型曲線積,點(diǎn)的三角形。[深圳大學(xué)2006研]解：連接(0,0)與(2,0)的邊的方程為y=0(0≤x≤2);的邊的方程為于是2.,其中L沿(0,0)到(π,0)的正弦曲線.[山東師范大學(xué)研]東科技大學(xué)研]4.計(jì)算,其中L表示逆時針方向左半橢圓：(x≤0,a>b>0).[北京師范大學(xué)2006研]解：令內(nèi)的原點(diǎn)不連續(xù)，所以Green公式不能用.做變量替換6.求下列積其中，S?在xy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈:.由S的方程z=√a2-x2-y2知，所以8.設(shè)V是不含原點(diǎn)的有界區(qū)域，其體積為IVI程求。[華中科技大學(xué)2006研]解：因?yàn)閞={z,y,z}的單位向量外法線n={cos(n,x),cos(n,y),cos(n所以這里應(yīng)用了礦0+2f0)-1=0。x2+y2+z2=a2(a>0)9.求球面被平面所夾部分的曲面面積.[中11.求球面x+y+3=r上r-h≤z≤r(0≤h≤r)的那一部分曲面的垂心.[山東大學(xué)研]解：根據(jù)球面的對稱性知，垂心坐標(biāo)為0.0,).其中所以即所求垂心坐標(biāo)為12.計(jì)算所以，所求積分第22章各種積分間的聯(lián)系和場論初步解答題1.計(jì)算,其中C是圓周x2+y2=a2.[哈爾濱工業(yè)大學(xué)、北京航空航天大學(xué)研]2.求曲線積分：其中L是圓周x2+y2=1由A(1,0)依逆時針方向轉(zhuǎn)到B(-1,0)的半圓.[哈爾濱工業(yè)大學(xué)2006研]解：補(bǔ)充BA這條線段，使ALB成為封閉的半圓，逆時針方向?yàn)檎?根據(jù)Green公式可得3.計(jì)算，2+z2)dx+(z2+x)dy+(x2+y的交線z≥0的部分，曲線的方向規(guī)定是從原點(diǎn)進(jìn)入第一象限的方向.[清華大解：依題意S為F=(x-2)2+y2+z2=4,法向量,單位法向量則根據(jù)Stokes公式可得又4.計(jì)算曲線積解：令Lo是圓周x2+y2=E2,其中L是圓周(x-D2+y2=2,取逆時針方向.[武漢理(ε充分小),取逆時針方向.由于所以由變量替換x=ecost,y=Esint,0≤t≤2π知5.求曲線積分其中有向曲線OA為沿著正弦曲線從O(0,0)到A(π,0).[華東師范大學(xué)從而6.f在R3有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對任意的(x,y,(2)由Gauss公式可得故由f在R3上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)知，所以由對稱性可得7.計(jì)算曲面積分其中S為錐面的外側(cè)。[南京大學(xué)研]解：補(bǔ)齊x2+y2=a2,z=hS是曲面|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+yF=1的外表面。[大連理工大學(xué)2006研]解：首先利用Gauss公式可得.現(xiàn)在求V的體積，做變量替換.V在坐標(biāo)變換下的新的積分區(qū)域1為{(u,v.wlu|+|v+|w≤1),所別為(0,0),(1,1)時，曲線積分的值.[上海交通大學(xué)研]解：由積分與路徑無關(guān)的條件知取連結(jié)A(0.0)→C1,0)→B(1,1取連結(jié)A(0.0)→C1,0)→B(1,1第二模塊課后習(xí)題第1部分?jǐn)?shù)項(xiàng)級數(shù)和反常積分于是，當(dāng)n>k時，有Tn+yn≤αk+βk故證明：(1)因0≤n≤sup{zn},0≤yn≤sup{ym},據(jù)下確界是下界中最大的，則有inf{xn·yn}≥inf{zn}·inf{ym}≥0○),則(1)顯然成立，因α>0,則(2)顯然成立.為所有收斂子列的極限中的最大者.下證α+β為{xn+yn}之一切收斂子列的極限中的最大者(用反證法)這與β為{yn}的所有收斂子列的極限中的最大值矛盾.于是α+β就是{xn+yn}所有收斂子列極限的最大值.同理可證，當(dāng)α>0時，α+β為{xn+yn}的一切收斂子列的極限中的最大值.4.求下列數(shù)列的上極限與下極限：解：(1)它只有兩個具極限的子數(shù)列：重重于當(dāng)n=10k+2(k=1,2,...)5.此處ko是任意固定的整數(shù).且當(dāng)α>0時，故且當(dāng)α>0時，綜合(1)(2),得當(dāng)α>0時，結(jié)論成立.(3)若α=0,則顯然于是得此結(jié)論正確.情況如何?證明：(1)]由§1定理1,得{an}中至多只有有限項(xiàng)屬令這有限項(xiàng)的足標(biāo)最大者為N,則當(dāng)n>N時，,結(jié)論未必成立.而但有無窮多項(xiàng)a2n=2>1(n=1,2,…)§2級數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)1.討論下列級數(shù)的斂散性：于是據(jù)定義知，級收斂.(4)因(1)ao+a?q+a?g2+…+anq"+…,Ial<1,|證明：(1)因?qū)θ魏巫匀粩?shù)p,ISa+p-SnI=lang"+a+19"+1+…+an+p-19"+P-1|≤|anll"l+|am+1|q++收斂.