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文檔簡介
孫訓方主編的《材料力學》(第5版)是我國高校力學類專業(yè)廣泛采用的權威教材之一,也被眾多高校(包括科研機構(gòu))指定為考研考博專業(yè)課參考書目。為了幫助參加研究生入學考試指定考研參考書目為孫訓方主編的《材料力學》(第5版)的考生復習專業(yè)課,我們根據(jù)教材和名??佳姓骖}的命題規(guī)律精心編寫了孫訓方《材料力學》(第5版)輔導用書(均提供免費下載,免費升級):1.孫訓方《材料力學》(第5版)筆記和課后習題(含考研真題)詳解[免費下載]2.孫訓方《材料力學》(第5版)(上冊)配套題庫【名校考研真題+課后習題+章節(jié)題庫3.孫訓方《材料力學》(第5版)(下冊)配套題庫【名??佳姓骖}+課后習題+章節(jié)題庫第一部分為名??佳姓骖}及詳解。本部分從指定孫訓方主編的《材料力學》(第5版)為考考研真題既注重對基礎知識的掌握,讓學員具有扎實的專業(yè)基礎;又括教材中未涉及到的知識點)進行詳細闡釋,以使學員不遺漏任何一個重要知識點。第二部分為課后習題及詳解。本部分對孫訓方主編的《材料力學》(第5版)教材每一章的第三部分為章節(jié)題庫及詳解。本部分嚴格按照孫訓方主編的《材料力學》(第5版)教材內(nèi)第四部分為模擬試題及詳解。參照孫訓方主編的《材料力學》(第5版)教材,根據(jù)各高校()提供全國各高校力學類專業(yè)考研考博輔導班【一對一輔導(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書、3D題庫(免費下載,免費升級)、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、力學類國內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖書等。本入學考試指定考研參考書目為孫訓方《材料力學》(第5版)的考生,也可供各大院校學習1.直播答疑:掃碼下載本書手機版,找學友互動學習,看名師直播答疑有學友,可精確查找學友的具體位置,可與學友互動,交流學習(視頻、語音等形式);本2.720度立體旋轉(zhuǎn):好用好玩的全新學習體驗3.質(zhì)量保證:每本e書都經(jīng)過圖書編輯隊伍多次反復修改,年年升級4.手機掃碼即可閱讀,精彩內(nèi)容,輕松分享掃碼即可在手機閱讀,隨處隨學??梢圆挥每蛻舳瞬挥觅~號,簡單方便!5.免費升級:更新并完善內(nèi)容,終身免費升級6.功能強大:記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)知識點串聯(lián)列舉——相同知識點內(nèi)容列表呈現(xiàn),便于讀者記憶和復習,舉一反三,觸(2)劃線添加筆記——使用顏色筆工具,劃一條線,寫筆記,提交糾錯。【獨家推出】(3)答案遮擋先看題后看答案,學習效果好?!惊毤彝瞥觥?4)全文檢索輸入關鍵詞,本書相關內(nèi)容一覽無余。【獨家推出】7.多端并用:電腦手機平板等多平臺同步使用本書一次購買,多端并用,可以在PC端(在線和下載)、手機(安卓和蘋果)、平板(安卓和蘋果)等多平臺同步使用。同一本書,使用不同終端登錄,可實現(xiàn)云同步,即更換不同為您處理!()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學習提供輔導方案【保過班、網(wǎng)授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學習型視頻學習網(wǎng)站,擁有近100種考試(含418個考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語、經(jīng)濟、管理、證券、金融等共16大類),合計近萬小時的面授班、網(wǎng)授如您在購買、使用中有任何疑問,請及時聯(lián)系我們,我們將竭誠為您服務!詳情訪問:http://(理工類)第一部分名校考研真題第10章彎曲問題的進一步研究第11章考慮材料塑性的極限分析第13章壓桿穩(wěn)定問題的進一步研究第14章應變分析、電阻應變計法基礎第15章動荷載、交變應力第16章材料力學性能的進一步研究第二部分課后習題第10章彎曲問題的進一步研究第11章考慮材料塑性的極限分析第12章能量法第15章動荷載、交變應力第16章材料力學性能的進一步研究第三部分章節(jié)題庫第10章彎曲問題的進一步研究第11章考慮材料塑性的極限分析第12章能量法第15章動荷載、交變應力第16章材料力學性能的進一步研究第四部分模擬試題孫訓方《材料力學》(第5版)配套模擬試題及詳解第一部分名校考研真題第10章彎曲問題的進一步研究為彎曲中心,C為截面形心)。它們的變形形式分別為_。[同濟大學2001研]圖10-1【答案】(A)平面彎曲;(B)斜彎曲;(C)平面彎扭組合;(D)斜彎曲和扭轉(zhuǎn);(E)【解析】(A)、(E)兩結(jié)構(gòu)外力(作用線)過彎心,且與形心主慣性軸平行,故為平面彎曲。(C)結(jié)構(gòu)當F從形心向彎心簡化后,得F(過形心),T=Fa(作用于彎心的扭矩),故為Fy同C為平面彎曲與扭轉(zhuǎn)組合,故為斜彎曲與扭轉(zhuǎn)組合。在組合變形情況下,直桿長為1的橫截面上同時存在軸力N(x)、扭矩Mn(x)和彎矩M(x),試寫出組合變形時計算整個桿件總變形能的積分表達式U=。[武漢理工大學2010研]【答案】查看答案二、選擇題某線彈性結(jié)構(gòu)在F?單獨作用下的外力],在F?單獨作用下的外力功W?=國,其中△1和△2為沿相應載荷方向的位移,設在F?和F?共同作用下的外力功為W總,則()。[北京航空航天大學2006研]【答案】B查看答案【解析】F?、F?共同作用時,除了有F?在F?作用點引起的位移,還有F?在F?作用點引起的位移三。此時總的外力功為:三、計算題1.平面剛架如圖12-1所示,剛架各部分截面相同,彎曲剛度是EI。試用能量法求截面A的垂直位移和轉(zhuǎn)角。[北京科技大學2011研]圖12-1解:在已知力作用下,剛架的彎矩圖如圖12-2(a)所示。(1)為求得截面A的垂直位移,故在A點施加豎直向下的單位載荷,在單位載荷作用下剛架的彎矩圖如圖12-2(b)所示。由圖乘法得A點垂直位移:圖12-2(2)為求得截面A的轉(zhuǎn)角,故在A點施加單位彎矩,相對應剛架的彎矩圖如圖12-2(c)2.圖12-3所示平面剛架AB柱受有水平載荷q的作用,BC梁自由端C受有鉛直載荷P的作用,試計算BC梁中點D的鉛直位移δp。[武漢理工大學2010研]圖12-3解:(1)建立如圖12-4所示坐標系,該剛架的彎矩方程為:為求得D截面的鉛垂位移,在D截面施加一豎直向下的單位力,此時剛架的彎矩方程:圖12-42.如圖12-5所示,已知剛架的彎曲剛度為EI,試求支座C的反力并畫出剛架的彎矩圖。[中國礦業(yè)大學2009研]圖12-5解:(1)解除C鉸支座約束,代之以約束反力X,得基本靜定系統(tǒng),如圖12-6(a)所示,圖12-6由變形協(xié)調(diào)條件知B點的鉛垂位移為零,根據(jù)卡(2)彎矩圖如圖12-6(b)所示。解:(1)作剛架彎矩圖或取面A、B沿AB方向的相對線位移圖12-8第13章壓桿穩(wěn)定問題的進一步研究第14章應變分析、電阻應變計法基礎1.圖14-1所示為一直徑為D的圓周,受扭矩Mn及軸向拉力P的作用,欲用電測法確定Mn及P之值,試問最少要貼幾片電阻片且如何布置貼片位置?請寫出扭矩Mn及軸向拉力P學2010研]圖14-1圖14-2(1)軸向拉力P:由剪切胡克定律一可得扭矩Mn:圖14-3圖14-4解:(1)沿橫截面取圖14-4所示單元體,由已知得解:(1)沿橫截面取圖14-4所示單元體,由已知得(2)斜截面=45°上的正應力為(3)將45°、45°代入廣義胡克定律,則E=45°方向的正應變?yōu)榈?5章動荷載、交變應力大學2002年]圖15-1【答案】查看答案其中,在初速度=條件下,相當于物體從高處自由落體;=為靜位移,2.