數(shù)學(xué)建模案例分析--線性代數(shù)建模案例(20例)

1、線性代數(shù)建模案例匯編目 錄案例一. 交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問題1案例二. 配方問題4案例三. 投入產(chǎn)出問題6案例四. 平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布問題8案例五. CT圖像的代數(shù)重建問題10案例六. 平衡結(jié)構(gòu)的梁受力計算12案例七. 化學(xué)方程式配平問題14案例八. 互付工資問題16案例九. 平衡價格問題18案例十. 電路設(shè)計問題20案例十一. 平面圖形的幾何變換22案例十二. 太空探測器軌道數(shù)據(jù)問題24案例十三. 應(yīng)用矩陣編制Hill密碼25案例十四. 顯示器色彩制式轉(zhuǎn)換問題27案例十五. 人員流動問題29案例十六. 金融公司支付基金的流動31案例十七. 選舉問題33案例十八. 簡單的種群增長問題34案例十九.

2、 一階常系數(shù)線性齊次微分方程組的求解36案例二十. 最值問題38附錄 數(shù)學(xué)實驗報告模板391案例一. 交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問題城市道路網(wǎng)中每條道路、每個交叉路口的車流量調(diào)查，是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實際車流量信息可以設(shè)計流量控制方案，必要時設(shè)置單行線，以免大量車輛長時間擁堵?！灸Ｐ蜏蕚洹?某城市單行線如下圖所示, 其中的數(shù)字表示該路段每小時按箭頭方向行駛的車流量(單位: 輛). 5001234400300100200300x1x2x3x4圖3 某城市單行線車流量(1) 建立確定每條道路流量的線性方程組.(2) 為了唯一確定未知流量, 還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計? (3) 當x

3、4 = 350時, 確定x1, x2, x3的值.(4) 若x4 = 200, 則單行線應(yīng)該如何改動才合理? 【模型假設(shè)】 (1) 每條道路都是單行線. (2) 每個交叉路口進入和離開的車輛數(shù)目相等. 【模型建立】 根據(jù)圖3和上述假設(shè), 在, , , 四個路口進出車輛數(shù)目分別滿足500 = x1 + x2 400 + x1 = x4 + 300 x2 + x3 = 100 + 200 x4 = x3 + 300 【模型求解】根據(jù)上述等式可得如下線性方程組其增廣矩陣(A, b) =由此可得即. 為了唯一確定未知流量, 只要增添x4統(tǒng)計的值即可. 當x4 = 350時, 確定x1 = 250, x

4、2 = 250, x3 = 50.若x4 = 200, 則x1 = 100, x2 = 400, x3 = -100 < 0. 這表明單行線“¬”應(yīng)該改為“®”才合理. 【模型分析】(1) 由(A, b)的行最簡形可見, 上述方程組中的最后一個方程是多余的. 這意味著最后一個方程中的數(shù)據(jù)“300”可以不用統(tǒng)計. (2) 由可得, , , 這就是說x1, x2, x3, x4這四個未知量中, 任意一個未知量的值統(tǒng)計出來之后都可以確定出其他三個未知量的值. Matlab實驗題某城市有下圖所示的交通圖, 每條道路都是單行線, 需要調(diào)查每條道路每小時的車流量. 圖中的數(shù)字表示

5、該條路段的車流數(shù). 如果每個交叉路口進入和離開的車數(shù)相等, 整個圖中進入和離開的車數(shù)相等. 300500150180350160220300100290400150x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12圖4 某城市單行線車流量(1)建立確定每條道路流量的線性方程組. (2)分析哪些流量數(shù)據(jù)是多余的. (3)為了唯一確定未知流量, 需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計. 案例二. 配方問題在化工、醫(yī)藥、日常膳食等方面都經(jīng)常涉及到配方問題. 在不考慮各種成分之間可能發(fā)生某些化學(xué)反應(yīng)時, 配方問題可以用向量和線性方程組來建模. 【模型準備】一種佐料由四種原料A、B、C、D混合而成. 這種佐料

6、現(xiàn)有兩種規(guī)格, 這兩種規(guī)格的佐料中, 四種原料的比例分別為2:3:1:1和1:2:1:2. 現(xiàn)在需要四種原料的比例為4:7:3:5的第三種規(guī)格的佐料. 問: 第三種規(guī)格的佐料能否由前兩種規(guī)格的佐料按一定比例配制而成? 【模型假設(shè)】 (1) 假設(shè)四種原料混合在一起時不發(fā)生化學(xué)變化. (2) 假設(shè)四種原料的比例是按重量計算的. (3) 假設(shè)前兩種規(guī)格的佐料分裝成袋, 比如說第一種規(guī)格的佐料每袋凈重7克(其中A、B、C、D四種原料分別為2克, 3克, 1克, 1克), 第二種規(guī)格的佐料每袋凈重6克(其中A、B、C、D四種原料分別為1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】 根據(jù)已知數(shù)據(jù)和上述假設(shè),