收斂.(2)此級數(shù)3.設(shè)正項(xiàng)級數(shù)(即每一項(xiàng)an>0),試證明若對其項(xiàng)加括號所組成的級數(shù)收斂，亦收斂.證明：部分和數(shù)列為{Sn},加括號后所組成的級數(shù)為仍為正項(xiàng)級數(shù).設(shè)其部分和數(shù)列為{Sn"},其中收斂，由基本定理，得{Sn"}有上界，即存在M>0,使Sn"≤M,從而Sn≤Sn"≤M,說明{Sn}有上界4.確定使下列級數(shù)收斂的x的范圍.解：(1)此級數(shù)是公比的等比級數(shù)，故時級數(shù)收斂從而收斂域?yàn)閤<-2或x>0.(2)此級數(shù)是公比為Inx的等比級數(shù)，故當(dāng)|lnx|<1時級數(shù)收斂§3正項(xiàng)級數(shù)1.判斷下列級數(shù)的收斂與發(fā)散： 解：(1)E而級是發(fā)散的則由比較判別法，得級亦發(fā)散.(2)因則由達(dá)朗貝爾判別法，得級收斂.(3)因故級發(fā)散.(5)收斂，故級收斂.故則由比較判別法，得級發(fā)散.(8)E故級收斂.(9)因則據(jù)比較判別法，得級收斂.(10)因且級收斂則據(jù)比較判別法，得級收斂.則據(jù)達(dá)朗貝爾判別法，得級收斂.(13)因則即b<a時，級收斂；,需進(jìn)一步判斷.例如：級發(fā)散；而級數(shù)收斂.2.若正項(xiàng)級收斂，證明也收斂，其逆如何?其逆不真.例：收斂，但發(fā)散；收斂，收斂.如何?若,那的斂散性之間有什么關(guān)系?取Eo=1,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時，有艮于是un<vn(n發(fā)散.老收斂，則由比較判別法，老收斂，則由比較判別法，斂散性不定.4.若兩正項(xiàng)級發(fā)散，則由比較判別法，發(fā)散.對斂散性不定.卻收斂.5.利用級數(shù)收斂的必要條件證明：證明：(1)則據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的極限形式，得收斂，從而由級數(shù)收斂的必要條件，得則據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的極限形式，得收斂，從而由級數(shù)收斂的必要條件，得6.討論下列級數(shù)的收斂性：(3)又因u?n+I≤u2n,un≥0則于是從而是是否也收斂.解：級數(shù)收斂，下證：均為正項(xiàng)級數(shù).因?yàn)榧壎际諗?，所也收斂，由正?xiàng)級數(shù)的比較判別法可知，收斂.也收斂，又根收斂，可知收斂.9.證明達(dá)朗貝爾判別法及其極限形式.證明：(1)達(dá)朗貝爾判別法：因q<1,則收斂，于是由收斂級數(shù)性質(zhì)1知，也收斂再由收斂級數(shù)性質(zhì)5知，添加有限項(xiàng)u1,u?,…,UN+1也收斂，從而由比較判別法，后得到的新級數(shù)也收斂.又un≥0,發(fā)散.(2)達(dá)朗貝爾判別法的極限形式：由上極限的定理1的證明中，知只有有限項(xiàng)大于+E0+于是定存在一個正整數(shù)N(只要取有限項(xiàng)中下標(biāo)最大的做N即可),使得當(dāng)n>N時，故由達(dá)朗貝爾判別法知級數(shù)收斂.由實(shí)數(shù)的稠密性知必存在eo>0,使得“>r-Eo>1由上極限的定理2的證明中，只有有限項(xiàng)小于T+E0,于是定存在一個正整數(shù)達(dá)朗貝爾判別法知級數(shù)發(fā)散.(iii)舉例說明：發(fā)散；收斂.§4任意項(xiàng)級數(shù)1.討論下列級數(shù)的收斂性(包括條件收斂和絕對收斂):于級數(shù)絕對收斂.發(fā)散，則發(fā)散又對級則由達(dá)朗貝爾判別法的極限形式，得級于是原級數(shù)發(fā)散.發(fā)散，則由比較判別法，得發(fā)散條件收斂.單調(diào)下降，從當(dāng)n≥2時單調(diào)下降則據(jù)萊布尼茲定理，收斂發(fā)散與x有相同的符號且隨n增大而減小到0,則由萊布尼茲判別法，得收斂從條件收斂.(7)設(shè)部分和數(shù)列{Sn},則于是則此級數(shù)加括號后發(fā)散，從而原始級數(shù)發(fā)散.2.證明：若級數(shù)的項(xiàng)加括號后所作成的級數(shù)收斂，并且在同一個括號內(nèi)項(xiàng)的符號相同，那末去掉括號后，此級數(shù)亦收斂；并由此考察級的收斂性.證明：(1)已知新級數(shù)收斂.且在同一括號內(nèi)符號相同當(dāng)原級數(shù)下標(biāo)n從nk-1到nk時，的部分和單調(diào)變化，即事物于收斂.事物于收斂.當(dāng)n=k2,k2+1,…,k2+2k(k=1,2,…)時，諸an同號，記是交錯級數(shù)3.討論下列級數(shù)是否絕對收斂或條件收斂：解：(1)當(dāng)x<0且不為負(fù)整數(shù)時，因x為定數(shù)，則當(dāng)n充分大時，即存在N∈Z+,當(dāng)n>N時，有從則當(dāng)x不為負(fù)整數(shù)時，此級數(shù)為條件收斂.