考研真題 哈工大理論力學(xué)教研室《理論力學(xué)Ⅱ》（第7版）配套題庫(kù)（真題 課后題 章節(jié)題 模擬題）

哈工大理論力學(xué)教研室主編的《理論力學(xué)》(第7版)是我國(guó)高校力學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)廣泛采用的權(quán)威教材之一，也被眾多高校(包括科研機(jī)構(gòu))指定為考研考博專(zhuān)業(yè)課參考書(shū)目。(第7版)的考生復(fù)習(xí)專(zhuān)業(yè)課，我們根據(jù)教材和名?？佳姓骖}的命題規(guī)律精心編寫(xiě)了哈工大理論力學(xué)教研室《理論力學(xué)》(第7版)輔導(dǎo)用書(shū)(均提供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí)):1.哈工大理論力學(xué)教研室《理論力學(xué)》(第7版)筆記和課后習(xí)題(含考研真題)詳解2.哈工大理論力學(xué)教研室《理論力學(xué)I》(第7版)配套題庫(kù)【名?？佳姓骖}+課后習(xí)題+3.哈工大理論力學(xué)教研室《理論力學(xué)Ⅱ》(第7版)配套題庫(kù)【名校考研真題+課后習(xí)題+第一部分為名?？佳姓骖}及詳解。本部分從指定哈(第7版)為考研參考書(shū)目的名校歷年考研真題中挑選最具代表性的部分，并對(duì)其進(jìn)行了詳重難點(diǎn)部分(包括教材中未涉及到的知識(shí)點(diǎn))進(jìn)行詳細(xì)闡釋?zhuān)允箤W(xué)員不遺漏任何一個(gè)重要第二部分為課后習(xí)題及詳解。本部分對(duì)哈工大理論力學(xué)教研室主編的《理論力學(xué)》(第7版)教材每一章的課后習(xí)題進(jìn)行了詳細(xì)的分析和解答，并對(duì)個(gè)別知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了擴(kuò)展。課后習(xí)7版)教材內(nèi)容進(jìn)行編寫(xiě)。每一章都精心挑選經(jīng)典常見(jiàn)考題，并予以詳細(xì)解答。熟練掌握本第四部分為模擬試題及詳解。參照哈工大理論力學(xué)教研室主編的《理論力學(xué)》(第7版)教()提供全國(guó)各高校力學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對(duì)一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書(shū)、3D題庫(kù)(免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí))、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、力學(xué)類(lèi)國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖書(shū)等。本入學(xué)考試指定考研參考書(shū)目為哈工大理論力學(xué)教研室《理論力學(xué)》(第7版)的考生，也可1.直播答疑：掃碼下載本書(shū)手機(jī)版，找學(xué)友互動(dòng)學(xué)習(xí)，看名師直播答疑有學(xué)友，可精確查找學(xué)友的具體位置，可與學(xué)友互動(dòng)，交流學(xué)習(xí)(視頻、語(yǔ)音等形式);本2.720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)帶給你超逼真的3D學(xué)習(xí)體驗(yàn)，720度立體場(chǎng)景，任意角度旋轉(zhuǎn)，模擬紙質(zhì)書(shū)真實(shí)翻頁(yè)效果，3.質(zhì)量保證：每本e書(shū)都經(jīng)過(guò)圖書(shū)編輯隊(duì)伍多次反復(fù)修改，年年升級(jí)4.手機(jī)掃碼即可閱讀，精彩內(nèi)容，輕松分享掃碼即可在手機(jī)閱讀，隨處隨學(xué)?？梢圆挥每蛻舳瞬挥觅~號(hào)，簡(jiǎn)單方便!5.免費(fèi)升級(jí)：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級(jí)6.功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)列舉——相同知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容列表呈現(xiàn)，便于讀者記憶和復(fù)習(xí)，舉一反三，觸(2)劃線添加筆記——使用顏色筆工具，劃一條線，寫(xiě)筆記，提交糾錯(cuò)?！惊?dú)家推出】(3)答案遮擋先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好。【獨(dú)家推出】(4)全文檢索輸入關(guān)鍵詞，本書(shū)相關(guān)內(nèi)容一覽無(wú)余?！惊?dú)家推出】7.多端并用：電腦手機(jī)平板等多平臺(tái)同步使用本書(shū)一次購(gòu)買(mǎi)，多端并用，可以在PC端(在線和下載)、手機(jī)(安卓和蘋(píng)果)、平板(安卓和蘋(píng)果)等多平臺(tái)同步使用。同一本書(shū)，使用不同終端登錄，可實(shí)現(xiàn)云同步，即更換不同為您處理!()是一家為全國(guó)各類(lèi)考試和專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過(guò)班、網(wǎng)授班、3D電子書(shū)、3D題庫(kù)】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個(gè)考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語(yǔ)、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類(lèi)),合計(jì)近萬(wàn)小時(shí)的面授班、網(wǎng)授如您在購(gòu)買(mǎi)、使用中有任何疑問(wèn)，請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系我們，我們將竭誠(chéng)為您服務(wù)!第一部分名校考研真題第15章分析力學(xué)基礎(chǔ)第16章非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第18章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)第19章剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、自由剛體運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)的合成、陀螺儀近似理論第20章變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)第二部分課后習(xí)題第15章分析力學(xué)基礎(chǔ)第16章非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第19章剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、自由剛體運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)的合成、陀螺儀近似理論第20章變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)第三部分章節(jié)題庫(kù)第16章非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第19章剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、自由剛體運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)的合成、陀螺儀近似理論第20章變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)第四部分模擬試題哈工大理論力學(xué)教研室《理論力學(xué)Ⅱ》(第7版)配套模擬試題及詳解第一部分名校考研真題第15章分析力學(xué)基礎(chǔ)1.如圖15-1所示，物塊A的質(zhì)量為m?,B輪的質(zhì)量為m?,半徑為R,在水平面做無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。輪心用剛度為k長(zhǎng)度為1的彈簧與物塊A相連，物塊A與水平面間為光滑接觸。試以X?,X?為廣義坐標(biāo)，(1)寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能及勢(shì)能及拉格朗日函數(shù)；(2)寫(xiě)出系統(tǒng)的第二類(lèi)拉格朗日方程；(3)求系統(tǒng)的第二類(lèi)拉格朗日方程的首次積分。[中山大學(xué)2011研]圖15-1解：(1)系統(tǒng)的動(dòng)能為：拉格朗日函數(shù)(2)第二類(lèi)拉格朗日方程代入上一步的表達(dá)式，得(3)求其首次積分。因拉格朗日函數(shù)中不顯含時(shí)間t,故存在能量積分，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即2.質(zhì)量為m的重物懸掛在剛度系數(shù)為k的彈簧上，且在光滑的鉛垂滑道中運(yùn)動(dòng)。在重物的中心處鉸接一個(gè)質(zhì)量為M、長(zhǎng)為21的勻質(zhì)桿，桿在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖15-2所示。(1)試確定系統(tǒng)的自由度并選擇廣義坐標(biāo)；(2)寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能及勢(shì)能及拉格朗日函數(shù)；(3)寫(xiě)出系統(tǒng)的第二類(lèi)拉格朗日方程；(4)求系統(tǒng)的第二類(lèi)拉格朗日方程的首次積分。[中山大學(xué)2010研]圖15-2解：(1)以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，物塊和桿均做平面運(yùn)動(dòng)，該系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。選重物A的中心的垂直坐標(biāo)y和桿的偏角9為廣義坐標(biāo)，如下圖所示。因?yàn)樽饔迷谙到y(tǒng)上的主動(dòng)力即重力和彈性力均為有勢(shì)力，所以可用拉格朗日方程式主動(dòng)力有勢(shì)形式求解。(2)以A的中心C點(diǎn)為基點(diǎn)分析AB桿質(zhì)心D的速度，如圖15-3所示。根據(jù)速度合成公式有圖15-3其中Vc=j,voc=19。系統(tǒng)動(dòng)能為選0為零勢(shì)能點(diǎn)，設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為1o,則系統(tǒng)的勢(shì)能為故系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為(3)求各偏導(dǎo)數(shù)將以上各式代入第二類(lèi)拉格朗日方程(4)求其首次積分3.如圖15-4所示。重為P的板擱在兩個(gè)半徑為r、重為W的碳子上，碳子可視為均4.圖15-5示力學(xué)系統(tǒng)由質(zhì)量為m、半徑為r的勻質(zhì)小圓柱A和一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為3L的勻時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。試用拉格郎日方程求系統(tǒng)在圖4示鉛垂面內(nèi)作微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及微振動(dòng)的周期。[浙江大學(xué)2008研]圖15-5故系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率為微振動(dòng)的周期為5.在圖15-6所示系統(tǒng)中，已知：勻質(zhì)圓球A的半徑為r、質(zhì)量為m,楔塊B的質(zhì)量為M,置于光滑水平面上，斜面的傾角為0,圓球沿楔塊斜面作純滾動(dòng)。