圖15-2所示為一非對稱循環(huán)的交變應力曲線,則交變應力的循環(huán)特性r=,應力幅圖15-2二、選擇題1.重物減速向下運動,則繩內(nèi)動張力Fa()。[中國礦業(yè)大學2009研]A.大于靜張力B.小于靜張力C.等于靜張力D.可能為零圖15-3【答案】A查看答案【解析】重物以減速向下運動時,加速度∈向上,則繩子張力為2.如圖15-4所示,在σa-0m坐標系中(oa為交變應力的幅度,σm為平均應力),C?、C?兩點均位于一條過原點0的直線上,設C、C?兩點對應的兩個應力循環(huán)特征為ri、r2,最大應力分別為omaxI、Omax2,則()。[哈爾濱工業(yè)大學2009年]圖15-4相同,且C?的最大應力比C?的大。1.已知圖15-5所示桿BC的橫截面面積為A,梁AD的慣性矩,桿和梁的彈性模量均為E,重物P自由下落沖擊于梁上的點D,求桿BC的最大動應力。[南京航空航天大學2012研]圖15-5圖15-6D點豎直向下單位力作用下的彎矩圖如圖15-7所示圖15-72.圖15-8所示水平面內(nèi)剛架ABC的各桿均為直徑等于d的實心圓截面桿,材料彈性模量為E,泊松比為μ。重量為W的物體自高度h處自由下落在C點。剛架質(zhì)量不計,略去剪力的影響。試用能量法求截面C的最大豎直位移。[北京航空航天大學2005研]圖15-8圖15-93.一重量為F的物體,以速度v水平?jīng)_擊剛架的C點,如圖15-10所示。試求剛架的最大沖擊應力。已知剛架各個部分的抗彎剛度EI為常量,抗彎截面系數(shù)為W。[西北工業(yè)大學2004研]圖15-10圖15-11解:(1)求剛架中最大靜應力Ost,max將重量為F的物體沿沖擊方向靜載于剛架C點,分別作出剛架C點在F和單位載荷作用下剛架的彎矩圖,分別如圖15-11(a)、(b)所示,知剛架中最大彎矩為Mmax=Fh,故最大(2)在水平方向載荷沖擊作用下的動荷系數(shù):又第16章材料力學性能的進一步研究第二部分課后習題第10章彎曲問題的進一步研究10-1截面為16a號槽鋼的簡支梁,跨長1=4.2m,受集度為q=2kN/m的均布荷載作用。梁放在F=20°韻斜面上,如圖10-1所示。若不考慮扭轉(zhuǎn)的影響,試確定梁危險截面上A點和B點處的彎曲正應力。圖10-1解:查型鋼表得16a槽鋼截面的幾何性質(zhì):將載荷q沿圖10-2中所示坐標軸進行分解,可得與之相對應的最大彎矩值均發(fā)生在梁的跨根據(jù)非對稱純彎曲正應力計算公式,其中慣性積一同,得:10-2圖10-2所示跨長為1=4m的簡支梁,由200mm×200mm×20mm的等邊角鋼制成,在梁跨中點受集中力F=25kN作用。試求最大彎矩截面上A、B和C點處的正應力。圖10-2解:查型鋼表得200mm×200mm×20mm等邊角鋼截面的幾何性質(zhì):梁的最大彎矩發(fā)生在跨中截面上,將力F沿圖10-2中所示坐標軸進行分解,則與之相對應的最大彎矩值:A點坐標:B點坐標:C點坐標:A點的正應力:B點的正應力:C點正應力:負號表示為壓應力。10-3z形截面簡支梁在跨中受一集中力作用,如圖10-3所示。已知該截面對通過截面形心的一對相互垂直的軸y、z的慣性矩和慣性積分別為E=5.75×10?m?、E=1.83×104m?和-三=2.59×10?m?。試求梁的最大彎曲正應力。圖10-3該截面中性軸n-n與y軸之間的夾角θ,且,則由中性軸的位置如圖10-4所示,可能危險點為a、b、c、d四點,根據(jù)對稱性,只需計算a、c圖10-4根據(jù)廣義彎曲正應力公式,有因此,梁的最大正應力發(fā)生在c、d兩點,且10-4由兩種材料制成的矩形截面組合梁如教材圖1-6a所示。在對稱純彎曲時橫截面上的彎矩為M,其中性軸位置由圖中的yn定出,試證明:面面積;截面形心到橫截面底邊的距離;截面對中性軸的慣性矩。y為所求點的坐標。證明令中性軸z到截面底部的距離為。由平面假設知,應變沿梁的截面高度線性變化,即利用拉壓胡克定律知兩種材料在距離中性軸距離為y的截面上正應力分別為:①②③命題(1)得證。(2)將式①代入式③得:④整理可得中性層的曲率:④命題(2)得證。(3)將式④代入式①即可得到彎曲正應力:命題(3)得證。10-5一用鋼板加固的木梁承受集中荷載F=30kN,如圖10-5所示。鋼和木材的彈性模量分別為EE=200GPa及E==10GPa。試求危險截面上鋼和木材部分的最大彎曲正應力。圖10-5解:(1)確定中性軸位置令中性軸z到截面底部的距離為Yn,則:(2)截面幾何性質(zhì)的確定木材和鋼截面對中性軸的慣性矩分別為:(3)計算最大正應力分析木梁,由平衡條件知,且梁中最大彎矩發(fā)生在集中載荷F作用點處,鋼材部分的最大彎矩正應力發(fā)生在截面下邊緣,為拉應力:10-6試判斷圖示各截面的彎曲中心的大致位置。若圖10-6所示橫截面上的剪力Fs指向向圖10-6故圖10-6中所示各截面彎曲中心的大致位置和切應力方向分別如圖10-7所示。圖10-710-7試確定圖10-8所示薄壁截面的彎曲中心A的位置。圖10-8圖10-9解:如圖10-9(a)所示,設上下翼緣的剪力分別為一=、=,由于腹板的壓力很小,忽略不計,合力作用點在A點,則:①率半徑相同,即②二圖10-10解:(1)求腹板上的切應力截面A?對z軸的慣性矩:(2)確定彎曲中心A的位置為使梁不發(fā)生扭轉(zhuǎn),力F作用下應通過彎曲中心A,則根據(jù)靜力學關系知剪力和切應力的合解得彎曲中心A的位置10-9由兩根不同材料的矩形截面×h桿粘結(jié)而成的懸臂梁,如圖10-11所示。兩材料的彈性模量分別為E和E2,且EE>E2。若集中荷載F作用在梁的縱對稱面(即粘合面)內(nèi),試求材料1和2截面上所承受的剪力FE和F三,并確定彎曲中心A的位置。圖10-11解:由平面假設可知,梁兩部分變形曲率日相同,設距離固定端x處截面上,梁的兩部分由此聯(lián)立==,可解得x截面梁兩部分承受的剪力:如圖10-12所示,彎曲中心A距O點的距離為e,則由平衡條件可得:圖10-1210-10圖10-13所示一半徑為的鋼制曲桿,桿的橫截面為圓形,其直徑d=20mm。曲桿橫截面m-m上的彎矩M=-60N·m。試按計算三的精確公式和近似公式分別求出曲桿橫截面m-m上的最大彎曲正應力,并與按直梁正應力公式計算的結(jié)果相比較。圖10-13解:(1)按=的精確公式計算由于橫截面為圓形,則根據(jù)精確計算公式可得中性軸與形心軸之間的距離:分析可知曲桿m-m截面上的最大正應力發(fā)生在曲桿內(nèi)側(cè),且為拉應力,則(2)按的近似公式計算(3)根據(jù)直梁應力公式計算比較(1)、(2)計算結(jié)果可知,按近似公式計算的誤差:比(1)、(3)的計算結(jié)果可知,按直梁公式計算的誤差:第11章考慮材料塑性的極限分析11-1一組合圓筒,承受荷載F,如圖11-1(a)所示。內(nèi)筒材料為低碳鋼,橫截面面積為A1,彈性模量為E1,屈服極限為;外筒材料為鋁合金,橫截面面積為A2,彈性模量為E2,屈服極限為F。假設兩種材料均可理想化為彈性-理想塑性模型,其應力-應變關系如圖11-1(b)所示。試求組合筒的屈服荷載F和極限荷載FE。圖11-1解:(1)求組合筒的屈服載荷由圖11-1(b)可知一=,兩筒的變形量相同,隨著載荷F的增加,內(nèi)筒首先達到屈服狀態(tài),而鋁合金仍處于線彈性狀態(tài),此時二者承受的載荷分別為:又此時,內(nèi)筒和外筒的變形量相同,即有:因此,外筒承受的載荷:(2)求組合筒的極限載荷內(nèi)筒達到屈服極限時,隨著載荷F的繼續(xù)增加,1,內(nèi)筒的應力保持為=不變,外筒鋁合金部分的應力繼續(xù)增大,此時組合筒處于彈塑性狀態(tài)。