(2)則由達(dá)朗貝爾判別法，得收斂再據(jù)比較判別法，得絕對收斂.(3)且數(shù)單調(diào)趨于0則由狄立克萊判別法，得收斂.單調(diào)趨于0則由狄立克萊判別法，得收斂.則級條件收斂.絕對收斂.則狄克萊判別法，得收斂.且由剛才證明可得收斂.又當(dāng)0<p≤1時，發(fā)散，則發(fā)散，于發(fā)散則級當(dāng)0<p≤1時條件收斂.證明：(1)若級都是正項(xiàng)級數(shù)(2)若級不一定都是正項(xiàng)級數(shù)例：級為萊布尼茲型級數(shù)，則其收斂且5.若正項(xiàng)級數(shù)收斂，證明也收斂.又若收斂但它不是正項(xiàng)級數(shù)，那么結(jié)論又如何.0<2<n>N取8o=1,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時，有|an|<8o=1即O≤an<1,于從而由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法，得收斂.發(fā)散；收斂，收斂.且單調(diào)有界，且又級收斂，則由阿貝爾判別法，得收斂.證明：因{nan}收斂，則其部分和數(shù)列有極限，設(shè)其極限為S于收斂，從收斂.8.絕對收斂，收斂，那收斂.由Abel變換，得9.利用柯西收斂原理證明交錯級數(shù)的萊布尼茲定理.證明：對任何自然數(shù)p,有||Sn+-S|=|(-1)"+2un+1+(-1)n+3n+2+…+(-1)"+p+1u(-1)"+2(4n+1-un+2+…+(-1)P-1un+D)|=|un+1||Sn+-S|=|(-1)"+2un+1+(-1)n+3n+2+…+(-1)"+p+1u總之|un+1-n+2+…+(-1)P-1un+un+1-(1n+2-un+3)-…-(un+p-2-un+p-1)-un+p≤Un+1-(un+2-un+3)-…-(un+p-1-un+p)總之n+1-un+2+…+(-1)P-1+≤un+1對任意ε>0,由此，當(dāng)n>N時，對任何自然數(shù)p都有從而由柯西收斂原理，收斂.§5絕對收斂級數(shù)和條件收斂級數(shù)的性質(zhì)絕對收斂(6)絕對收斂(7)又證明：因則據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的極限形式，得級數(shù)收斂于是級絕對收斂同理，級絕對收斂其中貝3.證明：可以作出條件收斂級數(shù)的更序數(shù)級數(shù)，使其發(fā)散到+○.由定理1,得都發(fā)散，且發(fā)散到+。,發(fā)散到-○選取發(fā)散到+的數(shù)列{βn},即按順序一項(xiàng)一項(xiàng)加起來然后取m2,使vi+v?+.…+vm?+Vml+1+.…+vm2>β2+wi+w?一般地，可取充分大mk>mk-1,使得v?+v?+.…+vml+.…Vm2+…+vmk>βkwi+w?+.….Wk這樣交錯地放入一組正項(xiàng)和一個負(fù)項(xiàng)：(vh+…+Vm?-u)+(vm+1+…+tmg-w2)+…+(vma-1+1+…+Um,-wk)+…此級數(shù)顯然為原級數(shù)的更序級數(shù)因(*)加括號后的級的k次部分和則發(fā)散到+○又發(fā)散級數(shù)可任意去括號，則可以作出條件收斂級數(shù)的更序級數(shù)，使其發(fā)散到+o.§6無窮乘積1.討論無窮乘積的收斂性：解：(1)[,m≥3,從而據(jù)定理2,收斂.因級為萊布尼茲型級數(shù)，則其收斂，于是級收斂，從收斂.(3)由于部分乘積故無窮乘發(fā)散于0.2.證明：若收斂，收斂.絕對收斂，收從絕對收斂.第10章反常積分1.求下列廣義積分的值：2.討論下列廣義積分的收斂性：③③是正常積分，則其必收斂收斂.(3)收斂，從收斂.則由比較判別法，發(fā)散.則當(dāng)n-m>1時，收斂；當(dāng)n-m≤1時，發(fā)散.3.證明絕對收斂的廣義積分必收斂，但反之不然.有從而收斂.收斂的廣義積分未必絕對收斂.4.證明對于無窮限積分，分部積分公式成立(當(dāng)公式中各部分有意義時)5.證明：設(shè)f(x)為(0,+o)上的一致連續(xù)函數(shù)，并且積收斂，則 ≥0,是否仍舊成f(xA)≥2e.取序列An→+○(n→+○),有序列xn→+0且xn>另一方面，由f(x)的一致收斂性，對上述ε>0,36>0.使得當(dāng)x'-x"|<8時，有|f(x')收斂，以及f(x)在(0,+)連續(xù)，f(x)≥0,并不能保證它是絕對收斂的.其注意到為正常積分，則必收斂收斂，收斂顯在(0,+∞)上非負(fù)連續(xù)但若取xn=2nπ(n=0,1,2...),有f(xn)=f(2nπ)=2nπ→+o(n→0)6.證明：若f(x),g(x)在任何區(qū)間[a,A]可積，又設(shè)f(x),g2(x)在(a,+o)積分收斂，那么[f(x),g(x)]2和|f(x)g(x)|存在.都收斂則收斂，于是則由比較判別法，得[f(x),g(x)]2在(a,+○)上可積.7.對無窮限廣義積分，討論平方可積和絕對可積的關(guān)，考察例子其中證明：平方可積書絕對可積絕對可積書平方可積收斂，且收斂.8.討論下列積分的絕對收斂性計(jì)條件收斂性：解：(1)對A>0,由于是由狄立克判別法，收斂.但它不為絕對收斂.