試求：(1)以φ和X為廣義坐標(biāo)，用拉氏方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(2)圓球A的角加速度ε和楔塊B的加速度a。(已知M=4m)[中科院2008研]圖15-6解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。如題取坐標(biāo)x和圓柱體的轉(zhuǎn)角9為廣義坐標(biāo)。可運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)原理求解。系統(tǒng)的動(dòng)能為：代入拉式方程：第16章非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)1.如圖17-1所示，均質(zhì)桿質(zhì)量為M長(zhǎng)度2a,可繞通過(guò)0點(diǎn)且垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)定物塊.設(shè)恢復(fù)系數(shù)為k,求碰撞后均質(zhì)桿的角速度、碰撞時(shí)軸承的碰撞沖量及撞擊中心的位置。[北京郵電大學(xué)2012研]圖17-1解：取均質(zhì)桿進(jìn)行分析，如圖17-2所示。圖17-2設(shè)碰撞前后的角速度分別為@1和@?。①圖17-3由恢復(fù)因數(shù)，有②對(duì)于點(diǎn)0,由沖量矩定理，有聯(lián)立①②③解得④由沖量定理，有m(-Q?a-aa)=Io-I聯(lián)立④⑤解得2.如圖17-3所示，乒乓球半徑為a,以速度v落到地面，v與鉛垂線成α角，此時(shí)球有繞水平橫軸(方向與v垂直)的角速度@%。假定球與地面相撞后，因瞬時(shí)作用，接觸點(diǎn)水平速度突然變?yōu)榱?，求回彈角?設(shè)乒乓球與地面的恢復(fù)系數(shù)為k)。[中科院2012研]解：取乒乓球作為研究對(duì)象。usinβ=@r①恢復(fù)系數(shù)②其中，ü為撞擊后的回彈速度。由沖量矩定理Jo@-Jo@,=-I-r由沖量定理運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系聯(lián)立①②③④⑤解得本章暫未編輯名校考研真題，若有最新真題會(huì)及時(shí)更新。第19章剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、自由剛體運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)的合成、陀螺儀近似理論本章暫未編輯名?？佳姓骖}，若有最新真題會(huì)及時(shí)更新。第20章變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)本章暫未編輯名?？佳姓骖}，若有最新真題會(huì)及時(shí)更新。第二部分課后習(xí)題第15章分析力學(xué)基礎(chǔ)一、思考題15-1試分析圖15-1所示兩個(gè)平面機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)。圖15-115-2廣義力都具有力的量綱嗎?廣義力與廣義坐標(biāo)有什么聯(lián)系?答：廣義力不一定具有力的量綱，廣義力與其對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)的量綱乘積為功的量綱。15-3放置在固定半圓柱面上的相同半徑的均質(zhì)半圓柱體和均質(zhì)半圓柱薄殼，如圖15-2所示。試分析哪一個(gè)能穩(wěn)定地保持在圖示位置。圖15-2答：(1)非穩(wěn)定平衡，(2)穩(wěn)定平衡。1-4動(dòng)力學(xué)普遍方程中應(yīng)包括內(nèi)力的虛功嗎?答：動(dòng)力學(xué)普遍方程不應(yīng)計(jì)入內(nèi)力的虛功。1-5如研究系統(tǒng)中有摩擦力，如何應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程或拉格朗日方程?答：把摩擦力看成主動(dòng)力。1-6試用拉格朗日方程推導(dǎo)剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。答：平面運(yùn)動(dòng)剛體有三個(gè)自由度，取其質(zhì)心坐標(biāo)Xc,Yc和轉(zhuǎn)角θ的廣義坐標(biāo)。剛體的動(dòng)能為將剛體所受外力向質(zhì)心簡(jiǎn)化，即為三個(gè)廣義力代入拉格朗日方程，有即此即為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。1-7推導(dǎo)第二類(lèi)拉格朗日方程的過(guò)程中，哪一步用到了完整約束的條件?答：完整約束系統(tǒng)中，約束條件不含速度，任一點(diǎn)位置r;均可以用廣義坐標(biāo)q;表示為則15-1圖15-1所示離心調(diào)速器以角速度w繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。每個(gè)球質(zhì)量均為m,套管0質(zhì)量為m?,桿重略去不計(jì)。OC=EC=AC=OD=ED=BD=a。求穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩臂O圖15-1解：建立圖15-2所示坐標(biāo)系。可知A,B,O點(diǎn)的坐標(biāo)為圖15-2Xg=2asinθyB=0xo=015-2一質(zhì)量為m的均質(zhì)板置于圓柱體頂面上，兩者之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試證明：當(dāng)h>2R時(shí)，系統(tǒng)的平衡是不穩(wěn)定的。圖15-3解：如圖15-4所示。圖15-4以木板偏斜的角度θ為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為求二階導(dǎo)數(shù)可得：15-3彈簧連桿機(jī)構(gòu)如圖15-5所示，AB為均質(zhì)桿，質(zhì)量m=10kg,長(zhǎng)1=0.6m,其余構(gòu)件的質(zhì)量不計(jì)。不計(jì)摩擦，彈簧K的剛度系數(shù)k=200N/m,θ=0時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。試求系統(tǒng)的平衡位置，并分析其穩(wěn)定性。K解：如圖所示。圖15-5θ=0°或θ=53.8°當(dāng)θ=0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡；15-4圖15-6所示為車(chē)庫(kù)大門(mén)結(jié)構(gòu)原理圖。高為h的均質(zhì)庫(kù)門(mén)AB重量為P,其上端A可沿庫(kù)頂水平槽滑動(dòng)，下端B與無(wú)重桿OB鉸接，并由彈簧CB拉緊，OB=r,彈簧原長(zhǎng)為r-a。不計(jì)各處摩擦，問(wèn)彈簧的剛度系數(shù)k為多大才可使庫(kù)門(mén)在關(guān)閉位置處(θ=0)不因B端有圖15-6即所以有V=mg[(I+Rsinθ)-(I+RO)15-7在圖15-9所示行星齒輪機(jī)構(gòu)中，以O(shè)?為軸的輪不動(dòng)，其半徑為r,全機(jī)構(gòu)在同一水平面內(nèi)。設(shè)兩動(dòng)輪皆為均質(zhì)圓盤(pán)，半徑為r,質(zhì)量為m。如作用在曲柄O?O?上的力偶之矩為M,不計(jì)曲柄的質(zhì)量，求曲柄的角加速度。解：如圖15-10所示，以曲柄的轉(zhuǎn)角9為廣義坐標(biāo)，圖15-1015-8圖15-11所示機(jī)構(gòu)，偏心輪是均質(zhì)圓盤(pán)，其半徑為r,質(zhì)量為m,偏心距。在外力偶M作用下圓盤(pán)繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。剛度系數(shù)為k的彈簧壓著托板AB,使它保持與偏心輪接觸。當(dāng)角4為零時(shí)，彈簧未變形。設(shè)托板及其導(dǎo)桿的總質(zhì)量也是m,不計(jì)摩擦，求圓盤(pán)轉(zhuǎn)圖15-11解：以彈簧變形量X和圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度9為廣義坐標(biāo)，則可得：2mr(3+sin2p)·+mr·sin2c+2br2(1-cosp)·sinp+4mg·r·cosp=8M因?yàn)橥邪宓募铀俣葹椋?5-9已知圖15-12所示曲線為旋輪線，其方程為：一小環(huán)M在重力作用下沿該光滑曲線運(yùn)動(dòng)，求小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。圖15-12解：如圖15-13所示，以θ為廣義坐標(biāo)，圖15-13選取θ=0時(shí)為零勢(shì)能位置，可得：15-10均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為1,質(zhì)量為m,借助其A端銷(xiāo)子沿斜面滑下，斜面升角為0。不計(jì)銷(xiāo)子質(zhì)量和摩擦，求桿的運(yùn)動(dòng)微分方程。又設(shè)當(dāng)9=0時(shí)桿由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)斜面受到的壓力。圖15-14解：選取x和為廣義坐標(biāo)，如圖15-15所示。圖15-15可知廣義力為：速度分析：如圖15-16所示。圖15-16可知Vc=VA+VcA所以動(dòng)能為：代入拉格朗日方程以桿為研究對(duì)象，如圖15-17所示。圖15-17做出所有主動(dòng)力、約束力和慣性力，M-0可得:15-11車(chē)廂的振動(dòng)可以簡(jiǎn)化為支承于兩個(gè)彈簧上的物體在鉛垂面內(nèi)的振動(dòng)，如圖15-18所示。設(shè)支承于彈簧上的車(chē)廂質(zhì)量為m,相對(duì)于質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mp2,兩彈簧的剛度系數(shù)分別為k?和k?,質(zhì)心距前后兩輪軸的距離分別為1和l?。試列出車(chē)廂振動(dòng)的微分方程。圖15-18解：如圖所示，以z、φ為廣義坐標(biāo)，以最低位置為平衡位置。則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為：將L=T-V代入拉格朗日方程可得運(yùn)動(dòng)微分方程為：15-12如圖15-19所示，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在一半徑為r的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)對(duì)AB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。欲使此圓環(huán)在矩為M的力偶作用下以等角速度の繞鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)。求力偶矩M和質(zhì)點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)微分方程。圖15-19解：如圖15-20所示，系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選取圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和質(zhì)點(diǎn)的位置角θ為廣義坐標(biāo)。圖15-2015-13圖15-21所示物系由定滑輪A、動(dòng)滑輪B以及三個(gè)用不可伸長(zhǎng)的繩掛起的重物M1、M?和M3組成。各重物的質(zhì)量分別為m?、m?和m3,且m?<m?+m3,滑輪的質(zhì)量不計(jì)，各重物的初速均為零。求質(zhì)量m?、m?和m3應(yīng)具有何種關(guān)系時(shí)，重物M?方能下降，并求懸掛重物M?的繩子的張力。圖15-21解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立如圖15-22所示坐標(biāo)系，取xi、x?為廣義坐標(biāo)。圖15-22L=T-V(m+m?+m:)苦，+(m-mslx?=(m-m-ms)g根據(jù)設(shè)定的坐標(biāo)，重物M?下降時(shí)，x?>0得M?下降條件為：取重物M?