當外筒的應力也達到屈服極限:=時,該組合筒進入完全塑性狀態(tài),即為極限狀態(tài)。故組合筒的極限載荷:11-2一水平剛性桿AC,A端為固定鉸鏈支承,在B、C處分別與兩根長度1、橫截面面積A和材料均相同的等直桿鉸接,如圖11-2所示。兩桿的材料可理想化為彈性-理想塑性模型,其彈性模量為E、屈服極限為-。若在剛性桿的D處承受集中荷載F,試求結(jié)構(gòu)的屈服荷載F和極限荷載FF。圖11-2圖11-3解:(1)求屈服載荷對剛性桿AC進行受力分析,受力及變形圖如圖11-3所示。當F不大時,結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài),有①②因為兩桿材料相同,所以桿2首先達到屈服極限,此時代入式①得:,故結(jié)構(gòu)的屈服載荷(2)求極限載荷隨著載荷F繼續(xù)增加,,桿2的應力保持=不變,桿1的應力繼續(xù)增大,此時結(jié)構(gòu)處于彈塑性狀態(tài)。當桿1的應力也達到屈服極限三時,該結(jié)構(gòu)進入完全塑性狀態(tài),為11-3剛性梁AB由四根同一材料制成的等直桿1、2、3、4支承,在D點處承受鉛垂荷載F,如圖11-4所示。四桿的橫截面面積均為A,材料可視為彈性一理想塑性,其彈性模量為E、屈服極限為°。試求結(jié)構(gòu)的極限荷載。圖11-4圖11-5解:(1)計算各桿軸力對剛性梁AB進行受力分析,如圖11-5所示。將各式代入式②,并聯(lián)立方程組①可解得各桿軸力:(2)確定極限載荷,故桿3和桿4先達到極限應力,載荷F繼續(xù)增大,桿2應力達到屈服極限時,結(jié)構(gòu)進入完全塑性狀態(tài),即為極限狀態(tài),此時由平衡方程:11-4例題2-1中的三桿鉸接超靜定結(jié)構(gòu),若在荷載達到極限荷載Fs=0.A(1+2cosa)后,卸除荷載,試求中間桿3內(nèi)的殘余應力。解:由教材例題2-1可知,當結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)時,各桿的應力:由題可知,三桿均屈服時,,結(jié)構(gòu)極限載荷:桿3中應力變化值為:桿1,桿2中應力變化值為:可見,所以卸載過程中,結(jié)構(gòu)不發(fā)生反向屈服。故桿3中的殘余應力為卸載時的應力值與卸載過程中應力變化值一三的差,即:11-5等直圓軸的截面形狀分別如圖11-6所示,實心圓軸的直徑d=60mm,空心圓軸的內(nèi)、圖11-6圖11-711-6一半徑為R的等直實心圓軸,材料可視為彈性-理想塑性,如圖11-8所示。在扭轉(zhuǎn)時處于彈性-塑性階段,即橫截面上的扭矩T處于Ts<T<T。試證明彈性區(qū)的半徑為rs=圖11-8證明當,軸在彈性區(qū)一E三內(nèi)任一位置橫截面上的切應力;在理想塑性區(qū)二內(nèi)任一位置橫截面上的切應力國。由合力矩定理知橫截面上的扭矩T為:命題得證。11-7直徑為d的等直圓桿AC,兩端固定,在截面B處承受轉(zhuǎn)矩(扭轉(zhuǎn)外力偶矩)M=,如圖11-9所示。材料可視為彈性-理想塑性,切變模量為G,剪切屈服極限為4=。試求圓桿的屈服轉(zhuǎn)矩和極限轉(zhuǎn)矩。圖11-9解:(1)求圓桿的屈服轉(zhuǎn)矩由于圓桿AC兩端固定,可得變形協(xié)調(diào)方程:②其中,,代入式②,并與式①聯(lián)立可得:(2)求極限轉(zhuǎn)矩11-8試驗證下列截面的塑性彎曲截面系數(shù)與彈性彎曲截面系數(shù)的比值:解:(1)圓形截面的塑性彎曲截面系數(shù):(2)薄壁圓筒橫截面如圖11-10所示的圓環(huán)截面。圖11-10作、乍分別為橫截面的中性軸上、下兩部分面積對中性軸的靜矩(的中性軸為對稱軸,因此一[。取微面積dA,則截面的塑性彎曲截面系數(shù):11-9矩形截面b×h的直梁承受純彎曲,梁材料可視為彈性-理想塑性,彈性模量為E,屈服極限為0。當加載至塑性區(qū)達到h/4的深度(如圖11-11),梁處于彈性-塑性狀態(tài)時,卸除圖11-11解:(1)卸載前梁橫截面上正應力的分布為:解:(1)卸載前梁橫截面上正應力的分布為:(2)由上可知為使梁軸線恢復到直線狀態(tài),需加載的反向外力偶矩:11-10矩形截面簡支梁受載如圖11-12所示。已知梁的截面尺寸為b=60mm,h=120mm;梁圖11-12解:對梁AB進行受力分析,如圖11-13所示。圖11-13由此可繪制梁AB的彎矩圖,如圖11-13所示。由圖可知,梁的最大彎矩發(fā)生在D截面,值11-11受均布荷載作用的簡支梁如圖11限=235MPa。試求梁的極限荷載。圖11-14解:(1)確定截面幾何性質(zhì)先確定中性軸位置:設中性軸到底邊的距離為y,則橫截面中中性軸以上和以下部分的面積*11-12教材圖2-9a所示一端固定、另一端鉸支的超靜定梁,承受均布荷載q。梁材料可視為彈性一理想塑性,已知其極限彎矩為Mu。試證明梁的極限荷載為q==11.66Mu/I2。(提示:除固定端的塑性鉸外,另一塑性鉸的位置與彈性性鉸距固定端為a,可由,求得另一塑性鉸的位置a。)證明在彈性范圍內(nèi)求解超靜定梁,并作彎矩圖。由圖11-15中彎矩圖中,可知梁最大彎矩值發(fā)生在固定端截面處,圖11-15到極限彎矩而出現(xiàn)塑性鉸時,梁達到極限狀態(tài),此時載荷為極限載荷。假設在距離固定端A處,出現(xiàn)塑性鉸C,如圖11-15所示,則:①②將②式對a求導得:聯(lián)立①、②兩式可得:即當?shù)诙€塑性鉸出現(xiàn)在距離固定端處時,整個梁達到極限狀態(tài),此時可得:代入式①得到極限載荷:命題得證。12-1圖12-1所示各桿均由同一種材料制成,材料為線彈性,彈性模量為E。各桿的長度相同。試求各桿的應變能。圖12-1解:(1)整個桿件的應變能:(2)桿上距離下端x處截面上的軸力為:,故桿件的應變能為:12-2拉、壓剛度為EA的等截面直桿,上端固定、下端與剛性支承面之間留有空隙△,在中間截面B處承受軸向力F作用,如圖12-2所示。桿材料為線彈性,當F>時,下端支承面的反力為:于是,力F作用點的鉛垂位移為:從而得外力F所作的功為:而桿的應變能為:結(jié)果,桿的應變能不等于外力所作的功V≠w,試分析其錯誤的原因,并證明V=W。圖12-2解:由于在桿件C截面與下端剛性支撐面接觸前后,B截面位移與力F的線性關系不同,故計算力F做功應分兩個過程:接觸前:軸力,在F?作用下,B端位移故F做功:所以。12-3直徑d?=1.5d?的階梯形軸在其兩端承受扭轉(zhuǎn)外力偶矩M=,如圖12-3所示。軸材料為線彈性,切變模量為G。試求圓軸內(nèi)的應變能。圖12-3解:對該階梯軸進行分段計算應變能再求和,其中,可得:12-4圖12-4所示各結(jié)構(gòu)材料均為線彈性,其彎曲剛度為EI,拉桿的拉伸剛度為EA,不計剪力的影響,試計算結(jié)構(gòu)內(nèi)的應變能。圖12-4解:(1)建立如圖12-5(a)所示的坐標系。由平衡條件求得支反力:(2)建立如圖12-5(b)所示的坐標系,得剛架的彎矩方程:AB段BC段圖12-5(3)對梁ABD進行受力分析,如圖12-5(c)所示,并建立坐標系,由平衡條件可得約束12-5圖12-6所示三角架承受荷載F,AB、AC兩桿的橫截面面積均為A。若已知A點的水平位移△E(向左)和鉛垂位移△-(向下),試按下列情況分別計算三角架的應變能Vz,將(2)若三角架由非線性彈性材料制成,其應力-應變關系為—=(圖b),B為常數(shù),且拉伸圖12-6圖12-7故三角架的應變能用△-、△=表達為:(2)若三角架由非線性彈性材料制成,其應力-應變關系為,可得其應變能密度:兩桿的變形關系不變,可知兩桿各點處的應變?yōu)椋簝蓷U應變能密度分別為:故三角架的應變能:2-6試求習題12-5兩種情況下的余能。解:(1)在線彈性情況下,余能與應變能相等,故:12-7試用卡氏第二定理求習題12-4各分題中截面A的鉛垂位移。