則由柯西判別法的極限形式，得發(fā)散；貝發(fā)散，從而積分條件收斂.(2)(i)當(dāng)λ>1時，因且當(dāng)λ>1時，收斂，從而絕對收斂.絕對收斂.(ii)當(dāng)0<λ≤1時當(dāng)0<λ≤1時，單調(diào)減少，當(dāng)x→+時，趨于0,則由狄立克判別法，收斂.同理，條件收斂.因n→+0,2nπ→+,于是對任意A>0,至少可以找到(2n+1)π>2nπ>A.同理，發(fā)散.0<λ≤1時，條件收斂；λ<0時，散.當(dāng)x足夠大時，隨x→+而單調(diào)下降趨于0;則據(jù)狄立克萊判別法，原積分收斂.(ii)設(shè)Qn(x)=1.此時多項(xiàng)式為Pm(x)=amx"+.….+ao,不妨設(shè)am>0;,此時有為正常積分，則必收斂，于是發(fā)散.發(fā)散.(iv)設(shè)Qn(x)=bnx"+.則由8(2)知，當(dāng)λ=n-m>1時，積分絕對收斂綜合知：m≥n時，積分發(fā)散；m=n-1時，積分條件收斂；m<n-1時，積分絕對收斂.此時函數(shù)單調(diào)減趨于0,則由狄立克判別法，收斂.為正常積分，則必收斂，于收斂，則由柯西判別法，得發(fā)散，從而原積分條件收斂.§2無界函數(shù)廣義積分1.下列積分是否收斂?如果收斂，求其值.發(fā)散.則則收斂于-1.2.討論下列積分的收斂性：因則據(jù)柯西判別法，得絕對收斂.均為被積函數(shù)的奇點(diǎn)，收斂.從而絕對收斂.(3)E則x=1不是奇點(diǎn)，于是此積分只有一個奇點(diǎn)0;則據(jù)柯西判別法，得收斂.因發(fā)散至+○,因發(fā)散至+○,發(fā)散.p>0時，0為奇點(diǎn).因均收斂.,1為奇點(diǎn)；當(dāng)p≥0時，為正常積分，故收斂.則則當(dāng)0<m-2<1即2<m<3時，積分收斂；當(dāng)m-2≥1即m≥3時，積分發(fā)散，因則由柯西判別法的極限形式，得當(dāng)1-a<1即a>0時積分收斂；當(dāng)1-a≥1即a≤0時，積分則由柯西判別法的極限形式，得當(dāng)1-b<1即b>0時積分收斂；當(dāng)1-b≥1即b≤0時，積分發(fā)散；綜上所述，當(dāng)a>0且b>0時，收斂，其余情形積分均發(fā)散.對積且對Ve>0,則由柯西判別法的極限形式，得當(dāng)1-a+c<1即a>c>0時收斂.則由柯西判別法的極限形式，得當(dāng)1-a≥1即a≤0時發(fā)散.對積分則由柯西判別法的極限形式，得當(dāng)-b<1即b>-1時收斂；當(dāng)-b≥1即b≤-1上發(fā)散.綜上所述，得當(dāng)a>0且b>-1時，積收斂，其余情形積分均發(fā)散.3.證明無界函數(shù)廣義積分的柯西判別法及其極限形式.證明：(1)柯西判別法：重重即則對Vk>E>0,存在δ>0使當(dāng)a<x<a+8時，有0<于同時收斂或發(fā)散(歸結(jié)為柯西判別法),即(iii)k=時，取G=1,則36>0,使當(dāng)a<x<a+8時，有x-a)°f(z)|=(-a)"|f(z)>1,即散.發(fā)散.對積則由柯西判別法的極限形式，得積分絕對收斂.對積則由柯西判別法的極限形式，得積分絕對收斂.同此可證，得積絕對收斂.則由柯西判別法的極限形式，得積絕對收斂.同此可證，得絕對收斂.因x≥3時，絕對收斂，則由比較判別法，得絕對收斂，綜上可知，絕對收斂.則當(dāng)α>1時，0為奇點(diǎn)，則當(dāng)α-1<1即1<α<2時，絕對收斂；當(dāng)α≥2時，發(fā)散；取λ>1,當(dāng)α-λ>0上，則當(dāng)α-λ>0即α>λ>1時，積分絕對收斂；則當(dāng)a≤1時，積分發(fā)散，從而當(dāng)1<a<2時，絕對收斂；其它情形，都發(fā)散.若p≤0,則為正常積分，故收斂若p>0,由由故積和minp,q1H.naXp,91時收政.0為奇點(diǎn)，則由柯西判別法的極限形式，得α-1<1即α<2上，積分收斂；當(dāng)α≥2上，積分發(fā)散.當(dāng)α>1時積分收斂；當(dāng)a≤1時，積分發(fā)散，則由比較判別法，得當(dāng)α>1上，收斂；當(dāng)a≤1時，總之，當(dāng)1<a<2時，收斂；其余情形此積分均發(fā)散.對任意的p,考若p>1,取α>0充分小，使p-α>1,則對任意q,由則此時積發(fā)散，從而積分當(dāng)p>1且q<1時收斂.(6)首先，被積函數(shù)關(guān)于級無窮小(當(dāng)x→±0時).時收斂.5.設(shè)f(x)當(dāng)x→+0時，單調(diào)趨向于+,試證明：若收斂，必須證明：由題設(shè)知0是f(x)的奇點(diǎn)，即是無界函數(shù)的廣義積分，且當(dāng)x充分靠近f(x)≥0,在[0,x]上單調(diào).由第一積分中值定理，于6.討論下列積分的絕對收斂和條件收斂性：則當(dāng)-(p+1)<1即p>-2上，發(fā)散.而收斂，于是由比較判別法，得絕對收斂.t,且可知，tq≤p+1時非絕對收斂.總之，當(dāng)p>-2,q>p+1時，絕對收斂.當(dāng)q>p時，單調(diào)減趨于0(x→+o),則由狄立克萊判別法，收斂.當(dāng)q≤p時，當(dāng)q=p時，當(dāng)q<p時，則對充分大的x,恒有則由柯西育路，得發(fā)散.