7、 可以進一步假設(shè)將x袋第一種規(guī)格的佐料與y袋第二種規(guī)格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四種原料分別為4克, 7克, 3克, 5克, 則有以下線性方程組 【模型求解】上述線性方程組的增廣矩陣(A, b) =, 可見 又因為第一種規(guī)格的佐料每袋凈重7克, 第二種規(guī)格的佐料每袋凈重6克, 所以第三種規(guī)格的佐料能由前兩種規(guī)格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令a1 = (2, 3, 1, 1)T, a2 = (1, 2, 1, 1)T, b = (4, 7, 5, 3)T, 則原問題等價于“線性方程組Ax = b是否有解”, 也等價于“b能否由a1, a2線性表示

8、”. (2) 若四種原料的比例是按體積計算的, 則還要考慮混合前后體積的關(guān)系(未必是簡單的疊加), 因而最好還是先根據(jù)具體情況將體積比轉(zhuǎn)換為重量比, 然后再按上述方法處理. (3) 上面的模型假設(shè)中的第三個假設(shè)只是起到簡化運算的作用. 如果直接設(shè)x克第一種規(guī)格的佐料與y克第二種規(guī)格的佐料混合得第三種規(guī)格的佐料, 則有下表表1 混合后四種原料的含量原料 佐料規(guī)格ABCD第一種xxxx第二種yyyy第三種(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)因而有如下線性方程組 (*)【模型檢驗】把x = 7, y = 12代入上述方程組(*), 則各等式都成立. 可見模型假設(shè)中的第三個假設(shè)不影

9、響解的正確性. Matlab實驗題蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪是人體每日必須的三種營養(yǎng), 但過量的脂肪攝入不利于健康.人們可以通過適量的運動來消耗多余的脂肪. 設(shè)三種食物(脫脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分鐘消耗蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的量如下表.表2 三種食物的營養(yǎng)成分和慢跑的消耗情況營養(yǎng)每100克食物所含營養(yǎng)(克)慢跑5分鐘消耗量(克)每日需要的營養(yǎng)量(克)牛奶大豆面粉乳清蛋白質(zhì)3651131033碳水化合物5234742045脂肪1071153問怎樣安排飲食和運動才能實現(xiàn)每日的營養(yǎng)需求?案例三. 投入產(chǎn)出問題在研究多個經(jīng)濟部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系時

10、, W. Leontief提出了投入產(chǎn)出模型. 這為經(jīng)濟學(xué)研究提供了強有力的手段. W. Leontief因此獲得了1973年的Nobel經(jīng)濟學(xué)獎. 【模型準備】某地有一座煤礦, 一個發(fā)電廠和一條鐵路. 經(jīng)成本核算, 每生產(chǎn)價值1元錢的煤需消耗0.3元的電; 為了把這1元錢的煤運出去需花費0.2元的運費; 每生產(chǎn)1元的電需0.6元的煤作燃料; 為了運行電廠的輔助設(shè)備需消耗本身0.1元的電, 還需要花費0.1元的運費; 作為鐵路局, 每提供1元運費的運輸需消耗0.5元的煤, 輔助設(shè)備要消耗0.1元的電. 現(xiàn)煤礦接到外地6萬元煤的訂貨, 電廠有10萬元電的外地需求, 問: 煤礦和電廠各生產(chǎn)多少才能

11、滿足需求? 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮價格變動等其他因素. 【模型建立】設(shè)煤礦, 電廠, 鐵路分別產(chǎn)出x元, y元, z元剛好滿足需求. 則有下表表3 消耗與產(chǎn)出情況產(chǎn)出(1元)產(chǎn)出消耗訂單煤電運消耗煤00.60.5x0.6y + 0.5z60000電0.30.10.1y0.3x + 0.1y + 0.1z100000運0.20.10z0.2x + 0.1y0根據(jù)需求, 應(yīng)該有, 即【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令>> A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0;>> x = Ab

12、 Matlab執(zhí)行后得x = 1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835可見煤礦要生產(chǎn)1.9966´105元的煤, 電廠要生產(chǎn)1.8415´105元的電恰好滿足需求. 【模型分析】令x =, A =, b =, 其中x稱為總產(chǎn)值列向量, A稱為消耗系數(shù)矩陣, b稱為最終產(chǎn)品向量, 則Ax =根據(jù)需求, 應(yīng)該有x - Ax = b, 即(E - A)x = b. 故x = (E - A)-1b. Matlab實驗題某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有甲、乙、丙三個企業(yè). 甲企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.25元乙企業(yè)的產(chǎn)品和0.25元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 乙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.65

13、元甲企業(yè)的產(chǎn)品, 0.05元自產(chǎn)的產(chǎn)品和0.05元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 丙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.5元甲企業(yè)的產(chǎn)品和0.1元乙企業(yè)的產(chǎn)品. 在一個生產(chǎn)周期內(nèi), 甲、乙、丙三個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品價值分別為100萬元, 120萬元, 60萬元, 同時各自的固定資產(chǎn)折舊分別為20萬元, 5萬元和5萬元. (1) 求一個生產(chǎn)周期內(nèi)這三個企業(yè)扣除消耗和折舊后的新創(chuàng)價值. (2) 如果這三個企業(yè)接到外來訂單分別為50萬元, 60萬元, 40萬元, 那么他們各生產(chǎn)多少才能滿足需求? 案例四. 平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布問題在熱傳導(dǎo)的研究中, 一個重要的問題是確定一塊平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布. 根據(jù)定律, 只要測定一塊矩形平板