解:(1)如圖12-8(a)所示,在截面A處虛設一豎直向下的集中力F,并建立如圖所示圖12-8(2)為求A點鉛垂位移,在A截面處虛設一豎直向下的集中力F,并建立如圖12-8(b)剛架的應變能為:由卡氏第二定理可得截面A的鉛垂位移:(3)由12-4(c)結(jié)果已知結(jié)構(gòu)的應變能:則根據(jù)卡氏第二定理可得截面A的鉛垂位移:12-8彎曲剛度均為EI的各剛架及其承載情況分別如圖12-9所示。材料為線彈性,不計軸力和剪力的影響,試用卡氏第二定理求各剛架截面A的位移和截面B的轉(zhuǎn)角。圖12-9解:(1)由于截面A有豎直方向的約束,故該截面豎直方向上的位移為求截面A的水平位移和轉(zhuǎn)角,在截面A虛設水平方向的力F和外力偶矩MA;同理在B截面虛設一力偶矩MB,分別如圖12-10(a)所示。圖12-10(a)①求截面A水平位移在集中力偶=和力F作用下,剛架的彎矩方程為:AC段②求截面A轉(zhuǎn)角AC段白,(0≤y?≤a)③求截面B轉(zhuǎn)角M和力偶矩MB作用下,剛架的彎矩方程為:在集中力偶MA;同理在B截面虛設一力偶矩MB,分別如圖12-圖12-10(b)AD段DB段②求截面A水平位移AD段④求截面B轉(zhuǎn)角在均布載荷q和力偶MB作用下,剛架的彎矩方程為:根據(jù)卡氏第二定理可得截面B轉(zhuǎn)角:(3)為求得截面A轉(zhuǎn)角,在截面A虛設外力偶矩MA,如圖12-10(c)所示。圖12-10(c)①由于AB桿為軸向壓桿,若略去軸力的影響,剛架AB段不承受橫向力,所以AB段不發(fā)生彎曲變形,故截面A處鉛垂位移同一。②求截面A水平位移根據(jù)卡氏第二定理可得截面A水平位移:③求截面A的轉(zhuǎn)角在集中力F,均布載荷q和力偶MA作用下,剛架的彎矩方程為:④求截面B的轉(zhuǎn)角由于AB桿為軸向壓桿,若略去軸力的影響,剛架AB段不承受橫向力,所以AB段不發(fā)生彎曲變形,故截面B的轉(zhuǎn)角等于截面A的轉(zhuǎn)角,即(逆時針)。12-9彎曲剛度均為EI的各剛架及其承載情況分別如圖12-11所示。材料為線彈性,不計軸力和剪力的影響,試用卡氏第二定理求圖示剛架上點A、B間的相對線位移和C點處兩側(cè)圖12-11解:(1)求鉸C兩側(cè)截面的相對角位移為求得鉸C兩側(cè)截面的相對角位移,在鉸C兩側(cè)虛設一對集中力偶,如圖12-12(a)所示,則剛架的應變能:由卡氏第二定理得鉸C兩側(cè)截面的相對角位移:圖12-12(a)由于結(jié)構(gòu)具有對稱性,故取其左半部分進行分析即可,如圖12-12(b-1)所示。可列剛架彎矩方程:則剛架的應變能:由卡氏第二定理得AB之間的相對水平位移:(b-1)圖12-12②求鉸C兩側(cè)截面的相對角位移在鉸C兩側(cè)施加一對集中力偶,并建立坐標系,如圖12-12(b-2)所示,可列出剛架的彎矩方程:AD段于是剛架的應變能:由卡氏第二定理得鉸C兩側(cè)截面的相對角位移:方向與圖中所施加力偶方向相同。(3)①求AB間相對鉛垂位移如圖12-12(c-1)所示,建立坐標系。由此可列出剛架各段彎矩方程:圖12-12②求AB間相對水平位移為求得AB間相對水平位移,在A、B截面處分別施加一水平力F?,并建立坐標系,如圖DH段:≤編≤2m)12-10由直徑為d的圓桿制成平均半徑為R的開口圓環(huán),在開口處承受一對垂直于圓環(huán)平面的集中力F作用,如圖12-13所示。材料為線彈性,其彈性模量為E、切變模量為G,試用卡氏第二定理求開口圓環(huán)A、B兩點間相應于力F的相對位移。圖12-13解:在題圖中所示載荷作用下,開口圓環(huán)的內(nèi)力方程:彎矩方程:扭矩方程:由此可得該圓環(huán)的應變能:由卡氏第二定理可得到AB間相對位移:12-11矩形截面b×h的簡支梁AB,在C點處承受集中荷載F,如圖12-14所示。梁材料為線彈性,彈性模量為E、切變模量為G,需考慮剪力的影響。試用卡氏第二定理求截面C的撓度。圖12-14圖12-15解:如圖12-15所示,由平衡條件求得支反力,并建立如圖所示坐標系。由此可列出梁各段彎矩方程及剪應力:由上可得該梁考慮剪力影響時的應變能:根據(jù)卡氏第二定理可得到C截面的撓度:12-12彎曲剛度為EI的超靜定梁及其承載情況分別如圖12-16(a)和(b)所示。梁材料為線彈性,不計剪力的影響,試用卡氏第二定理求各梁的支反力。圖12-16解:(1)該結(jié)構(gòu)為一次超靜定梁。解除彈簧支座D處多余約束,代之以約束反力X,可得到如圖12-17(a)所示基本靜定系統(tǒng),建立圖示坐標系。由平衡條件可得到A、B處鉸支座的支反力:由此可得到各段彎矩方程及其偏導數(shù):與原結(jié)構(gòu)相比,可得基本靜定系得變形協(xié)調(diào)條件:其中,由第二卡氏定理得到D點撓度:由此可得各支座約束反力:圖12-17(2)該結(jié)構(gòu)為二次超靜定結(jié)構(gòu)。解除B端約束,代之以約束反力X?、X?,如圖12-17(b)所示,建立圖示坐標系。由此可得梁AB的彎矩方程及其偏導數(shù):由于原結(jié)構(gòu)中B端固定,故可知靜定系統(tǒng)中,B截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為零。①根據(jù)=,由卡氏第二定理可得:整理可得:②根據(jù),由卡氏第二定理可得:整理可得:整理可得:12-13材料為線彈性,拉壓剛度為EA的超靜定桁架及其承載情況如圖12-18所示,試用卡氏第二定理求各桿的軸力。圖12-18圖12-19解:該結(jié)構(gòu)為一次超靜定,解除桿2的約束,代之以約束反力X,得基本靜定系統(tǒng)如圖12-19所示。取節(jié)點G為研究對象,由平衡方程可得各桿的內(nèi)力:于是該桿系的應變能:由變形協(xié)調(diào)條件知G點相應于X的位移為零,根據(jù)卡氏第二定理可得:12-14材料為線彈性,彎曲剛度為EI的各超靜定剛架分別如圖12-20所示,不計軸力和剪力的影響,試用卡氏第二定理求剛架的支反力。圖12-20解:(1)該結(jié)構(gòu)為一次超靜定剛架,解除B端約束,代之以約束反力X,得基本靜定系統(tǒng),如圖12-21(a)所示,建立圖示坐標系。由此可得到各段彎矩方程:DA段(2)該結(jié)構(gòu)為二次超靜定剛架,解除A、B端約束,分別代之以約束反力X?、X?,可得基本靜定系統(tǒng),如圖12-21(b)所示,建立圖示坐標系則①由此可得各段彎矩方程:剛架的應變能:由變形協(xié)調(diào)條件剛架的水平位移為零,根據(jù)卡氏第二定理得:根據(jù)平衡條件可得到剛架各支反力:圖12-21(3)該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu),解除鉸鏈C的約束,代之以約束反力X,由該結(jié)構(gòu)對稱性知分析左半部分即可,得基本靜定系統(tǒng)如圖12-21(c)所示,建立圖示坐標系,由此可列各段彎矩方程及其偏導數(shù):解得:,其中負號表示方向與圖中所示方向相反。逆時針)F=F(←),F=F(←),逆時針)(4)該結(jié)構(gòu)為二次超靜定剛架,解除A端約束,代之以約束反力X?、X?,可得基本靜定系統(tǒng),如圖12-21(d)所示,并建立坐標系,由此可列出各段彎矩方程及其偏導數(shù):12-15材料為線彈性,彎曲剛度為EI,扭轉(zhuǎn)剛度為GI-的各圓截面曲桿及其承載情況分別圖12-22解:(1)為求截面A的位移和轉(zhuǎn)角,在截面A處虛設水平集中力Fx和集中力偶MA。如圖圖12-23(a)①求截面A鉛垂位移②求截面A水平位移根據(jù)卡氏第二定理得到截面A水平位移:③求截面A轉(zhuǎn)角(2)為求截面A的位移和轉(zhuǎn)角,在截面A處虛設水平集中力X?