為研究對(duì)象，應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理得：代入1的值，解得：15-14圖15-23示絞盤(pán)C的半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,轉(zhuǎn)動(dòng)力偶的矩為M。在滑輪組上懸掛重物A和B,其質(zhì)量皆為m,定滑輪和動(dòng)滑輪的半徑均為R。忽略滑輪的質(zhì)量和摩擦，求絞盤(pán)的角加速度。圖15-23解：選取絞盤(pán)轉(zhuǎn)角Φ為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的勢(shì)能為：系統(tǒng)的動(dòng)能為：拉格朗日函數(shù)L=T-V代入拉格朗日方程15-15質(zhì)量為m?的均質(zhì)桿OA長(zhǎng)為1,可繞水平軸O在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，其下端有一與基座相連的螺線彈簧，剛度系數(shù)為k,當(dāng)0=0時(shí)，彈簧無(wú)變形。OA桿的A端裝有可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均質(zhì)圓盤(pán)，盤(pán)的質(zhì)量為m?,半徑為r,在盤(pán)面上作用有矩為M的常力偶。設(shè)廣義坐標(biāo)為4和0,如圖15-24所示。求該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。圖15-24解：選取9、θ為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。對(duì)應(yīng)的廣義力為：代入拉格朗日方程得運(yùn)動(dòng)微分方程為：15-16設(shè)有一與彈簧相連的滑塊A,其質(zhì)量為m?,它可沿光滑水平面無(wú)摩擦地來(lái)回滑動(dòng)，彈簧的剛性系數(shù)為k。在滑塊A上又連一單擺，如圖15-25所示。擺長(zhǎng)為1,B的質(zhì)量為m?。試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。圖15-25解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選取滑塊位移X和擺線與鉛直方向夾角9為廣義坐標(biāo)，以平衡位置為廣義坐標(biāo)起始位置，取滑塊A質(zhì)心所在當(dāng)系統(tǒng)做微幅振動(dòng)時(shí)，cosφ≈1,sinφ≈φ,并略去高階小量,得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：15-17圖15-26所示繞在圓柱體A上的細(xì)繩，跨過(guò)質(zhì)量為m的均質(zhì)滑輪0,與一質(zhì)量為mB的重物B相連。圓柱體的質(zhì)量為mA,半徑為r,對(duì)于軸心的回轉(zhuǎn)半徑為p。如繩與滑輪之間無(wú)滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，問(wèn)回轉(zhuǎn)半徑p滿足什么條件時(shí)，物體B向上運(yùn)動(dòng)。圖15-26將拉格朗日函數(shù)L=T-V代入拉格朗日方程B向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)滿足條件<015-18圖15-27所示機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)繞鉛垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，各齒輪半徑為r?=r3=3r?=0.3m,各輪質(zhì)量為m?=m?=9m?=90kg,皆可視為均質(zhì)圓盤(pán)。系桿OA上的驅(qū)動(dòng)力偶矩為Mo=180N·m,輪1上的驅(qū)動(dòng)力偶矩為M?=150Nm,輪3上的阻力偶矩為M?=120N·m。不計(jì)系桿與輪B的質(zhì)量和各處摩擦，求輪1和系桿的角加速度。圖15-27解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選取桿OA轉(zhuǎn)角90和輪1轉(zhuǎn)角9為廣義坐標(biāo)。對(duì)應(yīng)的廣義力為：其中，根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可得：w=wo十wi,,w?=wo一W?,,w?=we+wsr代入數(shù)據(jù)得：將上式代入拉格朗日方程得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：聯(lián)立上述兩方程，解得輪1和系桿的角加速度分別為：15-19圖15-28所示車(chē)架的輪子都是半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量分別為m1和m?。輪2的中心作用有與水平線成θ角的力F,使輪沿水平面連滾帶滑。設(shè)地面與輪子間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)f圖15-28解：受力分析如圖15-29所示。圖15-29F?=fm?g,F?=f(m?g-Fsinθ)Q,=Fcosθ-F?-F?=F(cos0+fsinf)(m,+m?)=F(cosθ+fsinθ)R$=2fg輪又滾又滑的條件為：解得F應(yīng)滿足的條件為：15-20圖15-30所示直角三角塊A可以沿光滑水平面滑動(dòng)。三角塊的光滑斜面上放置一個(gè)均質(zhì)圓柱B,其上繞有不可伸長(zhǎng)的繩索，繩索通過(guò)滑輪C懸掛一質(zhì)量為m的物塊D,可沿三角塊的鉛直光滑槽運(yùn)動(dòng)。已知圓柱B的質(zhì)量為2m,三角塊A的質(zhì)量為3m,θ=30°。設(shè)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，滑輪C的大小和質(zhì)量略去不計(jì)。試確定系統(tǒng)中各物體的運(yùn)動(dòng)方程。圖15-30解：系統(tǒng)具有三個(gè)自由度，選取X、y、9為廣義坐標(biāo)取B為動(dòng)點(diǎn)，三角塊A為動(dòng)系。由速度合成定理得由余弦定理得：因此得系統(tǒng)動(dòng)能為：圖15-31解：建立與掛點(diǎn)固定的坐標(biāo)系，如圖所示。單擺相對(duì)于掛點(diǎn)O作擺動(dòng)，以擺角Φ為廣義坐標(biāo)系，參照物為掛點(diǎn)0,加速度為g'=g+a,則系統(tǒng)在新參考系下的廣義力和系統(tǒng)的動(dòng)能為：代入拉格朗日方程根據(jù)單擺的周期公式可得：第16章非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)16-1根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程，小球在變速運(yùn)動(dòng)的車(chē)廂中自由降落時(shí)受有牽連慣性力，飛機(jī)在高空飛行時(shí)受有科氏慣性力。試分析這兩個(gè)慣性力的反作用力作用在哪?牛頓第三定律對(duì)它們成立嗎?答：非慣性力是取變速運(yùn)動(dòng)物體為參照系而產(chǎn)生的，其反作用力為此參照系本身。故前者為車(chē)廂，后者為飛機(jī)。圖16-116-2對(duì)固結(jié)在變速運(yùn)動(dòng)的列車(chē)上的參考系來(lái)說(shuō)，地面上靜平衡的物體并不平衡，而隨列車(chē)一起運(yùn)動(dòng)的物體卻是平衡的。試從這一點(diǎn)出發(fā)說(shuō)明慣性力的相對(duì)性、虛加性及真實(shí)性。答：相對(duì)性：地面上靜止的物體對(duì)地球是無(wú)慣性力的，而相對(duì)火車(chē)是有慣性力的。虛加性：地面上靜止的物體并未真正受慣性力的作用。真實(shí)性：慣性力真正存在，是地面與列車(chē)之間的作用力。16-3在質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)中，下述哪些說(shuō)法是正確的?16-4某人水平拋出一個(gè)球，如果考慮科氏慣性力，則在下述情況下，由拋球的人來(lái)看，球的路徑會(huì)偏向不考慮科氏慣性力時(shí)路徑的右側(cè)還是左側(cè)?(1)在北半球水平拋出；(2)在南半球水平拋出；(3)在南極和北極水平拋出。答：(1)左側(cè)；(2)右側(cè)；(3)不偏出。16-5在慣性系中，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。其中m為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量，vc為質(zhì)心速度，T'為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心坐標(biāo)系(即以質(zhì)心為基點(diǎn)的平移坐標(biāo)系)的動(dòng)能。稱上式為柯尼希定理。試?yán)每履嵯６ɡ韺?dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心坐標(biāo)系的動(dòng)能定理。答：證明：由動(dòng)能定理dT=8WF得其中所以16-1圖16-1所示單擺AB長(zhǎng)1,已知點(diǎn)A在固定點(diǎn)O的附近沿水平作微幅諧振動(dòng)：0O?=asinpt,其中a與p為常數(shù)。設(shè)初瞬時(shí)擺靜止，求擺的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：擺的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可用單擺與豎直方向夾角表示，在點(diǎn)A上建立動(dòng)坐標(biāo)系。運(yùn)動(dòng)和受力分析如圖16-2所示。圖16-2動(dòng)系做平動(dòng)，所以F=0 沿與擺桿垂直的方向投影得：其中a:=φ,當(dāng)擺角很小時(shí)，近似有sinφ=φ,ceke=1所以上式可化簡(jiǎn)為：將其積分，并帶入初始條件16-2三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑動(dòng)，如圖16-3所示。三棱柱A和三棱柱B的質(zhì)量分別為m?與m?,三棱柱B的斜面與水平面成θ角，如開(kāi)始時(shí)物系靜止，求運(yùn)動(dòng)時(shí)三棱柱B的加速度。摩擦略去不計(jì)。圖16-3解：在三棱柱B上建立動(dòng)坐標(biāo)系，由題可知，動(dòng)系做平動(dòng)，所以F=0以A為研究對(duì)象，其受力和運(yùn)動(dòng)分析如圖16-4(a)所示。列非慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程：圖16-4以B為研究對(duì)象，其受力和運(yùn)動(dòng)分析如圖16-4(a)所示。在水平方向有：16-3圖16-5所示一重物M放在粗糙的水平平臺(tái)上，平臺(tái)繞鉛垂軸以勻角速度o轉(zhuǎn)動(dòng)，重物圖16-5解：在水平平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系，動(dòng)系做勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)重物M的質(zhì)量為m,當(dāng)重物重物受力分析如圖16-6所示。圖16-616-4質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m,被限制在旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)沿光滑的經(jīng)線AOB運(yùn)動(dòng)，如圖16-7所示。旋轉(zhuǎn)容器繞其幾何軸Oz以角速度o勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求質(zhì)點(diǎn)M相對(duì)靜止時(shí)的位置。Fxcos0-mg=0線形狀；(2)注入液體的最大高度h。即16-6圖16-10所示水平圓盤(pán)繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w為常量。