第四章 因式分解 綜合檢測

第四章因式分解綜合檢測(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1.(2023廣東佛山北滘?qū)W校期中)下列各式由左到右的變形中，屬于分解因式的是()A.a(m+n)=am+an B.10x2-5x=5x(2x-1)C.6a2b3=2a2b·3b2 D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x2.(2023湖南懷化期中)多項式9a2x2-18a4x3中，各項的公因式是()A.9ax B.9a2x2 C.a2x2 D.9a4x33.(2023貴州貴陽期中)利用因式分解可以簡便計算57×99+44×99-99，下列分解正確的是()A.99×(57+44) B.99×(57+44-1) C.99×(57+44+1) D.99×(57+44-99)4.(2022陜西西安曲江一中期中)下列多項式不能用公式法因式分解的是()A.a2+4a+4 B.a2-a+14 C.-a2-9 D.a25.(2022湖南長沙模擬)將多項式a2-16a進行因式分解的結(jié)果是()A.a(a+4)(a-4) B.(a-4)2 C.a(a-16) D.(a+4)(a-4)6.下列因式分解錯誤的是()A.x2-y2=(x+y)(x-y) B.x2+6x+9=(x+3)2 C.x2+xy=x(x+y) D.x2+y2=(x+y)27.(2023廣東梅州月考)把(a2+1)2-4a2因式分解得()A.(a2+1+4a)2 B.(a2+1-4a)2 C.(a+1)2(a-1)2 D.(a2-1)28.(2023江蘇常州期中)若多項式39x2+5x-14可分解成(ax+2)(13x-b)，則2a-b的值是()A.-1 B.13 C.12 D.-139.如圖，在邊長為6.75cm的正方形紙片上，剪去一個邊長為3.25cm的小正方形，則圖中陰影部分的面積為()A.3.5cm2 B.12.25cm2 C.27cm2 D.35cm210.(2023湖北武漢一中模擬)我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝精研數(shù)學(xué)，著有《詳解九章算法》，對數(shù)和式的運算進行了深入研究與總結(jié)，運用其中的思想方法，可以解決很多數(shù)與式的計算問題.已知a，b為實數(shù)，且a+b=4，ab=2，計算可得a2+b2=12，a3+b3=40，a4+b4=136，……由此求得a5+b5=()A.416 B.436 C.464 D.484二、填空題(每小題4分，共28分)11.(2022江蘇常州中考)分解因式：x2y+xy2=.

12.(2021北京中考)分解因式：5x2-5y2=.

13.ax2-4a與x2-4x+4的公因式是.

14.分解因式：-(a+2)2+16(a-1)2=.

15.已知a2+a=2，則a3+2a2-a+2023=.

16.(2023陜西西安經(jīng)開區(qū)一中第二次月考)分解因式：a2-1+b2-2ab=.

17.(2023福建泉州期末)已知x≠y，若x，y滿足x2-2y=20212，y2-2x=20212，則x2+2xy+y2的值為.

三、解答題(共42分)18.(10分)把下列各式分解因式.(1)8a3b2-12ab3c+6a3b2c； (2)5x(x-y)2+10(y-x)3；(3)(a+b)2-9(a-b)2； (4)-4ax2+8axy-4ay2；(5)(x2+2)2-22(x2+2)+121.19.(8分)回答下列問題.(1)先化簡，再求值：(a-2)(a+2)-a(a-2)，其中a=-1；(2)已知a+b=2，ab=2，求12a320.(6分)232-1可以被10和20之間的某兩個整數(shù)整除，求這兩個數(shù).21.(8分)(1)將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式分解的方法是分組分解法.例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n).①分解因式：ab-2a-2b+4；②若a，b(a>b)都是正整數(shù)且滿足ab-2a-2b-4=0，求2a+b的值；(2)若a，b為實數(shù)且滿足ab-a-b-1=0，整式M=a2+3ab+b2-9a-7b，求整式M的最小值.22.(10分)問題背景：我們學(xué)習(xí)了整式的乘法，兩個多項式相乘，我們可以運用法則將其展開，例如：(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2，將等號的左右兩邊互換，我們可以得到a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)，此時等號的左邊是一個多項式，右邊是幾個整式相乘的形式，這種將一個多項式寫成幾個整式相乘的形式的運算稱為因式分解.問題提出：如何將2a2+3ab+b2進行因式分解呢？問題探究：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題.初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋.例如：我們可以通過表示幾何圖形面積的方法來快速對多項式a2+2ab+b2進行因式分解.如圖1，邊長為(a+b)的大正方形是由1個邊長為a×a的正方形，2個邊長為a×b的長方形，1個邊長為b×b的正方形(a>b)組成的，我們可以用兩種方法表示大正方形的面積，這個圖形的面積可以表示成a2+2ab+b2或(a+b)2，∴a2+2ab+b2=(a+b)2.我們將等號左邊的多項式寫成了右邊兩個整式相乘的形式，從而成功將多項式a2+2ab+b2進行了因式分解.(1)請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義對多項式2a2+3ab+b2進行因式分解.(要求自己構(gòu)圖并寫出推證過程)問題拓展：如何利用圖形幾何意義的方法推導(dǎo)13+23=32？如圖2，A表示1個1×1的正方形，即1×1×1=13，B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即2×2×2=23，而A、B、C、D恰好可以拼成一個(1+2)×(1+2)的大正方形，由此可得13+23=(1+2)2=32.嘗試解決：(2)請你類比上述推導(dǎo)過程，利用圖形幾何意義的方法推導(dǎo)出13+23+33的值.(要求自己構(gòu)造圖形并寫出推證過程)(3)歸納猜想：13+23+33+…+n3=.