14、四周的溫度就可以確定平板上各點的溫度. 圖8 一塊平板的溫度分布圖【模型準備】如圖9所示的平板代表一條金屬梁的截面. 已知四周8個節(jié)點處的溫度(單位°C), 求中間4個點處的溫度T1, T2, T3, T4. T1T2T3T410080908060506050圖9 一塊平板的溫度分布圖【模型假設(shè)】假設(shè)忽略垂直于該截面方向上的熱傳導(dǎo), 并且每個節(jié)點的溫度等于與它相鄰的四個節(jié)點溫度的平均值. 【模型建立】根據(jù)已知條件和上述假設(shè), 有如下線性方程組【模型求解】將上述線性方程組整理得. 在Matlab命令窗口輸入以下命令>> A = 4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,

15、0,4,-1;0,-1,-1,4; b = 190;140;140;100;>> x = Ab; xMatlab執(zhí)行后得ans = 82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可見T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167. 參考文獻陳懷琛, 高淑萍, 楊威, 工程線性代數(shù), 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. 頁碼: 15-16. Matlab實驗題假定下圖中的平板代表一條金屬梁的截面, 并忽略垂直于該截面方向上的熱傳導(dǎo). 已知平板內(nèi)部有30個節(jié)點, 每個節(jié)點的溫度近似等于與它相鄰的四個節(jié)點溫度

16、的平均值. 設(shè)4條邊界上的溫度分別等于每位同學(xué)學(xué)號的后四位的5倍, 例如學(xué)號為16308209的同學(xué)計算本題時, 選擇Tl = 40, Tu = 10, Tr = 0, Td = 45. TuT1T5TlTlTdT2T6T7T10TrTrTuT26T30TdT27TuTrTdTl圖10 一塊平板的溫度分布圖(1) 建立可以確定平板內(nèi)節(jié)點溫度的線性方程組. (2) 用Matlab軟件求解該線性方程組. (3) 用Matlab中的函數(shù)mesh繪制三維平板溫度分布圖. 12案例五. CT圖像的代數(shù)重建問題X射線透視可以得到3維對象在2維平面上的投影, CT則通過不同角度的X射線得到3維對象的多個2維

17、投影, 并以此重建對象內(nèi)部的3維圖像. 代數(shù)重建方法就是從這些2維投影出發(fā), 通過求解超定線性方程組, 獲得對象內(nèi)部3維圖像的方法. 圖11雙層螺旋CT 圖12 CT圖像這里我們考慮一個更簡單的模型, 從2維圖像的1維投影重建原先的2維圖像. 一個長方形圖像可以用一個橫豎均勻劃分的離散網(wǎng)格來覆蓋, 每個網(wǎng)格對應(yīng)一個像素, 它是該網(wǎng)格上各點像素的均值. 這樣一個圖像就可以用一個矩陣表示,其元素就是圖像在一點的灰度值(黑白圖像). 下面我們以3´3圖像為例來說明. 表4 消耗與產(chǎn)出情況3´3圖像各點的灰度值水平方向上的疊加值x1 = 1x2 = 0x3 = 0x1 + x2 +

18、 x3 = 1x4 = 0x5 = 0.5x6 = 0.5x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5x8 = 0x9 = 1x7 + x8 + x9 = 1.5豎直方向上的疊加值x1 + x4 + x7 = 1.5x2 + x5 + x8 = 0.5x3 + x6 + x9 = 1.5每個網(wǎng)格中的數(shù)字xi代表其灰度值, 范圍在0, 1內(nèi). 0表示白色, 1表示黑色, 0.5表示灰色. 如果我們不知道網(wǎng)格中的數(shù)值, 只知道沿豎直方向和水平方向的疊加值, 為了確定網(wǎng)格中的灰度值, 可以建立線性方程組(含有6個方程, 9個未知數(shù)) 顯然該方程組的解是不唯一的, 為了重建圖像, 必須增加疊加值.