綜上所述，當(dāng)q>p+1>-1時，絕對收斂；當(dāng)p+1≥q>p>-2時，條件收斂.則當(dāng)λ>1,0為奇點(diǎn).被積函數(shù)為正，0為奇點(diǎn).則由柯西判別法的極限形式，得λ-1<1即λ<2時，絕對收斂；當(dāng)λ≥2時，發(fā)散λ>1時，絕對收斂.于當(dāng)1<λ<2時絕對收斂；當(dāng)λ≤1時，發(fā)散.發(fā)散.單調(diào)減趨于0,則據(jù)狄立克判別法，得對λ>0收斂.于當(dāng)0<λ≤1時條件收斂，從而當(dāng)1<λ<2日絕對收斂；當(dāng)0<λ≤1時條件收斂.對于I,則當(dāng)n∈[0,1]時，單調(diào)減趨于0(x→○0).于是由狄立克萊判別法，得當(dāng)0<n≤1時，I?收斂.則當(dāng)0<n≤1時，發(fā)散.于是由比較判別法，知,當(dāng)0<n≤1時發(fā)散.從而當(dāng)0<n≤1時，條件收斂.有對于I,由I?的結(jié)論，得當(dāng)2-n>1即n<1時絕對收斂；當(dāng)1≥2-n>0即1≤n<2時條件總之，當(dāng)0<n<2時條件收斂.7.設(shè)f(x)單調(diào)下降，如果導(dǎo)數(shù)f"(x)在(0,+○)上連續(xù)，那么積收斂.則由分部積分公式，得對由已知f(x)單調(diào)下降，及則由狄立克萊判別法，收斂.8.在無界函數(shù)的廣義積分(積分限為有限)中，證明平方可積一定絕對可積，但反之不然.證明：由已知f2(x)可積，則也可積于是由比較判別法，得|f(x)可積即平方可積定絕對可積.反之不然.例：由57頁例1,得絕對收斂，在[1,2]上不可積.9.計(jì)算下列積分的柯西主值：10.證明廣義積分及柯西主值之間的關(guān)系：收斂，其值為A,則柯西主值存在，且等于A,但反之不然；(2)若f(x)≥0,存在，其值為A,收斂，且收斂于則有存在，特別取B=-A,存在，且等于A.這表明存在，且等于A.但反之不然.例如：(2)用反證法.于中當(dāng)A→+時至少有一趨于+○,而另一個大于等于0,從而它們的和趨于+c,這與己知存在矛盾，則收斂.又由則據(jù)極限唯一性，得第11章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)§1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂1.討論下列函數(shù)序列在所示區(qū)域內(nèi)的一致收斂性：則于是由定義2,得fn(x)在(-,+o)內(nèi)一致收斂于x|.令(a"-x2)=nx"-1-2x")=0.則得=0,于是由定義2,得此函數(shù)序列在所示區(qū)域內(nèi)不一致收斂.于是據(jù)定義2,得fn(x)在(-1,1)上一致收斂于0.論n多大，只要則在fn(x)在(-0,+o)上不一致收斂.令a“-a?+y=x-|n-(n+1)z|=0則得=0,于是定義2,得此函數(shù)序列在所示區(qū)域內(nèi)一致收斂于0.在[0,1]上于是f(x)在[0,1]上不連續(xù)，而fn(x)在[0,1]上連續(xù)，則在[0,1]上不一致收斂.對VE>0.因則存在δ(ε)>0,當(dāng)0<t<δ時，有t|lnt-0|<ε從而對一切0<x<1,從而由定義1,得此函數(shù)在(0,1)內(nèi)一致收斂于0.2.討論下列級數(shù)的一致收斂性：一00<x<+co一00<x<+00于是S(x)在[0,1]上不連續(xù)，而Sn(x)在[0,1]上連續(xù)，則在[0,1]上不一致收斂.則由魏氏判別法，得級在(-0,+○)上一致收斂.(4)因0≤(1-n2|z|)2=1-2n2|z|+n?x2,則2n2|zl≤1+n?x2又級收斂，則據(jù)魏氏判別法，得級在(-,+o)上一致收斂.當(dāng)x≠0,2π時，對x∈[0,2π]關(guān)于n單調(diào)遞減x在[0,2π]上一致地趨于0(由定義2)則據(jù)狄立克萊判別法，得級在[0,2π]上一致收斂.又級數(shù)收斂，則據(jù)魏氏判別法，得級在[0,十0]上一致收斂.(7)記當(dāng)0<x<+c時，由于收斂，故原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，但它在(0,+○)內(nèi)并不一致收斂.如若不然，設(shè)它一致收斂，則對任給ε>0,取ε=1,必存在N=N(ε)∈Z+(它與x無關(guān)),使當(dāng)n>N時，對于(0,十○)內(nèi)的一切x,均有|un+1(x)+un+2(x)+…十n+p(x)|<E,其中p為任意正整數(shù)今取p=1,n=N則對一切x∈(0,+o),應(yīng)有uN+1(1)|<8=1又也應(yīng)有UN+1(zo)|<1但事實(shí)上卻3.證明一致收斂定義1和定義2的等價性.對一切x∈X都成立.而ISn(z)-S(z)|≤|ISn-S1-0|<e對一切x∈X都成立.為一致收斂.4.試證級在任何區(qū)間(1+a,○),a>0為一致收斂.收斂，則據(jù)M判別法，得原級數(shù)在[1+α,o](a>0)上一致收斂.在X上亦一致收斂且絕對收斂.證明：E在X上一致收斂的一般項(xiàng)un(z)≤cn(r)則對上述ε>0,正整數(shù)N=N(ε),使當(dāng)n>N時，對一切x∈X和上述正整數(shù)p,有≤|cn+1(x)+Cn+2(z)+…+Cn+由—致收斂的柯西充要條件，在X上一致收斂且絕對收斂.