、豎直方向上的集中力X?和集中力偶X3,如圖12-23(b)所示。圖12-23(b)①求截面A水平位移圖12-23②求截面A鉛垂位移在載荷F和虛設載荷X?作用下,任一截面上的彎矩方程及M(O)=FR(1-cosθ)+X?R[cos60°+cos③求截面A轉(zhuǎn)角在載荷F和集中力偶X?作用下的彎矩方程及其偏導數(shù):(3)①求截面A鉛垂位移在原載荷F作用下,根據(jù)卡氏第二定理得到截面A的鉛垂位移:②求截面A水平位移如圖12-23(c-2)所示,為求得截面A水平位移,在A處虛設水平附加力X?,可得此時曲③求截面A在水平面xoy平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為求截面A在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角,如圖12-23(c-3)所示,在截面A處虛設水平面內(nèi)的集中④求截面A在鉛垂面yoz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為求截面A在鉛垂面內(nèi)的轉(zhuǎn)角,如圖12-23(c-4)所示,在截面A處虛設鉛垂面內(nèi)集中力偶X3,由圖可知,曲桿的彎矩方程和扭矩方程及偏導:⑤求截面A在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為求截面A在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角,如圖12-23(c-5)所示,在截面A處虛設集中力偶X4,由根據(jù)卡氏第二定理得到截面A在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角:方向與圖中所虛設力偶X?的方向一致。12-16由四根材料相同、長度均為1、橫截面面積均為A的等直桿組成的平面桁架,在結(jié)點G處受水平力F?和鉛垂力F?作用,如圖12-24所示。已知各桿材料均為線彈性,其彈性模量為E。試按卡氏第一定理求結(jié)點G的水平位移△G和鉛垂位移△Gy。圖12-24圖12-25解:設各桿對應的伸長量分別為,則根據(jù)圖12-25所示的幾何關系可得到各桿伸長量與結(jié)點G位移的關系:①②聯(lián)立①、②兩式解得結(jié)點G的水平位移和鉛垂位12-17由同一材料制成的三桿鉸接成超靜定桁架,并在結(jié)點A承受鉛垂荷載F,如圖12-26且n>1,試用卡氏第一定理計算各桿的軸力。圖12-26點位移F的關系為:根據(jù)式得各桿的應變:據(jù)題已知應力-應變關系可得各桿應變能密度:故該桿系的應變能為:由上式解得A點的位移:*12-18材料為線彈性,彎曲剛度為EI的各梁及其承載情況分別如圖12-27所示,不計剪力的影響,試用單位力法求各梁截面A的撓度和轉(zhuǎn)角,以及截面C的撓度。圖12-27①求截面A的撓度在截面A處施加豎直向下的單位力,梁AB的彎矩方程:②求截面A的轉(zhuǎn)角在截面A處施加逆時針的單位力偶,則梁AB的彎矩方程:③求截面C的撓度在截面C處施加豎直向下的單位力,梁AB的彎矩方程:AC段②求截面A的轉(zhuǎn)角AC段BC段AB段AB段BD段②求截面A的轉(zhuǎn)角:在截面A處施加逆時針的單位力偶,則梁AD的彎矩方程:在截面C處施加豎直向下的單位力,梁AD的彎矩方程:ABAB段*12-19材料為線彈性,拉壓剛度為EA的桿系及其承載情況分別如圖12-28(a)和(b)所圖b:結(jié)點B的水平位移和結(jié)點C的鉛垂位移。圖12-28解:(1)在題圖已知原載荷的作用下,各桿的軸力為:在結(jié)點A、B間施加一對單位力,如圖12-29(a-1)所示。此時,各桿的軸力為:結(jié)點A、B間相對位移由得:②求結(jié)點C、D間相對位移在結(jié)點C、D間施加一對單位力,如圖12-29(a-2)所示。此時,各桿的軸力為:圖12-29①求C點鉛垂位移如圖12-29(b-1)所示,在結(jié)點C處施加豎直向下的單位力,此時各桿軸力:②求B點的水平位移如圖12-29(b-2)所示,在結(jié)點B處施加水平向右的單位力,此時各桿軸力:故結(jié)點B的水平位移:*12-20彎曲剛度為EI,扭轉(zhuǎn)剛度為GIF的圓截面剛架及其承載情況分別如圖12-30所示,圖c:截面C的鉛垂位移和角位移。圖12-30解:(1)在原載荷作用下,折桿各段的彎矩方程:圖12-31①求D截面水平位移如圖12-31(a-1)所示,在D截面施加水平向右的單位力,如圖12-31(a-1)所示,此時折根據(jù)單位力法得到D截面水平位移:②求D截面鉛垂位移如圖12-31(a-2)所示,在D截面施加豎直向下的單位力,此時折桿的彎矩方程為:如圖12-31(a-3)所示,在D截面施加順時針的單位力偶,此時折桿的彎矩方程為:根據(jù)單位力法可得到D截面角位移:(2)建立坐標系如圖12-31(b-1)所示坐標系。桿系的彎矩方程為:(3)建立如圖12-31(3)建立如圖12-31(c-1)所示坐標系。BC段AB段故由單位力法可得C截面鉛垂位移:②求C截面在平行于紙面的平面內(nèi)的角位移如圖12-31(c-2)所示,在C截面施加平行于紙面的單位力偶,可得折桿的彎矩和扭矩方程:段段故C截面在平行于紙面的平面內(nèi)的角位移:負號表示方向與圖中所施加單位力偶的方向相反,為順時針。③求C截面在垂直于紙面的平面內(nèi)的角位移如圖12-31(c-3)所示,在C截面施加垂直于紙面的單位力偶,可得折桿的彎矩和扭矩方程:故C截面在垂直于紙面的平面內(nèi)的角位移:方向與圖中所施加單位力偶的方向相同。12-21試用單位力法求解習題12-15各分題中截面A的水平位移、鉛垂位移及轉(zhuǎn)角。解:(1)如圖12-32(a)所示,在原載荷F作用下,曲桿的彎矩方程:①求A截面的鉛垂位移如圖12-32(a-1)所示,在截面A處施加豎直向下的單位力,則曲桿的彎矩方程:則由單位力法得A截面鉛垂位移:圖12-32如圖12-32(a-2)所示,在截面A處施加水平向右的單位力,則曲桿的彎矩方程:③求A截面的轉(zhuǎn)角如圖12-32(a-3)所示,在截面A處施加順時針的單位力偶,則曲桿的彎矩方程:則由單位力法得A截面轉(zhuǎn)角:(2)如圖12-32(b)所示,在原載荷F作用下,曲桿的彎矩方程:圖12-32如圖12-32(b-1)所示,在截面A處施加水平向左的單位力,則曲桿的彎矩方程:②求A截面的鉛垂位移如圖12-32(b-2)所示,在截面A處施加豎直向上的單位力,則曲桿的彎矩方程:則由單位力法得A截面鉛垂位移:③求A截面的轉(zhuǎn)角如圖12-32(b-3)所示,在截面A處施加順時針的單位力偶,則曲桿的彎矩方程:則由單位力法得A截面的轉(zhuǎn)角:(3)做原圖的俯視投影圖,并以符號F表示力F。可得到在原載荷F作用下曲桿的內(nèi)力方圖12-32①求A截面的鉛垂位移如圖12-32(c-1)所示,在截面A處施加豎直向上的單位力,則曲桿的彎矩方程:則由單位力法得A截面鉛垂位移:②求A截面在豎直平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角如圖12-32(c-2)所示,在垂直于截面A的豎直平面內(nèi)施加單位彎曲力偶,則曲桿的彎矩則由單位力法得該平面內(nèi)A截面轉(zhuǎn)角:方向與圖中所施加力偶的方向一致。③求A截面在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角如圖12-32(c-3)所示,在橫截面A內(nèi)施加扭轉(zhuǎn)單位力偶,則曲桿的彎矩方程:12-22變截面梁及其承載情況分別如圖12-33(a)、(b)所示,梁材料為線彈性,彈性模量為E,不計剪力的影響。