19、 如我們增加從右上方到左下方的疊加值, 則方程組將增加5個方程x1 = 1,x2 + x4 = 0, x3 + x5 + x7 = 1, x6 + x8 = 0.5, x9 = 1, 和上面的6個方程放在一起構(gòu)成一個含有11個方程, 9個未知數(shù)的線性方程組. 【模型準備】設(shè)3´3圖像中第一行3個點的灰度值依次為x1, x2, x3, 第二行3個點的灰度值依次為x4, x5, x6, 第三行3個點的灰度值依次為x7, x8, x9. 沿豎直方向的疊加值依次為1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的疊加值依次為1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的疊加值依次為1, 0, 1, 0.5

20、, 1. 確定x1, x2, , x9的值. 【模型建立】由已知條件可得(含有11個方程, 9個未知數(shù)的)線性方程組【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令>> A = 1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1;>>

21、 b = 1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1;>> x = Ab; xMatlab執(zhí)行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可見上述方程組的解不唯一. 其中的一個特解為x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0.5, x6 = 0.5, x7 = 0.5, x8 = 0, x9 = 1.【模型分析】上述結(jié)果表明, 僅有三個方向

22、上的疊加值還不夠.可以再增加從左上方到右下方的疊加值. 在實際情況下, 由于測量誤差, 上述線性方程組可能是超定的. 這時可以將超定方程組的近似解作為重建的圖像數(shù)據(jù). Matlab實驗題給定一個3´3圖像的2個方向上的灰度疊加值: 沿左上方到右下方的灰度疊加值依次為0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度疊加值依次為0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6. (1) 建立可以確定網(wǎng)格數(shù)據(jù)的線性方程組, 并用Matlab求解. (2) 將網(wǎng)格數(shù)據(jù)乘以256, 再取整, 用Matlab繪制該灰度圖像. 案例六. 平衡結(jié)構(gòu)的梁受力計算在橋梁、房頂、鐵塔

23、等建筑結(jié)構(gòu)中, 涉及到各種各樣的梁. 對這些梁進行受力分析是設(shè)計師、工程師經(jīng)常做的事情. 圖14 埃菲爾鐵塔局部下面以雙桿系統(tǒng)的受力分析為例, 說明如何研究梁上各鉸接點處的受力情況. 【模型準備】在圖15所示的雙桿系統(tǒng)中, 已知桿1重G1 = 200牛頓, 長L1 = 2米, 與水平方向的夾角為q1 = p/6, 桿2重G2 = 100牛頓, 長L2 = 米, 與水平方向的夾角為q2 = p/4. 三個鉸接點A, B, C所在平面垂直于水平面. 求桿1, 桿2在鉸接點處所受到的力.ABC桿1桿2p/6p/4圖15雙桿系統(tǒng)【模型假設(shè)】假設(shè)兩桿都是均勻的. 在鉸接點處的受力情況如圖16所示. 【模

24、型建立】對于桿1:水平方向受到的合力為零, 故N1 = N3, 豎直方向受到的合力為零, 故N2 + N4 = G1, 以點A為支點的合力矩為零, 故(L1sinq1)N3 + (L1cosq1)N4 = (L1cosq1)G1. ABC桿1桿2CN1N2N4N3N7N8N5N6G1G2圖16 兩桿受力情況對于桿2類似地有N5 = N7, N6 = N8 + G2, (L2sinq2)N7 = (L2cosq2)N8 + (L2cosq2)G2.此外還有N3 = N7, N4 = N8. 于是將上述8個等式聯(lián)立起來得到關(guān)于N1, N2, , N8的線性方程組:【模型求解】在Matlab命令窗口

25、輸入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = 1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1;>> b = 0;G1;0.5*L1*co

26、s(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0;>> x = Ab; xMatlab執(zhí)行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962 【模型分析】最后的結(jié)果沒有出現(xiàn)負值, 說明圖16中假設(shè)的各個力的方向與事實一致. 如果結(jié)果中出現(xiàn)負值, 則說明該力的方向與假設(shè)的方向相反. 參考文獻陳懷琛, 高淑萍, 楊威, 工程線性代數(shù), 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. 頁碼: 157- 158. Matlab實驗題有一個平面結(jié)構(gòu)如下所示, 有13條梁(

27、圖中標號的線段)和8個鉸接點(圖中標號的圈)聯(lián)結(jié)在一起. 其中1號鉸接點完全固定, 8號鉸接點豎直方向固定, 并在2號, 5號和6號鉸接點上, 分別有圖示的10噸, 15噸和20噸的負載. 在靜平衡的條件下,任何一個鉸接點上水平和豎直方向受力都是平衡的. 已知每條斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各鉸接點處受力平衡方程構(gòu)成的線性方程組. (2) 用Matlab軟件求解該線性方程組, 確定每條梁受力情況. 圖17 一個平面結(jié)構(gòu)的梁案例七. 化學(xué)方程式配平問題在用化學(xué)方法處理污水過程中, 有時會涉及到復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng). 這些反應(yīng)的化學(xué)方程式是分析計算和工藝設(shè)計的重要依據(jù). 在定性地檢測出

28、反應(yīng)物和生成物之后,可以通過求解線性方程組配平化學(xué)方程式. 【模型準備】某廠廢水中含KCN, 其濃度為650mg/L. 現(xiàn)用氯氧化法處理, 發(fā)生如下反應(yīng): KCN + 2KOH + Cl2 = KOCN + 2KCl + H2O.投入過量液氯, 可將氰酸鹽進一步氧化為氮氣. 請配平下列化學(xué)方程式: KOCN + KOH + Cl2 = CO2 + N2 + KCl + H2O. (注: 題目摘自福建省廈門外國語學(xué)校2008-2009學(xué)年高三第三次月考化學(xué)試卷)【模型建立】設(shè)x1KOCN x2KOH x3Cl2 = x4CO2 x5N2 x6KCl x7H2O,則, 即【模型求解】在Matlab