收斂，而級數(shù)雖在x∈(-,+o)上絕對收斂，但并不一致收斂.單調(diào)減則關(guān)于x∈(-0,+○)—致收斂于0,于是由狄立克萊判別法，得發(fā)散，則由比較判別法的極限形式，發(fā)散，于是對任何x級數(shù)非絕對收斂.對固定的x∈(-,+),因Sn(x)在(-,+○)上連續(xù)，而S(x)在(—0,+○)上不連續(xù)，則(2)如果上一致收斂，但未必一致收斂，以為例來說明.證明：(1)由柯西準(zhǔn)則即題設(shè)，得IIn+1(x)|+Ifn+2(x)|+…+Ifn從而|Jn+1(x)+In+2(x)+…+fn+p(z)|≤Ifn+1(z)|+Ix"-x+1在[0,1]上關(guān)于n單調(diào)減少[0,1]上一致收斂在[0,1]上非一致收斂(由2.(1)得).那么這級數(shù)在[a,b]上一致收斂.9.下列函數(shù)是否一致收斂?(1)fn(x)=(sinz)",(iii)1+e≤x<∞解：(1)(i)因f(x)=limfa(z)=1,|Jn(a)-f(z)=1-(sainz)≤1-(si在于從而由定義2,在(1+e,+o)上一致收斂于1.因α>0,則e">1,于則由達(dá)朗貝爾判別法的極限形式，得級數(shù)收斂，從而據(jù)M判別法，得在[a,β]上一致收斂.因xo∈[a,β],則在xo點(diǎn)連續(xù)12.證明函在(1,+)連續(xù)，并有連續(xù)各階導(dǎo)函數(shù).證明：各項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)所得級數(shù)下證它在1≤a≤x<+o上—致連續(xù)(a為大于1的任何數(shù))注意到每項(xiàng)都是x的連續(xù)函數(shù)，則級在a≤x且S'(=)在a≤x<+0上連續(xù)o上可逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)，得利用數(shù)學(xué)歸納法，并注意到對任何正整數(shù)k,級都收斂，仿照上述，可證：對任何正整數(shù)k,s"(x)在1<x<+○o上都存在且連續(xù)，且可由原級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)k次，得13.試證級數(shù)在整個實(shí)數(shù)軸上一致收斂，但在任何區(qū)間內(nèi)不能逐項(xiàng)求微商.證明：因皆成立且級收斂，則據(jù)M判別法，得在整個實(shí)數(shù)軸上一致收斂在任何區(qū)間內(nèi)都有不連續(xù)點(diǎn)當(dāng)n>m時，cos(2"πy)=1,此時級數(shù)一般項(xiàng)不趨于0,則又在任何區(qū)間內(nèi)都存在x=k+2-mh(h=0,1,2,….,2m-1)這樣的點(diǎn)，k則級在任何區(qū)間內(nèi)不能逐項(xiàng)求微商.1.求下列各冪級數(shù)的收斂區(qū)間：則其收斂域?yàn)?-,+○).Z收斂區(qū)間為(-1,1)當(dāng)x=-1時，原級且當(dāng)x≥3時，單調(diào)減少則級為萊布尼茲級數(shù)，于是級收斂當(dāng)x=1時，原級數(shù)為則據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法及級發(fā)散，得級發(fā)散則此級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1).(3)因則其收斂半徑當(dāng)時，原級數(shù)為收斂區(qū)間為則其收斂半徑當(dāng)時，原級數(shù)為則級發(fā)散，于是原級數(shù)的收斂域得其收斂半徑為R=1,收斂區(qū)間為(-1,1)當(dāng)x|=1即x=±1時，原級數(shù)變從而冪級的收斂域?yàn)閇-1,1].時，原級數(shù)變對級則據(jù)達(dá)朗貝爾判別法，得級收斂同法可得，時，級發(fā)散則級數(shù)的收斂半徑為收斂區(qū)間時，原級數(shù)變則級的收斂域2.求級數(shù)的收斂半徑3.設(shè)冪級的收斂半徑為Q,討論下列級數(shù)的收斂半則有VAl=an+bn|≤aml+|bn≤V2max(an|,bl)=v2vmax(|an,bn)=V2ma則性質(zhì)2.4.設(shè)對充分大的n,|an|<|bn|,那么級6nx"的收斂半徑. 證明：因?qū)Τ浞执蟮膎,lal<1bl,則on|≤√bn·于是設(shè)級數(shù)的收斂半徑為R,級的收斂半徑為Q得R≥Q;得R≥Q;時，則R≥0,Q=0,于是R≥Q的收斂半徑.5.證明冪級數(shù)的性質(zhì)1和性質(zhì)2.證明：性質(zhì)1.設(shè)x為(xo-R,xo+R)內(nèi)任一點(diǎn)，總可以選取0<r<R使得|x-xo≤r由阿貝爾第二定理，在[xo—r,xo+r]上一致收斂又an(x-xo)”(n=0,1,2,….)