在圓盤(pán)上沿某直徑有光滑滑槽，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)。如質(zhì)點(diǎn)在開(kāi)始時(shí)離軸心的距離為a,且無(wú)初速度，求質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和槽的動(dòng)約束力。圖16-10解：在水平圓盤(pán)上建立動(dòng)坐標(biāo)系，動(dòng)系做勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其中在豎直方向上，重力與圓盤(pán)的支持力為一對(duì)平衡力，此處僅對(duì)水平面內(nèi)的力進(jìn)行分析，質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖16-11所示。圖16-11上將上述方程分別沿水平面內(nèi)S軸和77軸分解，得：設(shè)質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為ξ,則F=,且S=a,,帶入①式得：焉-=廊由②式可知：Fv=F=2·v,-@16-7質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m,在光滑的水平圓盤(pán)面上沿弦AB滑動(dòng)，圓盤(pán)以等角速度w繞鉛直軸C轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖16-12所示。如質(zhì)點(diǎn)被兩個(gè)彈簧系住，彈簧的剛度系數(shù)均為求質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)周期。設(shè)點(diǎn)O為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡的位置。圖16-12解：在光滑水平圓盤(pán)上建立動(dòng)坐標(biāo)系，動(dòng)系做勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，水平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)M的受力分析如圖16-13所示。圖16-13得非慣性系動(dòng)力學(xué)方程：得非慣性系動(dòng)力學(xué)方程：圖中兩彈簧連接后相當(dāng)于剛性系數(shù)為k,因此，,F=ke上式可化簡(jiǎn)為：上述微分方程的通解為：所以質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)周期為：16-8圖16-14所示光滑直管AB,長(zhǎng)1,在水平面內(nèi)以勻角速度w繞鉛直軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)，另有一小球在管內(nèi)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)。初瞬時(shí)，小球在B端，相對(duì)速度為Uro,指向固定端A。問(wèn)vro應(yīng)為多少，小球恰能達(dá)到A端。圖16-14解：應(yīng)用非慣性系中的動(dòng)能定理。由題可知，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有牽連慣性力做功。設(shè)距離轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)處牽連慣性力為：F,=m·w2r則整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中牽連慣性力做功為：根據(jù)非慣性系中的動(dòng)能定理其中v,=0;解得V,o=lo。16-9圖16-15所示直管AB長(zhǎng)1,以勻角速w在水平面內(nèi)繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，其中OA=R,OB=R?,R?和R?為常數(shù)。一質(zhì)量為m的小球M在管內(nèi)不受摩擦而運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)球在點(diǎn)A,其相對(duì)速度為Ur?。求球的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，管對(duì)球的水平約束力FN,球離開(kāi)管子時(shí)所需的時(shí)間和在此瞬時(shí)球的相對(duì)速度Ur2。圖16-15解：取小球M為研究對(duì)象，以管AB作為參考系，做小球的受力圖如圖16-16所示。圖16-16相對(duì)速度為：①由受力圖可知：由動(dòng)能定理可得：將上式代入①式可得：16-10為減弱發(fā)動(dòng)機(jī)的扭振，在圖16-17所示曲軸上點(diǎn)C加裝一單擺CA。設(shè)擺質(zhì)量為m,CA=1,OC=a,曲軸以勻角速度@繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，此單擺可作微幅擺動(dòng)，忽略重力，求此單擺的振動(dòng)頻率。圖16-17解：選圓盤(pán)為動(dòng)坐標(biāo)系，則動(dòng)坐標(biāo)系以勻角速度w繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，非慣性系動(dòng)力學(xué)方程為：忽略重力，單擺的受力分析如圖16-18所示。圖16-18②所以，所以式②可化為：當(dāng)擺角很小時(shí)，有sing≈得到單擺運(yùn)動(dòng)方程為：得單擺的固有頻率為：16-11一河流自北向南流動(dòng)，在北緯30°處，河面寬500m,流速為5m/s,問(wèn)東西兩岸的水面高度相差多少?提示：水面應(yīng)垂直于重力和科氏慣性力矢量和的方向。地球自轉(zhuǎn)角速度w=7.29×10??rad/s。解：取河流表面一小段為研究對(duì)象，其受力和加速度分析如圖16-19(a)所示。圖16-19則科氏加速度為：求水面的傾角，如圖16-18(b)所示，則有：東西兩岸的水面高度差為：16-12圖16-20所示，球M質(zhì)量為m,在一光滑斜管中從點(diǎn)B開(kāi)始自由下滑。已知斜管AB長(zhǎng)為21,對(duì)鉛垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,它與鉛垂軸的夾角為0,斜管的初角速度為wo,摩擦不計(jì)。求：(1)小球?qū)c(diǎn)O位置x與斜管轉(zhuǎn)速o之間的關(guān)系；(2)小球沿管道的運(yùn)動(dòng)微分方程。圖16-20解：(1)不計(jì)摩擦，則系統(tǒng)對(duì)鉛垂軸的動(dòng)量矩守恒，得：解得：,將非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程,將非慣性系中質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程AB方向分解，得：ma,=mgcosθ-Fsinθ其中，F(xiàn)e=mxo2sinθ,a,=?解得小球沿管道的運(yùn)動(dòng)微分方程為：一、思考題因數(shù)k=1,問(wèn)在mi≤m?、m?=m?和mi≥m?三種情況下，兩球碰撞后將如何運(yùn)動(dòng)?答：設(shè)碰撞后M?速度為v'1,M2速度為v'2由恢復(fù)系數(shù)和動(dòng)量守恒解得17-2碰撞過(guò)程中可以應(yīng)用沖量矩定理，為什么一般情況下不便于應(yīng)用動(dòng)量矩定理的積分形式?答：對(duì)定點(diǎn)O,動(dòng)量矩定理的積分式為在此期間，位置有變化，力矩F變化，難以求積，上式不可運(yùn)用；碰撞過(guò)程中，物體位置不變，r為常量。上式變?yōu)闆_量矩定理。17-3為什么彈性碰撞時(shí)不應(yīng)用動(dòng)能定理，當(dāng)恢復(fù)因數(shù)k=1時(shí)是否可以應(yīng)用?答：彈性碰撞時(shí)，碰撞變形不能全部恢復(fù)，其動(dòng)能損耗未知，難以運(yùn)用動(dòng)能定理。當(dāng)k=1時(shí)，動(dòng)能無(wú)損耗，可以運(yùn)用動(dòng)能定理。17-4在不同碰撞情況下，恢復(fù)因數(shù)是如何定義的?在分析碰撞問(wèn)題中，恢復(fù)因數(shù)起什么作用?答：恢復(fù)系數(shù)是碰撞后和碰撞前物體接觸點(diǎn)法向相對(duì)速度的比值絕對(duì)值。分析碰撞問(wèn)題中，可用以補(bǔ)充動(dòng)力學(xué)方程以解決機(jī)械能損耗難于計(jì)算的困難。17-5擊打棒球時(shí)，有時(shí)震手，有時(shí)不感到震手，這是為什么?答：當(dāng)棒球擊于球棒撞擊中心且與球棒垂直時(shí)，不震手；反之，手握棒處有碰撞沖量，碰撞力很大，震手。17-6定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上受碰撞力作用，為什么軸承處也會(huì)產(chǎn)生碰撞力?如果轉(zhuǎn)軸恰好通過(guò)剛體的質(zhì)心，能否找到撞擊中心?又即又即17-7圖17-1均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m,長(zhǎng)為1,靜止放于光滑水平面上。如桿端受有水平并垂直于細(xì)桿的碰撞沖量I,求碰撞后桿中心的速度和桿的角速度。欲使此桿某一端點(diǎn)碰撞結(jié)束瞬時(shí)的速度為零，碰撞沖量I應(yīng)作用于桿的什么位置?圖17-1答：由動(dòng)量定理，有mve=I由對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩定理，有17-1如圖17-1所示，用打樁機(jī)打入質(zhì)量為50kg的樁柱，打樁機(jī)的重錘質(zhì)量為450kg,由高度h=2m處落下，其初速度為零。如恢復(fù)因數(shù)e=0,經(jīng)過(guò)一次錘擊后，樁柱深入1cm,圖17-1解：設(shè)重錘與樁柱接觸前的最大速度為Y0,根據(jù)動(dòng)能定理得：碰撞過(guò)程中忽略常規(guī)力，則重錘與樁柱組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)重錘和樁柱的共同速度為V,則可得：碰撞結(jié)束后，將重錘和樁柱看作一個(gè)系統(tǒng)，在樁柱下降過(guò)程中，重力和阻力做功，由動(dòng)能定聯(lián)立以上各式，并帶入數(shù)值，解得平均阻力為：F?=800kN17-2如圖17-2所示，帶有幾個(gè)齒的凸輪繞水平的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，并使樁錘運(yùn)動(dòng)。設(shè)在凸輪與樁錘碰撞前樁錘是靜止的，凸輪的角速度為の。若凸輪對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jo,錘的質(zhì)量為m,并且碰撞是非彈性的，碰撞點(diǎn)到軸O的距離為r。求碰撞后凸輪的角速度、錘的速度和碰撞時(shí)凸輪與錘間的碰撞沖量。圖17-2解：取凸輪為研究對(duì)象，設(shè)碰撞后凸輪角速度為@1,根據(jù)沖量矩定理得：Jowi-Jow=-I·r設(shè)碰撞后樁錘的速度為V,根據(jù)動(dòng)量定理得：I=mv根據(jù)圖中關(guān)系可知：聯(lián)立以上各式解得：17-3球1速度v?=6m/s,方向與靜止球2相切，如圖17-3所示。兩球半徑相同、質(zhì)量相等，不計(jì)摩擦。碰撞的恢復(fù)因數(shù)e=0.6。求碰撞后兩球的速度。圖17-3解：在兩球碰撞時(shí)，將球1的速度分解為沿兩球心連線方向和垂直兩球心連線方向則球1以速度與球2發(fā)生正碰，碰撞后速度變?yōu)?,速度不改變。不計(jì)摩擦力，則發(fā)生正碰的方向上動(dòng)量守恒，設(shè)球2碰撞后速度為V2,方向與Y相同，設(shè)兩球質(zhì)量均為m,恢復(fù)因數(shù)為k=0.6,可得：兩球的半徑相同，則可知：聯(lián)立以上各式可得：因?yàn)閂1不變，所以碰撞結(jié)束后，球1的速度大小為：球2速度大小為：,沿撞擊點(diǎn)法線方向。17-4馬爾特間隙機(jī)構(gòu)的均質(zhì)撥桿OA長(zhǎng)為1,質(zhì)量為m。馬氏輪盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸O?