試用單位力法求截面B處的撓度和截面A處的轉(zhuǎn)角。圖12-33解:(1)如圖12-33(a)所示,建立如圖坐標系。列梁在F力作用下各段的彎矩方程:圖12-33①求截面B的撓度如圖12-33(a-1)所示,在截面B處施加豎直向下的單位力,在該力作用下,梁彎矩方程:BC段則由單位力法得B截面撓度:②求截面A的轉(zhuǎn)角如圖12-33(a-2)所示,在截面A處施加逆時針的單位力偶,此時梁的彎矩方程:AB段(2)如圖12-33(b)所示,建立如圖坐標系。由于該梁結(jié)構(gòu)和載荷具有對稱性,取梁的左半部分進行分析計算即可,由此可列出梁在F圖12-33如圖12-33(b-1)所示,在截面B處施加豎直向下的單位力,在該力作用下,梁彎矩方程:如圖12-33(b-2)所示,在截面A處施加順時針的單位力偶,此時梁的彎矩方程:*12-23矩形截面b×h的簡支梁AB,上表面溫度為t1,下表面的溫度由t?升高至t?(t?>t1),且從上到下表面的溫度按線性規(guī)律變化(如圖12-34)。設材料的線膨脹系數(shù)為=,試用單位力法求端截面A的轉(zhuǎn)角和跨中截面C的撓度。圖12-34圖12-35①求截面A的轉(zhuǎn)角如圖12-35(a)所示,在截面A處施加順時針的單位力偶,根據(jù)圖中所示坐標系得到此時②求截面C撓度如圖12-35(b)所示,在截面C處施加豎直向下的單位力,根據(jù)梁和載荷的對稱性,并由12-24兩材料和截面b×h均相同的懸臂梁AC和CD,在C處以活動鉸鏈相接,并在梁AC的跨中B處承受鉛垂荷載F,如圖12-36所示。設材料可視為彈性-理想塑性,屈服極限為=。圖12-36解:(1)求解超靜定梁將梁沿鉸鏈C斷開,代之以約束反力X,如圖12-37所示。圖12-37根據(jù)梁的變形,易知AC梁與CD梁在鉸接點C處的位移相等,即有變形協(xié)調(diào)方程一=。(2)由上分析知,梁截面A先形成塑性鉸,除固定端A外,另一截面也形成塑性鉸時,結(jié)分析知截面D彎矩大于B截面彎矩,因此D截面較B先形成塑性鉸,即結(jié)構(gòu)達到極限狀態(tài)第13章壓桿穩(wěn)定問題的進一步研究13-1起重機械中的一部件如圖13-1(a)所示。試問:(1)當求部件的臨界力=時,取圖13-1(b)、(c)中的哪一力學模型較為合理?(3)若「,則按兩種簡圖所得的一:之比為多少?圖13-1解:(1)選取圖13-1(c)所示力學模型較為合理。油缸雖不受壓,但是由于活塞桿受壓彎曲時,力的傳遞可能會導致油缸的失效,從而影響臨界力的大小。(2)當圖13-1(c)中所示壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡,其撓曲線如圖13-2所示,建立如圖13-2所示坐標系,可列出各段彎矩方程。圖13-2各段撓曲線近似微分方程為:對于式③,根據(jù)邊界條件可確定積分常數(shù):①②③④⑤由邊界條件,代入式②可得:⑥將⑦由式⑦解得=的最小非零解,并由可得壓桿的臨界壓力值為:o(3)根據(jù)題意,若1,則代入式⑦可得:解得三最小非零解:故按圖13-1(c)有壓桿的臨界壓力:按圖13-1(b)有壓桿的臨界壓力:13-2一根下端固定、上端自由的細長等直壓桿如圖13-3(a度中央增設旁撐(圖b),使其在該處不能橫移。試求加固后壓桿的歐拉臨界力計算公式,并圖13-3圖13-4解:對于圖13-3(b)在微彎狀態(tài)下保持平衡,其撓曲線由AB、BC兩部分組成,建立坐標系,如圖13-4所示。①②③對于式①,由邊界條件可確定積分常,且有:④,代入各一階導方程中得:,代入各一階導方程中得:該方程的最小非零解:加固前該壓桿的臨界壓力:加固前后臨界力的比值:13-3桿系中AB為細長桿,其彎曲剛度為EI,BD為剛性桿,兩桿在B點處剛性連接,如圖13-5所示。試求桿系在xy平面內(nèi)發(fā)生彈性失穩(wěn)時的臨界力。圖13-5圖13-6解:桿系中當AB處于微彎狀態(tài)時,其撓曲線如圖13-6所示。此時,在臨界力作用下,由平衡方程可得支座反力:建立如圖13-6所示坐標系,可得AB桿的彎矩方程:則其撓曲線近似微分方程為:上式變形為:上式的通解及其一階導:①根據(jù)邊界條件可得:,代入式①中得:即13-4三根直徑及長度均相同的圓截面桿,下端與剛性塊固結(jié),兩側(cè)的兩桿(桿2)上端固定,中間桿(桿1)上端自由,并在該自由端作用有軸向壓力F,如圖13-7(a)所示。各桿微彎后的側(cè)視圖如圖13-7(b)所示。圖13-7示的坐標系及撓曲線形狀列出的下列撓曲線微分方程,特別是其即(2)上兩列微分方程的解分別為為求桿系能在微彎形態(tài)下保持平衡的最小壓力,亦即臨界力將下列五個條件代入以上四式,然后根據(jù)A1、B1、A2、B2、δ不能均為零,亦即撓曲線存在的條件來求F。試分析x=0,(0)=0;x=0,F(O)=0;x=1,=(1解:(1)該分析過程是正確的。根據(jù)圖13-7(b)所示坐標系可得桿1、2的彎矩方程分別為:(2)該分析過程是正確的。①②(3)該分析過程是正確的。將邊界及連續(xù)性條件代入方程②、③,整理后得:④⑤若使一底有非零解,則必須使④、⑤組成的13-5一端固定、另一端自由的大柔度直桿,壓力F以小偏心距e作用于自由端,如圖13-8圖13-8解:(1)當桿受偏心壓力作用而彎曲時,其任一橫截面x處的彎矩:①(2)分析該梁可知,最大彎矩值發(fā)生在梁的固定端截面上,由彎矩方程可得:(3)桿內(nèi)最大正應力發(fā)生在桿的固定端截面上的凹側(cè)邊緣,值為:解:桿在軸向壓力F和橫向力F?的作用下發(fā)生縱橫彎曲。(1)建立如圖13-10所示的坐標系,任意x截面的彎矩:桿的撓曲線微分方程:令,上式可變形為:上述微分方程的通解及其一階導為:由邊界條件確定積分常數(shù):得桿的撓曲線方程:顯然,最大撓度發(fā)生在自由端,即整理上式并解得:(2)最大彎矩發(fā)生在梁的固定端截面上,由彎矩方程可得:其中,將最大撓度值代入可得:(3)桿的最大正應力發(fā)生在固定端截面的凹側(cè)邊緣上,且為壓應力,其值為:與之對應的強度條件:13-7直徑d=200mm的大柔度實心圓截面桿,受力如圖13-11所示。已知F=4.5kN,木材的彈性模量E=10GPa。試求桿的最大正應力。圖13-11解:將作用力分解為沿軸線方向的力T和垂直于軸線方向的力I,由此利用習題13-6的解知桿的最大正應力為壓應力,且:①其中,桿橫截面面積:橫截面的慣性矩:桿的彎曲截面系數(shù):將各數(shù)據(jù)代入式①可得該桿的最大正應力:13-8矩形截面簡支梁,受軸向壓力和橫向力共同作用,如圖13-12所示。已知F?=40kN,F=2kN,b=40mm,h=80mm,E=200GPa。試求梁的最大正應力。圖13-12解:由對稱性可知,梁的最大正應力發(fā)生在梁跨中截面處,且:①其中,梁的最大撓度=根據(jù)疊加原理可得:梁在軸向力梁在軸向力F?單獨作用下,在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時的臨界力=:由力F引起的梁跨中截面的彎矩值為:截面幾何性質(zhì):橫截面面積:橫截面對中性軸z軸的慣性矩:第14章應變分析、電阻應變計法基礎14-1一矩形截面b×h的等直桿,承受軸向拉力F,如圖14-1所示。若在桿受力前,其表面畫有直角∠ABC,桿材料的彈性模量為E、泊松比為v,試求桿受力后,線段BC的變形及圖14-1根據(jù)剪切胡克定律得直角一的改變量:14-2一邊長為10m的正方形平板,變形后各邊仍為直線,其形狀如圖14-2所示。試求平板解:繪制坐標軸=,根據(jù)已知,和三值分別作垂直于軸的的直線再從應變圓上量得,故一=一,方向如圖14-3所示。圖14-3==400×106,F=14-4用45°應變花測得構(gòu)件表面上某點處又因為為。