在[xo-r,xo+r]連續(xù)，則由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和的連續(xù)性知S(x)在[xo-r,xo+r]連續(xù)，當(dāng)然在x這一點(diǎn)連續(xù)在xo+R收斂，則由阿貝爾第二定理，在[a,xo上一致收斂在[a,xo+R]連續(xù)，則由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和的連續(xù)性定理，得S(x)在[a,xo+R]連續(xù)，當(dāng)然也在xo+R連續(xù)，于是S(x)在(xo-R,xo+R)上連續(xù)同理在xo-R收斂，則S(x)在(xo-R,xo+R)上連續(xù).上一致收斂(若x<xo則取[x,xo])又an(x-xo)”(n=0,1,2,.….)在[xo,x]連續(xù)則由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)逐項(xiàng)求積分定理，得(2)由第5頁習(xí)題3(2)知，若{xn}收斂，」則對任何{yn},有這說明：有相同的收斂半徑R設(shè)x是(xo-R,xo+R)內(nèi)任一點(diǎn)，總可選取一點(diǎn)0<r<R使得|x-xo|≤r由阿貝爾第二定理，得在[xo-r,xo+r]上一致收斂，因而收斂的收斂半徑為R,由阿貝爾第二定理，在[xo-r,xo+r]上一致收斂又nan(x-xo)"-(n=1,2,…)在[xo-r,xo+r]連續(xù)，則由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)逐項(xiàng)微分定理，得再由x在(xo-R,xo+R)的任意性，得在(xo-R,xo+R)上式也成立(3)的收斂半徑為R"由(1),得當(dāng)在(xo-R,xo+R)收斂(收斂到S(x))時，有在(xo-R,xo+R)上收斂(收斂到那末R≤R"另一方面，由(2),在(xo-R",xo+R")上收斂(收斂到6.收斂于A,收斂于B,如果它們的柯西乘積收斂，則一定收斂于AB.即冪級在n=1收斂由Abel第一定理，得上述的冪級數(shù)在x|<1內(nèi)絕對收斂由柯西定理，得級即C(x)=A(x)B(x)由冪級數(shù)類似性質(zhì)1,則A(x),B(x),C(x)在x=1左連續(xù)7.設(shè)當(dāng)|x|<r時收斂，那么收斂時成立不當(dāng)x=r時是否收斂.r,r)內(nèi)收斂.則據(jù)性質(zhì)2,當(dāng)x∈(-r,r)時，有即收斂，則在θ=r收斂，于是其和S(θ)在r點(diǎn)左連續(xù).從而不當(dāng)x=r時是否收斂，均證明：因則即則即因收斂，則由上題結(jié)論，得的麥克勞林級數(shù)，說明它的麥克勞林級數(shù)并不表示這個函數(shù).證明：因收斂，則由M判別法，得內(nèi)一致收斂，從而收斂.又又在(-0,+c))內(nèi)連續(xù)，則由逐項(xiàng)求導(dǎo)定理，得在(-0,+○)上于則f(x)的麥克勞林級數(shù),其收斂半徑為因且于是R=0,即其麥克勞林級數(shù)僅在x=0收斂，但由前面可知其在(-0,+o)內(nèi)均收斂，則它的麥克勞林級數(shù)并不表示此函數(shù).10.證明：證明：(1)則知對任一x,冪級數(shù)都收斂，即其收斂域?yàn)?-,+),在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)微分之，得即y(IV)=y.則知對任一x,冪級數(shù)都收斂，即其收斂域?yàn)?-0,+c),在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)微分之，得11.展開：(1)成為x的冪級數(shù)，并確定收斂范圍；(2)f(x)=lnx為(x-2)的冪級數(shù).1收斂域?yàn)閇0,4].12.利用已知展開式展開下列函數(shù)為冪級數(shù)，并確定收斂范圍：則13.展為x的冪級數(shù)，并推出為f(x)的冪級數(shù)，其收斂范圍為(-0,+)由冪級數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理，內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)于14.求下列函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并推出收斂半徑：其收斂域?yàn)?-∞,+0),收斂半徑為R=0.由冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分定理，得內(nèi)逐項(xiàng)積分其收斂半徑為R=0.15.求下列級數(shù)的和：解：(1)則于是其收斂半徑為R=1.當(dāng)x|=1時，由于(n+1)2→+∞,則級數(shù)發(fā)散，于是級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1).當(dāng)x∈(-1,1),由性質(zhì)2在(-1,1)可逐項(xiàng)積分，仍為1.且其收斂半徑不變，又由性質(zhì)2得在(-1,1)上可逐項(xiàng)積分則于則則圖11-1設(shè)C=max(la|,|b|),由實(shí)數(shù)的稠密性，得必存在有理數(shù)b;,使得則從而|lf(x)-P(x)≤|f|(x)-Q第12章傅里葉級數(shù)和傅里葉變換1.