的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jo,半徑為r。在圖17-4所示瞬時(shí)，OA水平，桿端銷(xiāo)子A撞入輪盤(pán)光滑槽的外端，槽與水平線成θ角。撞前，OA的角速度是wo,輪盤(pán)靜止。求撞擊后輪盤(pán)的角速度和點(diǎn)A的撞擊沖量。又，當(dāng)為多大時(shí)，不出現(xiàn)沖擊力?Jow=IA·r根據(jù)上式可知，當(dāng)θ=90°時(shí)，I=0,此時(shí)不出現(xiàn)沖擊力。17-5一均質(zhì)桿的質(zhì)量為m,長(zhǎng)為1,其上端固定在圓柱鉸鏈O上，如圖17-5所示。桿由水平位置落下，其初角速度為零。桿在鉛直位置處撞到一質(zhì)量為m?的重物，使后者沿著粗糙圖17-5圖17-6設(shè)桿與重物碰撞前瞬間角速度為@o,應(yīng)用動(dòng)能定理得：設(shè)碰撞后重物速度為V,桿的角速度為の,碰撞過(guò)程中忽略摩擦力等常規(guī)力，則桿和重物組F=fN=fm:g17-6平臺(tái)車(chē)以速度v沿水平路軌運(yùn)動(dòng)，其上放置均質(zhì)正方形物塊A,邊長(zhǎng)為a,質(zhì)量為m,如圖17-7所示。在平臺(tái)上靠近物塊有一凸出的棱B,它能阻止物塊向前滑動(dòng)，但不能阻止它繞棱轉(zhuǎn)動(dòng)。求當(dāng)平臺(tái)車(chē)突然停止時(shí)，物塊繞棱B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。圖17-7解：當(dāng)車(chē)突然停止時(shí)，物塊受到碰撞沖量，以物塊A為研究對(duì)象，忽略碰撞過(guò)程中非碰撞力的作用，如圖17-8所示"BI圖17-817-7如圖17-9所示，在測(cè)定碰撞恢復(fù)因數(shù)的儀器中，有一均質(zhì)桿可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，桿長(zhǎng)為1,質(zhì)量為m1。桿上帶有用試驗(yàn)材料所制的樣塊，質(zhì)量為m。桿受重力作用由水平位置落下，其初角速度為零，在鉛垂位置時(shí)與障礙物相碰。如碰撞后桿回到與鉛垂線成角處，求恢復(fù)因數(shù)e。又問(wèn)：在碰撞時(shí)欲使軸承不受附加壓力，樣塊到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離x應(yīng)為多大?圖17-9解：設(shè)樣塊距離轉(zhuǎn)動(dòng)軸x,在碰撞前瞬間桿的角速度為@o,樣塊的速度為Vo,根據(jù)動(dòng)能定設(shè)碰撞后桿的角速度是@,樣塊的速度是v,碰撞后桿回到與鉛直線成角處，由動(dòng)能定當(dāng)撞擊點(diǎn)是撞擊中心時(shí)，0處不會(huì)有附加壓力，此時(shí)X應(yīng)滿足以下條件：17-8圖17-10所示質(zhì)量為m、長(zhǎng)為1的均質(zhì)桿AB,水平地自由下落一段距離h后，與支座D碰撞)。假定碰撞是塑性的，求碰撞后的角速度の和碰撞沖量I。圖17-10解：設(shè)桿AB與支座碰撞前瞬間的速度為Y0,根據(jù)動(dòng)能定理得：圖17-11碰撞過(guò)程中桿AB在支座D處受到的沖量如圖17-11所示，設(shè)碰撞后桿AB質(zhì)心速度為V,根據(jù)動(dòng)量矩守恒定理得：其中，帶入0的值，解得：將上式分別沿X方向和V方向投影：X方向上，I,=0V方向上，Iy=m(v?-v)解得碰撞過(guò)程中的碰撞沖量為：17-9圖17-12所示一均質(zhì)圓柱體，質(zhì)量為m,半徑為r,沿水平面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。原來(lái)質(zhì)心以等速c運(yùn)動(dòng)，突然圓柱與一高為h(h<r)的凸臺(tái)碰撞。設(shè)碰撞是塑性的，求圓柱體碰撞后質(zhì)心的速度、柱體的角速度和碰撞沖量。圖17-12解：碰撞結(jié)束后，圓柱體將繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱體質(zhì)心的速度方向與A、C連線垂直。圖17-13設(shè)碰撞后圓柱體的角速度是O,則有關(guān)系：v=r@在碰撞過(guò)程中，圓柱體對(duì)點(diǎn)A的動(dòng)量矩守恒，可得：由圖17-13(a)中幾何關(guān)系可知：根據(jù)沖量定理計(jì)算碰撞沖量，如圖17-13(b)所示，分別沿t軸和7軸投影，分別得到：得碰撞沖量為：I=mvcsinθ17-10均質(zhì)細(xì)桿AB置于光滑的水平面上，圍繞其重心C以角速度@o轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖17-14所示。如突然將點(diǎn)B固定(作為轉(zhuǎn)軸),問(wèn)桿將以多大的角速度圍繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)?圖17-14解：如圖17-15所示，碰撞過(guò)程中，桿AB相對(duì)于B點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。圖17-15根據(jù)動(dòng)量矩守恒可得：Jsw=Jcw。其中，解得桿繞B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是17-11圖17-16所示一球放在光滑水平面上，其半徑為r。在球上作用一水平碰撞力，該力沖量為I,求當(dāng)接觸點(diǎn)A無(wú)滑動(dòng)時(shí)，該力作用線距水平面的高度h應(yīng)為多少?圖17-16解：接觸點(diǎn)A沒(méi)有滑動(dòng)，相當(dāng)于A點(diǎn)處為鉸鏈，且鉸鏈處沒(méi)有附加動(dòng)反力，因此要滿足題解直)的角速度wo,如圖17-17所示。如球與臺(tái)面相撞后，因瞬時(shí)摩擦作用，接觸點(diǎn)水平速度解：以乒乓球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)乒乓球回彈速度為V,運(yùn)動(dòng)分析如圖17-18所示圖17-18根據(jù)上圖，由沖量矩定理得：在水平方向應(yīng)用沖量定理得：球與臺(tái)面接觸點(diǎn)水平速度為零，可得：由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可得：根據(jù)回復(fù)因數(shù)的定義可得：聯(lián)立以上各式，解得：17-13兩均質(zhì)桿OA和O?B,上端鉸支固定，下端與桿AB鉸鏈連接，靜止時(shí)OA與O?B均鉛垂，而AB水平，如圖17-19所示。各鉸鏈均光滑，三桿質(zhì)量皆為m,且OA=O?B=AB=1。如在鉸鏈A處作用一水平向右的碰撞力，該力的沖量為I,求碰撞后桿OA的最大偏角。圖17-19解：分別取OA、O?B、AB為研究對(duì)象，其運(yùn)動(dòng)分析如圖17-20所示圖17-20設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)，鉛垂桿的角速度是@,水平桿的速度是V,對(duì)OA、O?B應(yīng)用動(dòng)量矩定理，根據(jù)上圖可得，桿O?B:Jow(I-IA)Jow=IBl取水平桿AB為研究對(duì)象，應(yīng)用沖量定理得：設(shè)桿OA的最大偏角是9,應(yīng)用動(dòng)能定理得：聯(lián)立以上各式解得滿足關(guān)系：17-14質(zhì)量為m?的物塊A置于光滑水平面上，它與質(zhì)量為m?、長(zhǎng)為1的均質(zhì)桿AB相鉸接。系統(tǒng)初始靜止，AB鉛垂，m?=2m?。今有一沖量為I的水平碰撞力作用于桿的B端，求碰撞結(jié)束時(shí)，物塊A的速度。圖17-21解：取桿AB為研究對(duì)象，分析如圖17-22所示圖17-22設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)，桿的角速度是@,桿質(zhì)心的速度是，根據(jù)沖量矩定理得：其中，根據(jù)沖量定理得：取整體為研究對(duì)象，由動(dòng)量定理得：由物塊和桿的運(yùn)動(dòng)關(guān)系可得：聯(lián)立以上各式解得：負(fù)號(hào)表示物塊速度方向與假設(shè)方向相反，即方向向左。圖17-24解：分別取桿AB和桿BC為研究對(duì)象，分析如圖17-25所示圖17-25設(shè)碰撞后桿AB的角速度是@AB,桿BC的角速度是@BC,方向均為逆時(shí)針。取桿AB為研取桿BC為研究對(duì)象，根據(jù)沖量矩定理得：JcwBC=I'm·l其中，I'm=I聯(lián)立以上方程解得：負(fù)號(hào)表示角速度方向與假設(shè)方向相反，即桿BC順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。第18章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)18-1圖18-1所示裝置，重物M可在螺桿上上下滑動(dòng)，重物的上方和下方都裝有彈簧。問(wèn)是否可以通過(guò)螺帽調(diào)節(jié)彈簧的壓縮量來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的固有頻率?圖18-1答：彈簧被壓緊并不改變其彈性系數(shù)，因而不能改變系統(tǒng)的固有頻率。18-2圖18-2所示的水平擺和鉛垂擺都處于重力場(chǎng)中，桿重不計(jì)，擺長(zhǎng)度1、彈簧剛度系數(shù)A以及擺錘質(zhì)量m都是相同的。試問(wèn)兩個(gè)擺微幅擺動(dòng)的固有頻率是否相同?如果二者都脫離了重力場(chǎng)，其固有頻率是否相同?又，圖中的彈簧方向都與擺桿垂直，如彈簧與擺桿成45°角連接，其固有頻率有什么不同?圖18-2答：擺桿水平與鉛垂放置，其固有頻率不相同，因?yàn)閿[桿鉛垂并沿橫向擺動(dòng)時(shí)，重力對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，為恢復(fù)力之一；而擺桿水平并沿鉛垂線微小擺動(dòng)時(shí)，重力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩不變，不構(gòu)成恢復(fù)力。若無(wú)重力場(chǎng)，有質(zhì)量而無(wú)重力作用，擺桿任意放置都不改變其固有頻率。當(dāng)彈簧與擺桿成45°時(shí)，彈簧變形量減小為2倍，力臂減小倍，因而對(duì)水平擺桿，其“恢復(fù)力”將減小頭倍，固有頻率降對(duì)于鉛垂擺桿，固有頻率也將有所降低。18-3假如地球引力增加一倍，下列幾種振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率有變化?(1)單擺；(2)復(fù)擺；(3)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)；(4)扭擺。答：(1)固有頻率增大V2倍；(2)固有頻率增大√2倍；(3)不變化；(4)不變化。18-4在光滑水平面上，兩個(gè)質(zhì)量皆為m的質(zhì)點(diǎn)由一剛度系數(shù)為k的無(wú)重彈簧相連。若將二質(zhì)點(diǎn)拉開(kāi)一段距離再同時(shí)釋放，二者將發(fā)生振動(dòng)，求此振動(dòng)的周期。如上述二質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m?和m?,問(wèn)二者仍發(fā)生振動(dòng)嗎?振動(dòng)周期為多大?答：對(duì)質(zhì)量相同的兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，其彈簧中點(diǎn)將保持不動(dòng)，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)相當(dāng)于彈簧彈性數(shù)增大一倍，振動(dòng)固有頻率,周期為對(duì)質(zhì)量為m1和m2的系統(tǒng)仍將發(fā)生自由振動(dòng)，質(zhì)心C不動(dòng)。固有頻率為由可得即兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率相同，周期皆為18-5均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)1,質(zhì)量為m。