29、命令窗口輸入以下命令>> A = 1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0;>> x = null(A,r); format rat, xMatlab執(zhí)行后得ans = 1 2 3/2 1 1/2 3 1可見上述齊次線性方程組的通解為x = k(1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T. 取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T. 可見配平后的化學(xué)方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl2

30、= 2CO2 + N2 + 6KCl + 2H2O. 【模型分析】利用線性方程組配平化學(xué)方程式是一種待定系數(shù)法. 關(guān)鍵是根據(jù)化學(xué)方程式兩邊所涉及到的各種元素的量相等的原則列出方程. 所得到的齊次線性方程組Ax = q中所含方程的個數(shù)等于化學(xué)方程式中元素的種數(shù)s, 未知數(shù)的個數(shù)就是化學(xué)方程式中的項數(shù)n. 當r(A) = n -1時, Ax = q的基礎(chǔ)解系中含有1個(線性無關(guān)的)解向量. 這時在通解中取常數(shù)k為各分量分母的最小公倍數(shù)即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍數(shù)為2, 故取k = 2. 當r(A) £ n -2時, Ax = q的基礎(chǔ)解

31、系中含有2個以上的線性無關(guān)的解向量. 這時可以根據(jù)化學(xué)方程式中元素的化合價的上升與下降的情況, 在原線性方程組中添加新的方程.Matlab實驗題配平下列反應(yīng)式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4 K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O Al(OH)3+ CO2+ Na2SO4 案例八. 互付工資問題互付工資問題是多方合作相互提供勞動過程中產(chǎn)生的. 比如農(nóng)忙季節(jié), 多戶農(nóng)民組成互助組, 共同完成各戶的耕、種、收等農(nóng)活. 又如木工, 電工, 油漆工等組成互助組, 共同完成各家的裝潢工作. 由于不同工種

32、的勞動量有所不同, 為了均衡各方的利益, 就要計算互付工資的標準. 【模型準備】現(xiàn)有一個木工, 電工, 油漆工. 相互裝修他們的房子, 他們有如下協(xié)議:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子), (2) 每人的日工資一般的市價在6080元之間, (3) 日工資數(shù)應(yīng)使每人的總收入和總支出相等. 表5 工作天數(shù)在誰家 工人木工電工油漆工木工家216電工家451油漆工家443求每人的日工資. 【模型假設(shè)】假設(shè)每人每天工作時間長度相同. 無論誰在誰家干活都按正常情況工作, 既不偷懶, 也不加班. 【模型建立】設(shè)木工, 電工, 油漆工的日工資分別為x, y, z元, 則由下表表6 各家應(yīng)付工資和各人

33、應(yīng)得收入在誰家 工人木工電工油漆工各家應(yīng)付工資木工家2x1y6z2x + y + 6z 電工家4x5y1z4x + 5y + z油漆工家4x4y3z4x + 4y + 3z各人應(yīng)得收入10x10y10z可得, 即【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令>> A = -8,1,6;4,-5,1;4,4,-7;>> x = null(A,r); format rat, xMatlab執(zhí)行后得ans = 31/36 8/9 1可見上述齊次線性方程組的通解為x = k(31/36, 8/9, 1)T. 因而根據(jù)“每人的日工資一般的市價在6080元之間”可知60 £

34、;k <k < k £ 80, 即 £ k £ 80. 也就是說, 木工, 電工, 油漆工的日工資分別為k元, k元, k元, 其中£ k £ 80. 為了簡便起見, 可取k = 72, 于是木工, 電工, 油漆工的日工資分別為62元, 64元, 72元. 【模型分析】事實上各人都不必付自己工資, 這時各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入如下表7 各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入在誰家 工人木工電工油漆工各家應(yīng)付工資木工家01y6zy + 6z 電工家4x01z4x + z油漆工家4x4y04x + 4y 個人應(yīng)得收入8x5y7z由此可得, 即可見

35、這樣得到的方程組與前面得到的方程組是一樣的. Matlab實驗題甲, 乙, 丙三個農(nóng)民組成互助組, 每人工作6天(包括為自己家干活的天數(shù)), 剛好完成他們?nèi)思业霓r(nóng)活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天數(shù)依次為: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天數(shù)依次為: 1.5, 2, 2.5. 根據(jù)三人干活的種類, 速度和時間, 他們確定三人不必相互支付工資剛好公平. 隨后三人又合作到鄰村幫忙干了2天(各人干活的種類和強度不變), 共獲得工資500元. 問他們應(yīng)該怎樣分配這500元工資才合理? 案例九. 平衡價格問題為了協(xié)調(diào)多個相互依存的行業(yè)的