已知桿材料的彈性常數(shù)E=200GPa,v=0.25;圓桿的直徑d=100mm。試求扭轉(zhuǎn)外力偶矩Me。圖14-4解:(1)受扭圓桿橫截面上的最大切應力二其中,根據(jù)剪切胡克定律可得外力偶矩M二根據(jù)題意可知==,故根據(jù)主應變計算公式可得:則外力偶矩:14-6由電阻應變計法測得鋼梁表面上某點處F=500×10?,三=-465×10?,已知:E=210GPa,v=0.33。試求二及一=值。解:鋼梁表面的某點處于平面應力狀態(tài),一|:=,由廣義胡克定律得:聯(lián)立以上兩式得:14-7有一處于平面應力狀態(tài)下的單元體,其上的兩個主應力如圖14-5所示。設E=70GPa,v=0.25。試求單元體的三個主應變,并用應變圓求出其最大切應變口。圖14-5解:根據(jù)題意可知,單元體上的主應力:由廣義胡克定律得,單元體上的三個主應變?yōu)椋豪L制坐標軸,故最大切應變:圖14-614-8一直徑d=20mm的實心鋼圓軸,承受軸向拉力F與扭轉(zhuǎn)力偶矩Me的組合作用,如圖14-7所示。已知軸材料的彈性常數(shù)E=200GPa,v=0.3,并通過45°應變花測得圓軸表面上a點處的線應變?yōu)閍點處的線應變?yōu)椋?2×10,圖14-7解:(1)圓軸上的軸向拉力:(2)受扭圓桿橫截面上的最大切應力o其中,根據(jù)剪切胡克定律t-G/w,可得外力偶矩o綜上可得外力偶矩:14-9在一鋼結(jié)構(gòu)表面的某點處,用45°應變花測得三個方向的線應變?yōu)橛?42×10年,90°=-10×10=。結(jié)構(gòu)材料的彈性常數(shù)E=210GPa,v=0.28。試用應變圓求主應變,并求該點處主應力的數(shù)值及方向。解:繪制坐標軸根據(jù)已知分別作垂直于E軸的直線三、三、三,分別交E軸于點A、B、C。平分AC得圓心O?,在直線「取一=,以O?A?為半徑作應變圓,交8軸于點一=,如圖14-8所示。圖14-814-10在一液壓機上橫梁的表面上某點處,用45°應變花測得三=51.6×10E,一==為鑄鐵,E=110解:繪制坐標軸,根據(jù)已知80,8和8分別作垂直于E軸的直線La、L、L,分別交8軸于點A、B、C。平分AC得圓心O?,在直線La上取AA?=BO?,以O?A?為半徑作應變圓,交ε軸于點D?、D?,如圖14-9所示。圖14-9根據(jù)廣義胡克定律求得主應力:=1000×10°,=-650×106,曰=750×10?,試求該點處沿x,y方向的應變分量,圖14-10解:根據(jù)任意角度的應變計算公式:圖14-11聯(lián)立以上三式,解得該點的應變分量:又由主應變計算公式可得主應變大小:14-12在一液壓機上橫梁的表面上某點處,用60°應變花測得三個方向的線應變?yōu)?0°=28.5×10,60=-2.0×10F,==10.0×10F。已知液壓機材料的彈性常數(shù)E=210GPa,v=0.3。試用應變圓求主應變,并求該點處主應力的數(shù)值及方向。上任一點B作直線BA、BC,與L夾角均為60°,并且分別交La、L于點A、C。分別作線段BA、BC的中垂線,交于點O?,以O?為圓心,以O?A為半徑做應變圓,交E軸于Di、D?兩點,如圖14-11所示。主應力與主應變的方向相同,即二==。第15章動荷載、交變應力15-1用鋼索起吊P=60kN的重物,并在第一秒鐘內(nèi)以等加速上升2.5m。試求鋼索橫截面上圖15-115-2一起重機重P?=5kN,裝在兩根跨度I=4m的20a號工字鋼梁上,用鋼索起吊P?=50kN的重物。該重物在前3s內(nèi)按等加速上升10m。已知[o]=170MPa,不計梁和鋼索的自重,試圖15-2根據(jù)動靜法,重物受慣性力重力P?以及鋼索拉力F三,且梁中最大彎矩發(fā)生在梁跨查型鋼表可知20a工字鋼的彎曲截面系數(shù)故跨中截面上梁的最大正應力為:15-3用繩索起吊鋼筋混凝土管如圖15-3所示。如管子的重量P=10kN,繩索的直徑d=40mm,許用應力[o]=10MPa,試校核突然起吊瞬時繩索的強度。圖15-3圖15-4解:分析吊鉤受力,如圖15-7所示,可知:若緩慢吊起,則一,繩索中的最大應力:若突然吊起,當同時,繩索的應力:故當突然起吊加速度超過重力加速度g時,繩索不滿足強度要求,是不安全的。15-4一桿以角速度w繞鉛垂軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。已知桿長為1,桿的橫截面面積為A,重量為P1。另有一重量為P的重物連接在桿的端點,如圖15-5所示。試求桿的伸長。圖15-5圖15-6桿的受力分析如圖15-6所示。桿上距轉(zhuǎn)動中心x處的軸向慣性力分布集度,由此可得長為F桿的慣性力:15-5調(diào)速器由水平剛性桿AB和彈簧片BC剛性連接而成,并在彈簧片的自由端C裝有重調(diào)速器工作時,以勻角速度繞軸O-0旋轉(zhuǎn),試由彎曲正應力強度求調(diào)速器的許可轉(zhuǎn)速,以圖15-7根據(jù)強度條件此時C點的撓度:15-6圖15-8所示機車車輪以等角速n=300r/min旋轉(zhuǎn),兩輪之間的連桿AB的橫截面為矩連桿AB橫截面上的最大彎曲正應力。圖15-8解:根據(jù)題意可得,車輪轉(zhuǎn)動的角速度:AB桿作平移,當連桿AB運動到最低位置時,慣性力方向向下,梁上的均布載荷q最大,連桿上的最大彎矩發(fā)生在跨中截面上,為:代入數(shù)據(jù)得故連桿AB上最大正應力:15-7圖15-9所示重量為P、長為1的桿件AB,可在鉛垂平面內(nèi)繞A點自由轉(zhuǎn)動。當桿以等角速w繞鉛垂軸y旋轉(zhuǎn)時,試求:(2)桿上離A點為x處橫截面上的彎矩和桿的最大彎矩;圖15-9根據(jù)動靜法,由根據(jù)動靜法,由AB桿的平衡條件:可得即(2)如圖15-10(a)所示,桿上x處截面的彎矩為:綜上,當一時,二(舍去);圖15-10(3)彎矩圖如圖15-10(b)所示。由(2)知,處有彎矩極大值,且根據(jù)彎矩二階導數(shù)為零,求得在處出現(xiàn)拐15-8在直徑d=100mm的軸上,裝有轉(zhuǎn)動慣量Io=0.5kNm.s2的飛輪,軸以300r/min的勻角速度旋轉(zhuǎn),如圖15-11所示。現(xiàn)用制動器使飛輪在4秒內(nèi)停止轉(zhuǎn)動,不計軸的質(zhì)量和軸承圖15-1115-9重量為P=5kN的重物,自高度h=15mm處自由下落,沖擊到外伸梁的C點處,如圖15-12所示。已知梁為20b號工字鋼,其彈性模量E=210GPa,不計梁的自重,試求梁橫截圖15-12截面慣性矩:=,彎曲截面系數(shù):如圖15-12所示,在重物P靜載作用時,C點的撓度:重物P靜載作用時,梁在B截面處有最大彎矩,產(chǎn)生的最大靜應力:15-10圖15-13所示為等截面剛架,重物(重量為P)自高度h處自由下落沖擊到剛架的A點處。已知P=300N,h=50mm,E=200GPa,不計剛架的質(zhì)量,以及軸力、剪力對剛架變形的影響,試求截面A的最大鉛垂位移和剛架內(nèi)的最大圖15-13則重物P自由下落,沖擊動荷因數(shù)為:15-11重量P=2kN的冰塊,以v=1m/s的速度沿水平方向沖擊在木樁的上端,如圖15-14圖15-1415-12長度為1,橫截面面積為A的鋼桿,以速度v=2m/s水平撞擊剛性壁,如圖15-15所示。設鋼的密度p=7.95×103kg/m3,彈性模量E=210GPa。若鋼桿沖擊時產(chǎn)生的橫截面上圖15-15沖擊時,沖擊物的動能轉(zhuǎn)化為變形能,根據(jù)能量守恒一得:15-13長度為F、彎曲剛度為EI的懸臂梁AB,在自由端裝有絞車,將重物P以勻速v下降。當鋼繩下降至長度為時,鋼繩突然被卡住,如圖15-16所示。若鋼繩的彈性模量為E,橫截面面積為A,試求鋼繩橫截面上的動應力。