問(wèn)以哪一點(diǎn)為懸掛點(diǎn)作為復(fù)擺，其擺動(dòng)頻率最大；以哪一點(diǎn)為懸掛點(diǎn)其擺動(dòng)頻率最小。答：復(fù)擺固有頻率為則所以時(shí)，叫有最大值，18-6什么是臨界阻尼?欠阻尼和過(guò)阻尼狀態(tài)的自由振動(dòng)有什么不同? c<2√mk為欠阻尼，系統(tǒng)沿平衡位置附近振動(dòng)；c<2√mk為過(guò)阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)直接趨于平衡位置，無(wú)振動(dòng)性質(zhì)。18-7證明在過(guò)阻尼振動(dòng)狀態(tài)下，物體以任意的起始位置和起始速度運(yùn)動(dòng)，越過(guò)平衡位置不能超過(guò)一次。則自由振動(dòng)解為平衡位置處x=0,x=-e*(c?e+c?e“)即解得對(duì)應(yīng)于任意初始條件，即任意cl,c2。上式有唯一解。18-8怎樣用自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)方法求單自由度系統(tǒng)的阻尼比ζ和阻力系數(shù)c。答：可由實(shí)驗(yàn)測(cè)出自由振動(dòng)時(shí)隔N個(gè)周期的兩個(gè)振幅Ai,Ai+N,由對(duì)數(shù)縮減規(guī)律可求出阻尼比C,再由系統(tǒng)的質(zhì)量m和彈簧剛度k得阻尼系數(shù)，o18-9有阻尼受迫振動(dòng)中，什么是穩(wěn)態(tài)過(guò)程?與剛開(kāi)始的一段運(yùn)動(dòng)有什么不同?答：有阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，剛開(kāi)始一段為自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)的疊加，振幅不固定，也不是諧振動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)問(wèn)后，自由振動(dòng)部分因阻尼而衰減，衰減之后成為穩(wěn)態(tài)過(guò)程，振幅及頻率為確定不變的值。18-10汽輪發(fā)電機(jī)主軸的轉(zhuǎn)速已大于其臨界轉(zhuǎn)速，起動(dòng)與停車(chē)過(guò)程中都必然經(jīng)過(guò)其共振區(qū)，為什么軸并沒(méi)有劇烈振動(dòng)而破環(huán)?答：共振時(shí)，振幅是逐漸增大，需要一段時(shí)間才能達(dá)到使軸破壞的臨界值。因而可以控制汽輪機(jī)，使之快速通過(guò)共振區(qū)，而不致因振幅太大而破壞。18-11確定兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)需要幾個(gè)運(yùn)動(dòng)初始條件?答：需要四個(gè)初始條件。18-12什么是主振動(dòng)?兩個(gè)主振動(dòng)的合成是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)?是否是周期運(yùn)動(dòng)?答：兩個(gè)自由度系統(tǒng)有兩個(gè)固有頻率，一定的初始條件下，系統(tǒng)可分別以其中一個(gè)頻率振動(dòng)，視為兩個(gè)主振動(dòng)。都是諧振動(dòng)。一般條件下，系統(tǒng)的振動(dòng)是兩個(gè)主振動(dòng)的疊加，一段不振動(dòng)，也不一定為周期振動(dòng)。18-13兩個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)在什么條件下可按其第一主振型或第二主振型振動(dòng)?答：按兩個(gè)主振型的狀態(tài)分別給定系統(tǒng)的初始位置，再自由釋放，系統(tǒng)可分別以兩個(gè)主振型振動(dòng)。分別施加兩個(gè)固有頻率的激振力也可以引起兩種主振型的振動(dòng)。18-1圖18-1所示兩個(gè)彈簧的剛度系數(shù)分別為ki=5kN/m,k?=3kN/m。物塊質(zhì)量m=4kg。求物體自由振動(dòng)的周期。"圖18-1解：兩個(gè)彈簧串聯(lián)，等效剛度系數(shù)為：聯(lián)立以上各式得：上式可化簡(jiǎn)為：則@0為振動(dòng)固有頻率，自由振動(dòng)周期為：代入數(shù)值解得：T=0.29s(b)斜面傾角與運(yùn)動(dòng)方程無(wú)關(guān)，彈簧串聯(lián)，(c)彈簧并聯(lián)，等效剛度系數(shù)為：18-2一盤(pán)懸掛在彈簧上，如圖18-2所示。當(dāng)盤(pán)上放質(zhì)量為m?的物體時(shí)，作微幅振動(dòng)，測(cè)得的周期為T(mén)?;如盤(pán)上換一質(zhì)量為m?的物體時(shí)，測(cè)得振動(dòng)周期為T(mén)2。求彈簧的剛度系數(shù)k。圖18-218-3如圖18-3所示，質(zhì)量m=200kg的重物在吊索上以等速度v=5m/s下降。當(dāng)下降時(shí)，18-4圖18-4所示質(zhì)量為m的重物，初速為零，自高度h=1m處落下，打在水平梁的中部如以重物在梁上的靜止平衡位置O為原點(diǎn)，作出鉛直向下的軸y,梁的重量不計(jì)。寫(xiě)出重物圖18-5圖18-418-5質(zhì)量為m的小車(chē)在斜面上自高度h處滑下，而與緩沖器相碰，如圖18-5所示。緩沖彈簧的剛度系數(shù)為k,斜面傾角為0。求小車(chē)碰著緩沖器后自由振動(dòng)的周期與振幅。解：建立如圖18-6所示坐標(biāo)系，選取小車(chē)在彈簧上受力平衡時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，小車(chē)與彈簧接觸后做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：圖18-6斜面傾角與運(yùn)動(dòng)方程無(wú)關(guān)，所以固有頻率為：自由振動(dòng)周期為：所以振幅為：18-6如圖18-7所示，一小球的質(zhì)量為m,緊系在完全彈性的線AB的中部，線長(zhǎng)21。設(shè)線完全拉緊時(shí)張力的大小為F,當(dāng)球作水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，張力不變。重力忽略不計(jì)。試證明小球在水平線上的微幅振動(dòng)為諧振動(dòng)，并求其周期。圖18-7圖18-8取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力分析如圖18-8所示，其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則小球的運(yùn)動(dòng)微分方程是：又微幅振動(dòng)條件下：則運(yùn)動(dòng)微分方程可化為：即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程。所以小球運(yùn)動(dòng)周期為：18-7質(zhì)量為m的桿水平地放在兩個(gè)半徑相同的輪上，兩輪的中心在同一水平線上，距離為2a。兩輪以等值而反向的角速度各繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖18-9所示。桿AB借助與輪接觸點(diǎn)的摩擦力的牽帶而運(yùn)動(dòng)，此摩擦力與桿對(duì)滑輪的壓力成正比，摩擦因數(shù)為f。如將桿的質(zhì)心C推離其對(duì)稱位置點(diǎn)O,然后釋放。(1)證明質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)為諧振動(dòng)，并求周期T;(2)若a=250mm,T=2s時(shí)，求摩擦因數(shù)J。圖18-9圖18-10(1)取桿為研究對(duì)象，建立如圖所示坐標(biāo)系，取0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，受力分析如圖18-10所示FM+Fv?=mg摩擦力為：F?=fFn,F?=fFN?桿的運(yùn)動(dòng)微分方程是：代入數(shù)值，整理得：上式為諧振動(dòng)微分方程，其振動(dòng)周期為：18-8圖18-11所示均質(zhì)桿AB,質(zhì)量為m?,長(zhǎng)為31,B端剛性連接一質(zhì)量為m?的物體，其大小不計(jì)。桿AB在0處為鉸支，兩彈簧剛度系數(shù)均為k,約束如圖。求系統(tǒng)的固有頻率。圖18-11解：桿轉(zhuǎn)過(guò)的偏角中極小，兩彈簧的伸長(zhǎng)量近似為：δ≈lsinφ≈1φ由動(dòng)量矩定理得桿的運(yùn)動(dòng)微分方程為：其中，代入桿的運(yùn)動(dòng)微分方程得：所以系統(tǒng)的固有頻率為：18-9圖18-12所示均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為1,質(zhì)量m,其兩端銷(xiāo)子可分別在水平槽、鉛垂槽中滑動(dòng)，θ=0為靜平衡位置。不計(jì)銷(xiāo)子質(zhì)量和摩擦，如水平槽內(nèi)兩彈簧剛度系數(shù)皆為k,求系統(tǒng)微幅振動(dòng)的固有頻率。又問(wèn)，彈簧剛度系數(shù)為多大時(shí)，振動(dòng)才可能發(fā)生。圖18-12圖18-13選取角θ為廣義坐標(biāo)，設(shè)θ=0時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能V=0在桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與豎直方向夾角為θ時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為：微幅振動(dòng)時(shí)，.m?≈0勢(shì)能可表示為：設(shè)桿AB的速度瞬心為P。系統(tǒng)的動(dòng)能為：其中，由已知條件可知，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，T+V=常量所以得到：化簡(jiǎn)后得：此時(shí)振動(dòng)的固有頻率是：18-10圖18-14所示均質(zhì)細(xì)桿AB長(zhǎng)為1,質(zhì)量為m,在點(diǎn)D掛有傾斜彈簧，彈簧的剛度系數(shù)為k。桿的尺寸如圖。求桿處于水平和鉛直位置兩種情況下微幅振動(dòng)的固有頻率。圖18-14解：取系統(tǒng)平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)桿偏離平衡位置微小轉(zhuǎn)角⑨時(shí)，彈簧恢復(fù)力為：圖18-15(1)第一種情況下，根據(jù)動(dòng)量矩定理可得：其中，所以運(yùn)動(dòng)微分方程為：桿水平時(shí)微幅振動(dòng)的固有頻率是：(2)第二種情況下，根據(jù)動(dòng)量矩定理可得：代入Jz的值得到運(yùn)動(dòng)微分方程：桿鉛直時(shí)微幅振動(dòng)的固有頻率是18-11如圖18-16所示，已知均質(zhì)桿AB長(zhǎng)21,質(zhì)量為2m,在中點(diǎn)O與桿CD相鉸接，桿CD的角速度為w,質(zhì)量不計(jì)，CD=2h,盤(pán)簧剛度系數(shù)為k,當(dāng)9o=0時(shí)，盤(pán)簧無(wú)變形。求：(1)當(dāng)w=0時(shí)，桿AB微振動(dòng)的固有頻率；(2)當(dāng)w=常數(shù)時(shí)，w與90的關(guān)系；(3)當(dāng)①=常數(shù)時(shí)，C,D處的約束力；(4)當(dāng)o=常數(shù)時(shí)，桿AB微振動(dòng)的頻率。圖18-16圖18-17(1)當(dāng)@=0時(shí)，受力分析如圖，慣性力合力Fg=0,,扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩為：AB桿的扭轉(zhuǎn)微分方程為：其中，固有頻率為：(2)慣性力的合力,其作用位置到0點(diǎn)的距離,取AB桿為研究對(duì)象，桿偏角為9,由達(dá)朗貝爾原理得：(3)取系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖所示，應(yīng)用動(dòng)靜法。F+FD=0F-2mg=0代入F的值，解得：(4)若桿AB在90處偏離一個(gè)小角度θ,此時(shí)慣性力為桿的牽連慣性力。AB桿相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程為：,,所以振動(dòng)頻率為：18-12質(zhì)量為m的物體懸掛如圖18-18所示。