36、平衡發(fā)展, 有關(guān)部門需要根據(jù)每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配情況確定每個行業(yè)產(chǎn)品的指導(dǎo)價格, 使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都大致相等. 【模型準備】假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)組成, 每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所示: 表7 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購買者煤炭電力鋼鐵00.40.6煤炭0.60.10.2電力0.40.50.2鋼鐵每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例. 求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價格. 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮這個系統(tǒng)與外界的聯(lián)系. 【模型建立】把煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格分別用x1, x2, x3表示, 則, 即. 【模型求解】在Matlab

37、命令窗口輸入以下命令>> A = 1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8;>> x = null(A,r); format short, xMatlab執(zhí)行后得ans = 0.9394 0.8485 1.0000可見上述齊次線性方程組的通解為x = k(0.9394, 0.8485, 1)T. 這就是說, 如果煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格分別0.9394億元, 0.8485億元, 1億元, 那么每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等. 【模型分析】實際上, 一個比較完整的經(jīng)濟系統(tǒng)不可能只涉及三個行業(yè), 因此需要統(tǒng)計更多的行業(yè)間的分配數(shù)

38、據(jù). Matlab實驗題假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、石油、電力、鋼鐵、機械制造、運輸行業(yè)組成, 每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所示: 表8 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購買者煤炭石油電力鋼鐵制造運輸000.20.10.20.2煤炭000.10.10.20.1石油0.50.10.10.20.10.1電力0.40.10.200.10.4鋼鐵00.10.30.600.2制造0.10.70.100.40運輸每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例. 求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價格. 案例十. 電路設(shè)計問題電路是電子元件的神經(jīng)系統(tǒng). 參數(shù)的計算是電路設(shè)計的重要環(huán)節(jié). 其依據(jù)來自兩個方面: 一是客

39、觀需要, 二是物理學(xué)定律. 圖22 USB擴展板【模型準備】假設(shè)圖23中的方框代表某類具有輸入和輸出終端的電路. 用記錄輸入電壓和輸入電流(電壓v以伏特為單位, 電流i以安培為單位), 用記錄輸出電壓和輸入電流. 若= A, 則稱矩陣A為轉(zhuǎn)移矩陣.輸入終端v1輸出終端v2i1i2電路圖23 具有輸入和輸出終端的電子電路圖圖24給出了一個梯形網(wǎng)絡(luò), 左邊的電路稱為串聯(lián)電路, 電阻為R1(單位: 歐姆). 右邊的電路是并聯(lián)電路, 電路R2. 利用歐姆定理和楚列斯基定律, 我們可以得到串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣分別是和v1v2i1i2R1v3i2i3R2串聯(lián)電路 并聯(lián)電路圖24 梯形網(wǎng)絡(luò)設(shè)計一個梯

40、形網(wǎng)絡(luò), 其轉(zhuǎn)移矩陣是.【模型假設(shè)】假設(shè)導(dǎo)線的電阻為零. 【模型建立】設(shè)A1和A2分別是串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣, 則輸入向量x先變換成A1x, 再變換到A2(A1x). 其中A2A1 = 就是圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣. 于是, 原問題轉(zhuǎn)化為求R1, R2的值使得=. 【模型求解】由=可得. 根據(jù)其中的前兩個方程可得R1 = 8, R2 = 2. 把R1 = 8, R2 = 2代入上面的第三個方程確實能使等式成立. 這就是說在圖22中梯形網(wǎng)絡(luò)中取R1 = 8, R2 = 2即為所求. 【模型分析】若要求的轉(zhuǎn)移矩陣改為, 則上面的梯形網(wǎng)絡(luò)無法實現(xiàn). 因為這時對應(yīng)的方程組是. 根據(jù)前兩個方程

41、依然得到R1 = 8, R2 = 2, 但把R1 = 8, R2 = 2代入上第三個方程卻不能使等式成立. 練習(xí)題根據(jù)基爾霍夫回路電路定律(各節(jié)點處流入和流出的電流強度的代數(shù)和為零, 各回路中各支路的電壓降之和為零), 列出下圖所示電路中電流i1, i2, i3所滿足的線性方程組, 并用矩陣形式表示: E1E2R1R2R3R4R5i1i2i3 圖25 簡單的回路案例十一. 平面圖形的幾何變換隨著計算機科學(xué)技術(shù)的發(fā)展, 計算機圖形學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣, 如仿真設(shè)計、效果圖制作、動畫片制作、電子游戲開發(fā)等. 圖形的幾何變換, 包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮等, 是計算機圖形學(xué)中經(jīng)常遇到的問題. 這里暫

42、時只討論平面圖形的幾何變換. 【模型準備】平面圖形的旋轉(zhuǎn)和放縮都很容易用矩陣乘法實現(xiàn), 但是圖形的平移并不是線性運算, 不能直接用矩陣乘法表示. 現(xiàn)在要求用一種方法使平移、旋轉(zhuǎn)、放縮能統(tǒng)一用矩陣乘法來實現(xiàn). 【模型假設(shè)】設(shè)平移變換為(x, y) ® (x+a, y+b)旋轉(zhuǎn)變換(繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)q角度)為(x, y) ® (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq)放縮變換(沿x軸方向放大s倍, 沿y軸方向放大t倍)為 (x, y) ® (sx, ty)【模型求解】R2中的每個點(x, y)可以對應(yīng)于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方