圖15-16解:懸臂梁AB對應端點B撓度的剛度系數(shù);鋼繩的剛度系數(shù)其中,系統(tǒng)動能減少量:;勢能減少量:式中,=為系統(tǒng)總變形引起的重物位移,Ast為重物靜載引起的重物位移重量為P?=15N的物體上,如圖15-17所示。已知彈簧的平均直徑D=40mm,簧桿直徑d=6mm,彈簧有效圈數(shù)n=12,其切變模量G=80GPa。若將沖擊物P和物體P?當作剛體,彈簧圖15-17解:設P撞上P?后,速度為vi,則根據(jù)動量守恒定理有,則:沖擊物P和物體P?的動能變化:15-15一截面為矩形b×8、平均半徑為R的圓環(huán),繞鉛垂軸O-0以等角速度w旋轉(zhuǎn),如圖15-18所示。圓環(huán)材料的密度為p,彈性模量為E,不計軸力和剪力的影響,試求:圖15-18解:(1)根據(jù)圓環(huán)結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性,取圓環(huán)的二分析即可。圖15-19(a)如圖15-19(a)所示,為求得B截面轉(zhuǎn)角,在B截面施加一逆時針的單位力偶,可得彎矩則AB段彎矩方程為:(2)在A、C截面上施加一對反向單位力,如圖15-最大應力最小應力應力比圖15-200015-17圖15-21(a)所示為直徑d=30mm的鋼圓軸,受橫向力F?=0.2kN和軸向拉力F?=5kN的聯(lián)合作用。當軸以勻角速o轉(zhuǎn)動時,試繪出跨中截面上k點處的正應力隨時間變化的曲圖15-21由此可繪制k點正應力隨時間變化的曲線如圖15-22所示。圖15-22圖15-2215-18某裝配車間的吊車梁由22a號工字鋼制成,并在其中段焊上兩塊橫截面為120mm×10mm、長度為2.5m的加強鋼板,如圖15-23所示。吊車每次起吊50kN的重物,在略去吊車及鋼梁的自重時,該吊車梁所承受的交變荷載可簡化為F三=50kN,F三=0。已知焊接段橫截面對中性軸z的慣性矩IF=6574×10-8m?。焊接段采用手工焊接,屬于第3圖15-23解:(1)計算跨中截面危險點的應力幅時,跨中截面下邊緣上有最大拉應力,且:故應力幅MPa。(2)確定許用應力幅查教材表6-1得第三類構(gòu)件:故焊接量的常幅疲勞許用應力幅:綜上,工作應力幅小于許用應力幅,故梁滿足疲勞強度要求。第16章材料力學性能的進一步研究16-1含有長度為2a的I型貫穿裂紋的無限大平板,材料為30CrMnSiNiA,在遠離裂紋處受均勻拉應力σ作用,如圖16-1所示。已知材料的平面應變斷裂韌性=(84MPa)三,裂紋的臨界長度a=8.98mm。試求裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴展時的拉應力σ值。圖16-1解:當裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴展時,裂紋達到臨界長度ac,根據(jù)脆斷判據(jù)有:16-2用矩形截面純彎曲梁來測定材料的平面應變斷裂韌性值時,所用梁的高度為b=90mm,圖16-2第三部分章節(jié)題庫第10章彎曲問題的進一步研究1.如圖10-1所示薄壁截面梁承受分布載荷q的作用,已知粱的長度為1,兩端簡支,支座慮約束扭轉(zhuǎn)的影響)。圖10-1解:(1)求彎曲中心位置在與y軸夾角處θ處,其剪應力為①圖10-2由圖12-4得設彎曲中心在A點處,取O點為力矩中心得則將分布載荷向彎曲中心簡化后,梁承受平面彎曲載荷q所示圖10-3B截面的彎矩為最大拉應力在b點,最大壓應力在b'點B截面的扭矩為最大扭轉(zhuǎn)剪應力發(fā)生在周邊處,在θ=0處沿壁厚的分布及方向如圖10-4所示。圖10-4彎曲剪應力在θ=0處最大,故B截面的最大彎曲剪應力為方向如圖10-5所示,沿壁厚均勻分布圖10-5圖10-6因此B截面剪應力分布如圖10-6所示,最大剪應力為2.試確定如圖10-7所示開口薄壁圓環(huán)截面的剪心位置。圖10-7圖10-8解:如圖10-8所示,剪心E在對稱軸z上,下面確定E與y軸的距離ez。截面對z軸的慣角度為一之間圓弧截面對z軸的靜矩為3.一木梁因承載力不足,在梁的頂部和底部用鋼板加固,如圖10-9(a)所示,鋼板和木材的彈性模量和許用應力分別為E?=210GPa,[σ]?=160MPa,E?=10.5GPa,[o]?=10Mpa。試圖10-9其相當截面見圖(b),對中性軸z的慣性矩為得得4.試確定圖10-10所示各截面的彎曲中心。圖10-10解:圖10-10(a),(b)所示截面均有一個對稱軸z,所以彎曲中心必在截面的對稱軸z因彎曲變形而引起彎曲切應力。且當剪力方向指向下時,切應力流的方向如圖(a),(b)的切向內(nèi)力必然沿著它的中線。兩個矩形上的內(nèi)力相交于它們中線的交點A,于是整個截面的切向內(nèi)力系的合力,亦即截面上的剪力,也必然通過這個交點A,所以這一交點A就是5.圖10-11所示槽形截面梁在xy面內(nèi)產(chǎn)生平面彎曲(這里x代表梁的軸線方向,y代表橫截面的非對稱形心主軸,xy面為梁的非對稱形心主慣性平面)。已知橫截面上剪力為Fs,圖10-11解:(1)求翼緣與腹板上的彎曲切應力。上、下翼緣與腹板上任一點的彎曲切應力均可用公式進行計算,其中S的計算變量不同。對于上下翼緣,為翼緣面積對中性軸的靜矩,變量為中線弧長s,其值為對于腹板,三為腹板面積對中性軸z的靜矩,變量為y,其值為記槽形截面對中性軸z的慣性矩為Iz,由此可得翼緣和腹板上的切應力分別為其方向由切應力流確定,如圖10-11(b)所示。(2)繪制彎曲切應力沿截面中線的分布規(guī)律圖。圖10-126.圖10-13所示外伸梁,承受集中載荷F與矩為Me的力偶作用,且Me=FA,試利用奇異函數(shù)法計算橫截面A的撓度。設彎曲剛度EI為常數(shù)。圖10-13①將上述條件分別代入式①,得積分常數(shù):將所得積分常數(shù)值及x=0代入式①,即得截面A的撓度為7.一圓形薄壁梁,橫截面如圖10-14所示,剪力Fs位于對稱軸y,且方向向上,試畫橫截圖10-14解:(1)問題分析。對稱彎曲時,橫截面上的彎曲切應力分布對稱于截面的縱向?qū)ΨQ軸y,因此,在該對稱軸上各點處,不存在垂直于該軸方向的切應力。由此可見,圓環(huán)形閉口薄壁梁縱向?qū)ΨQ軸上A點處的彎曲切應力為零,其切應力分布與A處開口的圓環(huán)形薄壁梁相同(圖(b)所示)。(2)建立彎曲切應力方程。如圖(a)所示,設中心線上任一點B的位置用極角表示,則該點處的彎曲切應力為②將式②與上式代入式①,于是得(3)計算最大彎曲切應力。根據(jù)式③,得圓環(huán)形薄壁梁的彎曲切應力分布如圖(c)所示。8.圖10-15所示懸壁梁,左半部承受集度為q的均布載荷作用,試利用奇異函數(shù)法建立梁的撓曲線方程。設彎曲剛度EI為常值。圖10-15解:為了利用奇異函數(shù)建立彎矩的通用方程,將作用在梁左半部的均布載荷q,延展至梁的右端C(圖(b)所示),同時,在延展部分施加反向同值均布載荷,于是得彎矩通用方程為將上述條件分別代入式①與②,得積分常數(shù):將所得C與D值代入式②,得撓曲線的通用方程為由此得AB與BC段的撓曲線方程分別為第11章考慮材料塑性的極限分析1.在圖11-1所示靜不定結(jié)構(gòu)中,設三桿的材料相同,橫截面面積同為A。試求使結(jié)構(gòu)開始出現(xiàn)塑性變形的載荷F?、極限載荷Fp。圖11-1①載荷繼續(xù)增加,中間桿的軸力FN?保持為Aos,兩側(cè)桿件仍然是彈性的。直至兩側(cè)的桿件的軸力Fn,也達到Aos,相應的載荷即為極限載荷Fp。這時由節(jié)點的平衡方程知。加載過程中,載荷與點位移的關系已表示2.在純彎曲情況下,計算矩形截面梁和圓截面梁開始出現(xiàn)塑性變形時的彎矩M?和極限彎距Mp。圖11-2矩形截面和圓截
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