證明：(2)sinx,sin2x,sin3x,.,sinnx,...證明：(1)因交系.上的正交系，寫出它的標(biāo)準(zhǔn)正交系上的積分為1),并導(dǎo)出是[0,1]上的正交系.是[0,1上的正交系.將這個方波展開成傅里葉級數(shù).解：則則將這半波整流波展開成傅里葉級數(shù).則把f(t)展開成傅里葉級數(shù).6.設(shè)f(t)是周期為2π、高為h的鋸齒將這個鋸齒形波展開成傅里葉級數(shù).解：因則7.將寬度為t、高為h、周期為T的矩形波展開成余弦級數(shù).解：在一個周內(nèi)矩形波函數(shù)表達(dá)式為則8.寫出如圖12-1所示的周期為T的三角波在級數(shù).內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式，并將它展開成正弦圖12-1解：如圖所示的周期為T的三角波在的函數(shù)表達(dá)式為上的函數(shù)，再據(jù)題意，還必須把它延拓成奇函數(shù)，于是ao=ak=0k為偶k為奇則9.將f(x)=sgn(cosx)展開成傅里葉級數(shù).解：因f(x+2π)=sgn[cos(x+2π)]=sgn(cosx)=f(x),則f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)10.應(yīng)當(dāng)如何把區(qū)間內(nèi)的可積函數(shù)f(x)延拓后，使它展開成的傅里葉級數(shù)的性狀解：因展開式中無正弦項(xiàng)，則f(x)延拓后應(yīng)為偶函數(shù)因展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)a?n=0即在左端前一積分中作變量代換，令x=π-t則于是就求出了延拓后的函數(shù)內(nèi)的表達(dá)式為-f(π-x)又延拓后的函數(shù)為偶函數(shù)，則它的表達(dá)式為f(-x),的表達(dá)式為-f11.同上一題，但展開的傅里葉級數(shù)形狀為：解：因展開式中無余弦項(xiàng)，則f(x)延拓后應(yīng)為奇函數(shù)則在左端前一積分中作變量代換，令x=π—t又延拓后的函數(shù)為奇函數(shù)，則它在的表達(dá)式為f(x),(1)如果函數(shù)f(x)在[一π,π]上滿足f(x+π)=f(x),(2)如果函數(shù)f(x)在[一π,π]上滿足f(x+證明：(1)因f(x)可積、絕對可積且函數(shù)f(x)在[一π,π]上滿足f(x+π)=f(x)于對右端第二式作變量代換：t=x—π,則從而，得a2m-1=0(m=1,2,…)同理，得b2m-1=0(m=1,2,.….)于于垂垂在右端前一積分中令t=-x,則代回原式，得因f(t)在(一π,π)上分段連續(xù)，在(δ,π)上連續(xù)，則在(δ,π)上分段連續(xù)因而可積，則由黎曼引理，得時，函的值為0,則是[0,8]上的連續(xù)函數(shù)又f(t)為(一π,π)上的分段連續(xù)函數(shù)，則在[0,8]上分段連續(xù)，因而可積，則由黎曼引理，因f'(+0),f'′(-0)存在，則存在的分段函數(shù)，因而可積，于是由黎曼引理，綜上可得，當(dāng)p→○0時，§2傅里葉變換1.設(shè)f(x)在(-0,+o)內(nèi)絕對可積，證明f(w)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù).任給的ε>0,存在η>0,使同法可證得當(dāng)f(x)在(-0,+o)內(nèi)絕對可積時，于3.求下列函數(shù)的傅里葉變換：年Mn→Mo(k→∞).年解：(1)定義域?yàn)閤≥0且y≤1;2.求下列極限：的點(diǎn)集.解：(1)因則且(5)因3.試證若存在，而當(dāng)x取任何與a鄰近之值時，極限則二次極限存在且等于A:(x-a)2+(y-b)2≠0時，恒有If(x,y)-A|<e于是4.(1)試舉出兩個二次極限不相等的例子；(2)試舉出只有一個二次極限存在的例子；(3)試舉出二重極限存在，但二次極限不全存在的例子.(2)例在點(diǎn)(0,0)的二次極限但即其二重極限存在而當(dāng)y→0時，極限不存在，即不存在.5.討論下列函數(shù)在點(diǎn)(0,0)的二次極限和二重極限：別取k≠1及k=1,便得到不同的極限0及1,因此不存在.及其二重極限存在不存在(當(dāng)不存在(都不存在.6.討論下列函數(shù)的連續(xù)范圍：解：(1)函在點(diǎn)(0,0)無定義，故原點(diǎn)(0,0)為此函數(shù)的不連續(xù)性，除此點(diǎn)外均連續(xù)；(3)連續(xù)范圍為x≠mπ,y≠nπ(m,n=0,±1,±2,…).(4)除點(diǎn)(a,b,c)外均連續(xù).7.證明函數(shù)作為二元函數(shù)，f(x,y)雖在除點(diǎn)(0,0)外的各點(diǎn)均連續(xù)，但在點(diǎn)(0,0)不連續(xù)則其關(guān)于而變量的函數(shù)在(0,0)點(diǎn)不連續(xù)，從而其非關(guān)于二變量的連續(xù)函數(shù).8.證明函數(shù)在(0,0)點(diǎn)沿每一條射線c=tcosθ,y=tsinθ(0≤t+0)連續(xù)，但它在(0,0)點(diǎn)不連續(xù).0)=0則有數(shù)f