43、1單位的平面上. 我們稱(x, y, 1)是(x, y)的齊次坐標. 在齊次坐標下, 平移變換(x, y) ® (x+a, y+b)可以用齊次坐標寫成(x, y, 1) ® (x+a, y+b, 1).于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 旋轉(zhuǎn)變換(x, y) ® (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq)可以用齊次坐標寫成(x, y, 1) ® (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq, 1).于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 放縮變換 (x, y) ® (sx, ty)可以用齊次坐標寫成(x, y, 1) ®

44、(sx, ty, 1). 于是可以用矩陣乘積=實現(xiàn). 【模型分析】由上述求解可以看出, R2中的任何線性變換都可以用分塊矩陣乘以齊次坐標實現(xiàn), 其中A是2階方陣. 這樣, 只要把平面圖形上點的齊次坐標寫成列向量, 平面圖形的每一次幾何變換, 都可通過左乘一個3階變換矩陣來實現(xiàn). 參考文獻David C. Lay, 線性代數(shù)及其應(yīng)用, 沈復(fù)興, 傅鶯鶯等譯, 北京: 人民郵電出版社, 2009. 頁碼: 139-141. Matlab實驗題在Matlab命令窗口輸入以下命令>>clear all, clc,>>t = 1,3,5,11,13,15*pi/8;>>

45、;x = sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r');>>grid on;>>axis(-2.4, 2.4, -2, 2)運行后得圖25. 圖26 Matlab繪制的圖形(1) 寫出該圖形每個頂點的齊次坐標; (2) 編寫Matlab程序, 先將上面圖形放大0.9倍; 再逆時針旋轉(zhuǎn); 最后進行橫坐標加0.8, 縱坐標減1的圖形平移. 分別繪制上述變換后的圖形. 案例十二. 太空探測器軌道數(shù)據(jù)問題太空航天探測器發(fā)射以后, 可能需要調(diào)整以使探測器處在精確計算的軌道里. 雷達監(jiān)測到一組列向量x1, , xk, 它們給出了不同

46、時刻探測器的實際位置與預(yù)定軌道之間的偏差的信息.圖28 火星探測器【模型準備】令Xk = x1, , xk. 在雷達進行數(shù)據(jù)分析時需要計算出矩陣Gk = XkXkT. 一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 必須計算出新矩陣Gk+1. 因為數(shù)據(jù)向量到達的速度非常快, 隨著k的增加, 直接計算的負擔會越來越重. 現(xiàn)需要給出一個算法, 使得計算Gk的負擔不會因為k的增加而加重. 【模型求解】因為Gk = XkXkT = x1, , xk=, Gk+1 = Xk+1= Xk, xk+1= XkXkT + xk+1= Gk + xk+1, 所以一旦接收到數(shù)據(jù)向量xk+1, 只要計算xk+1, 然后把它與上一步計

47、算得到的Gk 相加即可. 這樣計算Gk的負擔不會因為k的增加而加重. 【模型分析】計算機計算加法的時間與計算乘法的時間相比可以忽略不計. 因此在考慮計算矩陣乘積的負擔時, 只要考察乘法的次數(shù)就可以了. 設(shè)xk的維數(shù)是n, 則Xk = x1, , xk是n´k的矩陣, Gk = XkXkT是n´n的矩陣. 直接計算Gk = XkXkT需要做n2k次乘法. 因而計算的負擔會隨著k的增加而增加. 但是對于每一個k, 計算xk始終只要做n2次乘法. Matlab實驗題用Matlab編寫一個程序用于處理這個問題. 案例十三. 應(yīng)用矩陣編制Hill密碼密碼學(xué)在經(jīng)濟和軍事方面起著極其重要

48、的作用. 現(xiàn)代密碼學(xué)涉及很多高深的數(shù)學(xué)知識. 這里無法展開介紹. 信 源 噪聲信 宿 信 道 攻擊 解 密 請求重傳 加 冗 編 碼 加 密 識 錯 糾 錯 圖29 保密通信的基本模型密碼學(xué)中將信息代碼稱為密碼, 尚未轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息稱為明文, 由密碼表示的信息稱為密文. 從明文到密文的過程稱為加密, 反之為解密. 1929年, 希爾(Hill)通過線性變換對待傳輸信息進行加密處理, 提出了在密碼史上有重要地位的希爾加密算法. 下面我們略去一些實際應(yīng)用中的細節(jié), 只介紹最基本的思想.【模型準備】若要發(fā)出信息action, 現(xiàn)需要利用矩陣乘法給出加密方法和加密后得到的密文, 并給出相應(yīng)的解密