如桿AB的質(zhì)量不計(jì)，兩彈簧的剛度系數(shù)分別為ki和k?,又AC=a,AB=b,求物體自由振動(dòng)的頻率。圖18-18解：選取靜平衡點(diǎn)置為原點(diǎn)，此為零勢(shì)能位置，列出動(dòng)能勢(shì)能對(duì)于AB桿，由有衡方程①②④18-13如圖18-19所示，大膠帶輪半徑為R,質(zhì)量為m,回轉(zhuǎn)半徑為p,由剛度系數(shù)為k的彈性繩與半徑為r的小輪連在一起。設(shè)小輪受外力作用作受=Gsh,s,且無(wú)論小輪如何運(yùn)動(dòng)都不會(huì)使彈性繩松弛或打滑。求大輪穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅。圖18-19圖18-20如圖18-20所示，由動(dòng)量矩定理，輪O?的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為：其中J?=mp2F?=k(rt-Ro)F?=k(Rp-0)代入上式有：此受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)幅值為：固有頻率為18-14圖18-21所示位于鉛垂面內(nèi)的行星機(jī)構(gòu)中，小輪A是質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓盤(pán)，。小輪沿大輪只滾不滑且由螺線彈簧與系桿OA相連。不計(jì)OA的質(zhì)量和各處摩擦，當(dāng)小輪位于圖示的最高位置時(shí)，彈簧無(wú)變形。求：(1)為保持小輪在圖示位置的穩(wěn)定平衡，螺線彈簧剛度系數(shù)k的最小值ko為多大?(2)若令k=10ko,該系統(tǒng)在圖示位置作微幅振動(dòng)的固有頻率為多大?圖18-21圖18-22(1)選取角4為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的勢(shì)能為其中9,=20,為小輪相對(duì)于OA桿的轉(zhuǎn)角，代入上式，并對(duì)求導(dǎo)：得到9=0為平衡位置。得到運(yùn)動(dòng)微分方程：固有頻率為：18-15如圖18-23所示半徑為r的半圓柱體，在水平面上只滾動(dòng)不滑動(dòng)，已知該柱體對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且平行于半圓柱母線的軸的回轉(zhuǎn)半徑為p,又OC=a。求半圓柱體作微小擺動(dòng)的頻率。圖18-23圖18-24選取擺動(dòng)角θ為廣義坐標(biāo)，半圓柱體在水平面上做純滾動(dòng)，為理想約束，如圖18-24(b)所示。則動(dòng)能：由速度合成定理得：如圖18-24所示上式等價(jià)于：其中J。=mp2,將上式代入拉氏方程得：18-16圖18-25所示均質(zhì)滾子質(zhì)量m=10kg,半徑r=0.25m,能在斜面上保持純滾動(dòng)，彈簧剛度系數(shù)k=20N/m,阻尼器阻力系數(shù)c=10N·s/m。求：(1)無(wú)阻尼的固有頻率；(2)阻尼比；(3)有阻尼的固有頻率；(4)此阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期。圖18-25解：選取質(zhì)心O的位移x為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為運(yùn)動(dòng)方程艾=ar消去F和α得：(1)無(wú)阻尼的固有頻率(2)阻尼比(3)有阻尼的固有頻率(4)此阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的周期18-17用下法測(cè)定液體的阻力系數(shù)：在彈簧上懸一薄板A,如圖18-26所示。測(cè)定它在空氣中的自由振動(dòng)周期T?,然后將薄板放在欲測(cè)阻力系數(shù)的液體中，令其振動(dòng)，測(cè)定周期T?。液體與薄板間的阻力等于2scv,其中2s是薄板的表面積，v為其速度，而c為阻力系數(shù)。如薄板質(zhì)量為m,根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)T?與T?,求阻力系數(shù)c。薄板與空氣間的阻力略去不計(jì)。圖18-26圖18-27如圖18-27所示，選取物塊A靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，物塊A的運(yùn)動(dòng)微分方程為：在液體中振動(dòng)時(shí)，有故又由聯(lián)立式①②可得：①②18-18汽車(chē)的質(zhì)量為m=2450kg,壓在4個(gè)車(chē)輪的彈簧上，可使每個(gè)彈簧的壓縮量為占δst=150mm。為了減小振動(dòng)，每個(gè)彈簧都裝一個(gè)減振器，結(jié)果使汽車(chē)上、下振動(dòng)迅速減小，經(jīng)2次振動(dòng)后，振幅減到0.1倍，即。求：(1)振幅減縮因數(shù)η和對(duì)數(shù)減縮A;(2)和衰減振動(dòng)周期Td;(3)如果要求汽車(chē)不振動(dòng)，即要求減振器有臨界阻尼，求臨界阻力系數(shù)Ccr。解：車(chē)身的鉛垂振動(dòng)是有阻尼自由振動(dòng)，設(shè)車(chē)身靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則車(chē)身的運(yùn)動(dòng)微分方程為：(1)對(duì)數(shù)減縮振幅縮減因數(shù)(2)衰減振動(dòng)周期衰減系數(shù)(3)臨界阻尼系數(shù)18-19車(chē)廂載有貨物，其車(chē)架彈簧的靜壓縮量為δt=50mm,每根鐵軌的長(zhǎng)度1=12m。每當(dāng)車(chē)輪行駛到軌道接頭處都受到?jīng)_擊，因而當(dāng)車(chē)廂速度達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，將發(fā)生激烈顛簸，這一速度稱為臨界速度。求此臨界速度。解：沖擊力頻率車(chē)廂振動(dòng)的固有頻率共振時(shí)要滿足條件條件f=fn,所以得臨界速度：18-20車(chē)輪上裝置一質(zhì)量為m的物塊B,在某瞬時(shí)(t=0)車(chē)輪由水平路面進(jìn)入曲線路面，并繼續(xù)以等速v行駛。該曲線路面的規(guī)律起伏，坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)系Oix1y1的位置如圖18-28所示。設(shè)彈簧的剛度系數(shù)為k。求：(1)物塊B的受迫運(yùn)動(dòng)方程；(2)輪A的臨界速度。圖18-28圖18-29(1)設(shè)車(chē)身坐標(biāo)為y,車(chē)身處于靜平衡時(shí)位置為原點(diǎn)，根據(jù)牛頓定律列出運(yùn)動(dòng)方程：將x?=vt代入上式得：物塊受迫振動(dòng)方程為：18-21電動(dòng)機(jī)質(zhì)量m?=250kg,由4個(gè)剛度系數(shù)k=30kN/m的彈簧支持，如圖18-30所示。當(dāng)@=@時(shí)，發(fā)生共振，則有固有頻率18-22物體M懸掛在彈簧AB上，如圖18-32所示。彈簧的上端A作鉛垂直線諧振動(dòng)，其圖18-32解：取系統(tǒng)平衡時(shí)，A,B位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖18-33所示，彈簧XA=asinwlmgXB+kra=kasinat圖18-3318-23圖18-34所示彈簧的剛度系數(shù)k=20N/m,其上懸一質(zhì)量m=0.1kg的磁棒。磁棒下端穿過(guò)一線圈，線圈內(nèi)通過(guò)i=20sin8πt的電流，式中i以A(安培)計(jì)。電流自時(shí)間t=0F=160πi,式中F以10?6N計(jì)。求磁棒的受迫振動(dòng)。圖18-34解：選取磁棒靜平衡位置為x的原點(diǎn)，通電情況下，電磁力所以18-24圖18-35所示兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，其質(zhì)量為m,彈簧剛度系數(shù)為k,阻力系數(shù)為c。設(shè)干圖18-35解：(a)選取系統(tǒng)靜平衡時(shí)物塊m所在位置為坐標(biāo)x的原點(diǎn)，由圖(a)得到物體運(yùn)動(dòng)微mü'=F,-F=c(x?-x')-kx'18-25機(jī)器上一零件在粘滯油液中振動(dòng)，施加一個(gè)幅值H=55N、周期T=0.2s的干擾力，可使零件發(fā)生共振，設(shè)此時(shí)共振振幅為15mm,該零件的質(zhì)量為m=4.08kg,求阻力系數(shù)c。③n=13.19,c=2mm=107.7N下邊安裝8個(gè)彈簧(每邊4個(gè)并聯(lián)而成)。A,B兩點(diǎn)到質(zhì)心C的距離相等。已知地面振動(dòng)規(guī)律為yi=sin10πt(式中yi以mm計(jì)),儀器質(zhì)量為8mgCBA圖18-3818-28電機(jī)的轉(zhuǎn)速n=1800r/min,全機(jī)質(zhì)量m=100kg,今將此電機(jī)安裝在圖18-39所示的隔振裝置上。欲使傳到地基的干擾力達(dá)到不安圖18-39因5=0,忽略阻尼，18-29已知圖18-40所示機(jī)構(gòu)，其杠桿可繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，重量忽略不計(jì)。質(zhì)點(diǎn)A質(zhì)量為m,ml2+(kd2-mgl)φ=kdbsi18-30圓盤(pán)質(zhì)量為m,固結(jié)在鉛直軸的中點(diǎn)，圓盤(pán)繞此軸以角速度の轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖18-41所示。軸的剛度系數(shù)為k,圓盤(pán)的中心對(duì)軸的偏心距為e。求軸的撓度8。圖18-41圖18-42②盤(pán)的偏心距rAc=e,故撓度18-31機(jī)械系統(tǒng)與無(wú)阻尼動(dòng)力減振器連接，其簡(jiǎn)化模型如圖18-43所示。已知主體質(zhì)量為m?,主彈簧剛度系數(shù)為ki;減振器的質(zhì)量為m?,彈簧剛度系數(shù)為k?,求系統(tǒng)的固有頻率和振型。圖18-43圖18-44選取物塊靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取xi,x?二維體系，根據(jù)牛頓定律寫(xiě)成矩陣形式：取,代入上式得：欲使X,X?有非零解，則需滿足：得固有頻率代入(*)式得：18-32求圖18-45所示振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和振型。已知m?=m?=m,k?=k?=k?=k。w豆m圖18-45解：取xi,x?為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動(dòng)能勢(shì)能為：代入拉格朗日方程：得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：令18-33圖18-46所示一均質(zhì)圓軸，左端固定，在另一端和中部分別裝有均質(zhì)圓盤(pán)A和B。每一圓盤(pán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為J,兩段軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)均為k,不計(jì)軸的質(zhì)量。求此系統(tǒng)自圖18-46解：選取物塊靜平衡位置為扭擺零勢(shì)能位置，選取0,0非零解條件為：解得自由振動(dòng)兩固有頻率18-34已知圖18-47所示兩個(gè)自由度系統(tǒng)，其中A和B的質(zhì)量分別為mA和mp,彈簧的剛度系數(shù)為k,擺長(zhǎng)為1。求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和固有頻率。圖18-47圖18-48系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取彈簧的變形x和擺桿與鉛垂線夾角⑨為廣義坐標(biāo)。廣義力為：由速度疊加原理：上式中vA=x,Va=lo,則代入(1)再代入拉格朗日方程微幅振動(dòng)下近似sinp=q,cosφ=1,上式化簡(jiǎn)為：即18-35圖18-49所示剛桿AB長(zhǎng)1,質(zhì)量不計(jì)，其一端B鉸支，另一端固連一質(zhì)量為m的物體A,其下連接一剛度系數(shù)為k的彈簧，并掛有質(zhì)量也為m的物體D。桿AB中點(diǎn)用剛度系數(shù)也為k的彈簧拉住，使桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。圖18-49解：取桿在水平時(shí)為系統(tǒng)零勢(shì)能位置，設(shè)桿AB轉(zhuǎn)角為9,物體D的垂直位移為x,取和拉氏函數(shù)為：L=T-V①②①②式便是系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，寫(xiě)成矩陣形式：系數(shù)剛度矩陣系數(shù)質(zhì)量矩陣頻率方程為：將行列式展開(kāi)，得：解上式得系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率為：18-36圖18-50所示桿OA長(zhǎng)1=1.5m,重量不計(jì)，可繞水平軸O擺動(dòng)。在A端裝一質(zhì)量m?=2kg、半徑r=0.5m的均質(zhì)圓盤(pán)，在圓盤(pán)邊上點(diǎn)B,固結(jié)一質(zhì)量m?=1kg的質(zhì)點(diǎn)。求此系統(tǒng)作微幅振動(dòng)的固有頻率。提示：可取θ與9為廣義坐標(biāo)。圖18-50圖18-51選取靜平衡位置為坐標(biāo)起始位置和零勢(shì)能位置，取61.02為廣義坐標(biāo)，如圖所示，系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能表達(dá)式為：①V=mgl(1-cosθ?)+m?g[L(1-cosθ?)+(1將以上各式代入①②,再將①②代入拉氏方程①即第19章剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、自由剛體運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)的合成、陀螺儀近似理論19-1剛體繞定點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)下述條件如何確定其瞬時(shí)軸?(1)已知其上兩點(diǎn)A、B的速度相同；(2)已知其上兩點(diǎn)A、B的速度方向，且兩個(gè)速度方向不平行。答：(1)過(guò)定點(diǎn)O且與A,B連線平行的直線即為瞬時(shí)軸。(2)過(guò)點(diǎn)A、B分別作vA和vB的垂線，交于一點(diǎn)C,OC所在的直線為瞬時(shí)軸。19-2繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)M的速度為v,轉(zhuǎn)動(dòng)加速度為a,繞瞬時(shí)軸的向軸加速度為a?,且皆不為零。試判斷下述說(shuō)法是否正確：(2)a?必與角速度矢w垂直；(7)a?必與角速度矢w垂直；(8)a?必指向定點(diǎn)O;(9)a?必垂直于該點(diǎn)矢徑r。19-3剛體自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影是否一定相等?答：一定相等。19-4剛體自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，若某瞬時(shí)其上不共線的某三點(diǎn)加速度矢相同，試判斷下述說(shuō)法是否(1)該瞬時(shí)剛體上所有點(diǎn)的速度必相等；(2)該瞬時(shí)剛體上所有點(diǎn)的加速度必相等。答：此時(shí)剛體的角速度，角加速度均為零，故兩種說(shuō)法皆正確。19-5剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般情況下其角速度矢w與角加速度矢α是否在同一直線上?答：因,α,O一般不在同一直線上。19-6剛體繞兩個(gè)平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成是否為平面運(yùn)動(dòng)?兩平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成的分析方法與基點(diǎn)法有什么異同?答：是平面運(yùn)動(dòng)；基點(diǎn)法求出的是剛體的絕對(duì)角速度和絕對(duì)角加速度、其相對(duì)動(dòng)系的角速度，角加速度就是絕對(duì)值，而合成分析方法則有絕對(duì)、相對(duì)、牽連角速度、角加速度之分。求剛體上任意點(diǎn)的速度與加速度，基點(diǎn)法是剛體平面法，后一種方法是點(diǎn)的合成分析法。19-1曲柄OA繞固定齒輪中心的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，在曲柄上安裝一雙齒輪和一小齒輪，如圖19-1所示。已知：曲柄轉(zhuǎn)速no=30r/min;固定齒輪齒數(shù)zo=60,雙齒輪齒數(shù)z?=40和z?=50,小齒輪齒數(shù)z3=25。求小齒輪的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。圖19-1解：如圖所示，選取曲柄OA為動(dòng)系，設(shè)各輪的相對(duì)轉(zhuǎn)速速為n,n3,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系有：①由固定輪的絕對(duì)轉(zhuǎn)速為0,得聯(lián)立方程①②③可得3輪的轉(zhuǎn)速為：n3=-60r/min(負(fù)號(hào)說(shuō)明3輪為順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng))。而長(zhǎng)為3R的曲柄OA繞軸O作順時(shí)針轉(zhuǎn)向，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度WOA=wo,角加速度αoA=αo,如圖19-2所示。點(diǎn)M位于半徑為R的從動(dòng)齒輪上，在垂直于曲柄的直徑的末端。求點(diǎn)M的圖19-2圖19-3如圖19-3所示，取OA為動(dòng)系，設(shè)輪A的絕對(duì)角速度和角加速度為@4和α4,輪O和輪A相對(duì)于曲柄OA的角速度為@or和@A?,根據(jù)轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系則有：再以A為基點(diǎn)，由加速度的關(guān)聯(lián)關(guān)系x,y方向上的分量為：已知條件：aA=3waR,aλ=3aaR,a系統(tǒng)的速度關(guān)聯(lián)關(guān)系vn=VA+vA+VMA,UA=3RwAOUMA聯(lián)立上述各式可得19-3在齒輪減速器中，主動(dòng)軸角速度為o,齒輪Ⅱ與定齒輪V相內(nèi)嚙合。齒輪Ⅱ和Ⅲ又分別與動(dòng)齒輪I和IV相外嚙合。如齒輪I,Ⅱ和Ⅲ的半徑分別為r,r?和r3,求齒輪I和IV的角速度。圖19-4圖19-5,根據(jù)齒輪嚙合關(guān)系有：齒輪運(yùn)動(dòng)關(guān)系為：代入解得：19-4自動(dòng)多頭鉆床采用的送進(jìn)機(jī)構(gòu)為行星減速輪系，如圖19-6所示。齒輪I固定在機(jī)架外殼上，齒輪IV是中心輪，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，行星輪Ⅱ與Ⅲ固結(jié)一體可繞系桿H上的軸O?轉(zhuǎn)動(dòng)，系桿H又繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)z?=20,z?=22,z3=21,z4=21,求傳動(dòng)比之值。圖19-6圖19-7取系桿H為動(dòng)系，其角速度為@H,設(shè)輪IV的絕對(duì)角速度和相對(duì)角速度分別為@4和@47,輪I的相對(duì)角速度為@,根據(jù)齒輪嚙合關(guān)系有：定點(diǎn)關(guān)系為：0=WH聯(lián)立解得：19-5圖19-8所示一雙重差動(dòng)機(jī)構(gòu)，其構(gòu)造如下：曲柄Ⅲ繞固定軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，在曲柄上活動(dòng)地套一行星齒輪IV,此行星齒輪由兩個(gè)半徑各為r?=50mm和r?=20mm的錐齒輪牢固地連接而成。這兩個(gè)錐齒輪又分別與半徑各為R?=100mm和R?=50mm的另外兩個(gè)錐齒輪I和Ⅱ相嚙合。齒輪I和Ⅱ均可繞軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，但不與曲柄相連，其角速度分別為w?=4.5rad/s,,絕對(duì)角速度為，,根據(jù)齒輪的嚙合關(guān)系有②19-6圓錐滾子軸承由緊套在軸2上的內(nèi)環(huán)1、裝在機(jī)身上的外環(huán)3和一些圓錐滾子4組圖19-11①注意@2矢量的方向是變化的，設(shè)滾子繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為@1,則有：滾子軸線上點(diǎn)C點(diǎn)的速度為：v,=w?×OC=w?×OC②聯(lián)立①②可得：19-7錐齒輪的軸通過(guò)平面支座齒輪的中心O,如圖19-10所示。錐齒輪在支座齒輪上滾動(dòng)，每分鐘繞鉛垂軸轉(zhuǎn)5周。如R=2r,求錐齒輪繞其本身軸OC轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度@和繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度②。圖19-1019-8陀螺以等角速度o?繞軸OB轉(zhuǎn)動(dòng)，而軸OB等速地畫(huà)出一圓錐，如圖19-12所示。如陀螺的中心軸OB繞軸OS每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為n,∠BOS=0(常量),求陀螺的角速度の和角圖19-12圖19-13以O(shè)B為動(dòng)系，由角速度疊加原理的大小為常量，方向在變化，故角加速度為：即19-9圖19-14所示圓盤(pán)以角速度01繞水平軸CD轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)軸CD以角速度o?繞通過(guò)圓盤(pán)中心點(diǎn)O的鉛垂軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)。@?=5rad/s,@2=3rad/s,求圓盤(pán)的合成角速度w和瞬時(shí)角加圖19-14解：如圖19-15所示，選取支架為動(dòng)系，由角速度疊加原理：由幾何關(guān)系可得：19-10船式起重機(jī)桅柱高OB=6m,起重臂AB=4m,它繞桅柱③④=0.25rad/s繞軸y轉(zhuǎn)動(dòng)。坐標(biāo)軸Oxyz固結(jié)在衛(wèi)星上，尺寸如圖19-18所示。圖19-18所示圖19-19以衛(wèi)星為動(dòng)系，電池板的絕對(duì)角速度設(shè)為@a,絕對(duì)角加速度設(shè)為αa,由圖中幾何關(guān)系可得：代入aA表達(dá)式可得：t19-12圖19-20所示機(jī)器人的手臂2在鉛垂面內(nèi)的轉(zhuǎn)角用9表示：設(shè)t=1s時(shí)，機(jī)器人手臂2在鉛垂面內(nèi)的位置如圖所示。試分別在下列各種條件下求手腕處點(diǎn)B的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。(式中4(t)以rad計(jì)),小臂伸長(zhǎng)規(guī)律為s(t)=0.2t2((2)沖(t)以rad計(jì)),手臂繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律(式(式中t)以rad計(jì)),機(jī)器人向右移動(dòng)的規(guī)律是si(t)=0.1t2(式圖19-20①解：(1)選B為動(dòng)點(diǎn)，OA為動(dòng)系，根據(jù)圖19-21(b)的速度和加速度的分析，有：①(2)OB繞定點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)角速度為@,角加速度為α,則：②B點(diǎn)矢徑為：B點(diǎn)的速度和加速度分別為：③③t=1s時(shí)，φ=-30°,根據(jù)圖19-21