49、方法. 【模型假設(shè)】(1) 假定每個字母都對應(yīng)一個非負整數(shù), 空格和26個英文字母依次對應(yīng)整數(shù)026(見下表). 表9 空格及字母的整數(shù)代碼表空格ABCDEFGHIJKLM012345678910111213NOPQRSTUVWXYZ14151617181920212223242526(2) 假設(shè)將單詞中從左到右, 每3個字母分為一組, 并將對應(yīng)的3個整數(shù)排成3維的行向量, 加密后仍為3維的行向量, 其分量仍為整數(shù). 【模型建立】設(shè)3維向量x為明文, 要選一個矩陣A使密文y = xA, 還要確保接收方能由y準確地解出x. 因此A必須是一個3階可逆矩陣. 這樣就可以由y = xA得x = yA-

50、1. 為了避免小數(shù)引起誤差, 并且確保y也是整數(shù)向量, A和A-1的元素應(yīng)該都是整數(shù). 注意到, 當整數(shù)矩陣A的行列式= ±1時, A-1也是整數(shù)矩陣. 因此原問題轉(zhuǎn)化為 (1) 把action翻譯成兩個行向量: x1, x2. (2) 構(gòu)造一個行列式= ±1的整數(shù)矩陣A(當然不能取A = E).(3) 計算x1A和x2A. (4) 計算A-1. 【模型求解】(1) 由上述假設(shè)可見x1 = (1, 3, 20), x2 = (9, 15, 14). (2) 對3階單位矩陣E =進行幾次適當?shù)某醯茸儞Q(比如把某一行的整數(shù)被加到另一行, 或交換某兩行), 根據(jù)行列式的性質(zhì)可知,

51、 這樣得到的矩陣A的行列式為1或-1. 例如A =, |A| = -1. (3) y1 = x1A = (1, 3, 20)= (67, 44, 43), y2 = Ax2 = (9, 15, 14)= (81, 52, 43). (4) 由(A, E) =可得A-1 =. 這就是說, 接收方收到的密文是67, 44, 43, 81, 52, 43. 要還原成明文, 只要計算(67, 44, 43)A-1和(81, 52, 43)A-1, 再對照表9“翻譯”成單詞即可.【模型分析】如果要發(fā)送一個英文句子, 在不記標點符號的情況下, 我們?nèi)匀豢梢园丫渥?含空格)從左到右每3個字符分為一組(最后不

52、足3個字母時用空格補上). 【模型檢驗】(67, 44, 43) A-1 = (1, 3, 20), (81, 52, 43)A-1 = (9, 15, 14). 參考文獻楊威, 高淑萍, 線性代數(shù)機算與應(yīng)用指導(dǎo), 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社, 2009. 頁碼: 98-102. Matlab實驗題按照上面的加密方法, 設(shè)密文為: 112, 76, 57, 51, 38, 18, 84, 49, 49, 68, 41, 32, 83, 55, 37, 70, 45, 25, 問恢復(fù)為原來的信息是什么? 案例十四. 顯示器色彩制式轉(zhuǎn)換問題彩色顯示器使用紅(R)、綠(G)和藍(B)光的疊成效應(yīng)

53、生成顏色. 顯示器屏幕的內(nèi)表面由微粒象素組成, 每個微粒包括三個熒光點: 紅、綠、藍. 電子槍位于屏幕的后方, 向屏幕上每個點發(fā)射電子束. 計算機從圖形應(yīng)用程序或掃描儀發(fā)出數(shù)字信號到電子槍, 這些信號控制電子槍設(shè)置的電壓強度. 不同 RGB 的強度組合將產(chǎn)生不同的顏色. 電子槍由電磁石幫助瞄準以確?？焖倬_地屏幕刷新. 圖30 彩色顯示器的工作原理顏色模型規(guī)定一些屬性或原色, 將顏色分解成不同屬性的數(shù)字化組合. 這就色彩制式的轉(zhuǎn)換問題.【模型準備】觀察者在屏幕上實際看到的色彩要受色彩制式和屏幕上熒光點數(shù)量的影響. 因此每家計算機屏幕制造商都必須在(R, G, B)數(shù)據(jù)和國際通行的CIE色彩標準

54、之間進行轉(zhuǎn)換, CIE標準使用三原色, 分別稱為X, Y和Z. 針對短余輝熒光點的一類典型轉(zhuǎn)換是=.計算機程序把用CIE數(shù)據(jù)(X, Y, Z)表示的色彩信息流發(fā)送到屏幕. 求屏幕上的電子槍將這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成(R, G, B)數(shù)據(jù)的方程.【模型建立】令A(yù) =, a =, b =, 則Aa = b. 現(xiàn)在要根據(jù)CIE數(shù)據(jù)(X, Y, Z)計算對應(yīng)的(R, G, B)數(shù)據(jù), 就是等式Aa = b中A和b已知, 求a. 如果A是可逆矩陣, 則由Aa = b可得a = A-1b. 【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令>> A = 0.61,0.29,0.15;0.35,0.59,0.063;0.04,0.12,0.787; >> if det(A)=0, 'A不可逆' elseif &