第四章因式分解綜合檢測答案全解全析1.BA.該變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；B.符合因式分解的概念，故本選項符合題意；C.該等式左邊不是多項式，故本選項不符合題意；D.該等式右邊不是幾個整式的積的形式，故本選項不符合題意.故選B.2.B∵9，18的最大公約數(shù)為9，共有字母a，x的最低次數(shù)均為2，∴公因式是9a2x2，故選B.3.B原式=57×99+44×99-1×99=99×(57+44-1)，故選B.4.CA.a2+4a+4=(a+2)2，故該選項不符合題意；B.a2-a+14=a?122，故該選項不符合題意；C.-a2-9不能用公式法因式分解，故該選項符合題意5.Ca2-16a=a(a-16).故選C.6.Dx2+2xy+y2=(x+y)2，故D因式分解錯誤，故選D.7.C(a2+1)2-4a2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2.故選C.8.A由題意得(ax+2)(13x-b)=13ax2+(26-ab)x-2b=39x2+5x-14，∴13a=39，2b=14，解得a=3，b=7，∴2a-b=2×3-7=-1，故選A.9.D題圖中陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=6.752-3.252=(6.75+3.25)×(6.75-3.25)=10×3.5=35cm2.故選D.10.C∵a4+b4=136，a+b=4，∴(a4+b4)(a+b)=136×4=544，∴a5+ab4+ba4+b5=544，∴a5+b5=544-ab4-ba4=544-ab(a3+b3)=544-2×40=464，故選C.11.xy(x+y)解析x2y+xy2=xy(x+y)，故答案為xy(x+y).12.5(x+y)(x-y)解析原式=5(x2-y2)=5(x+y)(x-y).故答案為5(x+y)(x-y).13.x-2解析ax2-4a=a(x2-4)=a(x+2)(x-2)，x2-4x+4=(x-2)2，∴所求公因式為x-2.14.3(5a-2)(a-2)解析-(a+2)2+16(a-1)2=[4(a-1)]2-(a+2)2=(4a-4+a+2)(4a-4-a-2)=(5a-2)(3a-6)=3(5a-2)(a-2).15.2025解析a3+2a2-a+2023=a3+a2+a2-a+2023=a(a2+a)+a2-a+2023=2a+a2-a+2023=a2+a+2023=2+2023=2025.16.(a-b+1)(a-b-1)解析a2-1+b2-2ab=(a2+b2-2ab)-1=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).故答案為(a-b+1)(a-b-1).17.4解析x①-②得x2-y2+2x-2y=0，∴(x+y)(x-y)+2(x-y)=0，∴(x-y)(x+y+2)=0，∵x≠y，∴x+y+2=0，即x+y=-2，∴x2+2xy+y2=(x+y)2=4.故答案為4.18.解析(1)原式=2ab2(4a2-6bc+3a2c).(2)原式=5x(y-x)2+10(y-x)3=5(y-x)2[x+2(y-x)]=5(y-x)2(2y-x).(3)原式=[a+b+3(a-b)][a+b-3(a-b)]=(4a-2b)(-2a+4b)=4(2a-b)(2b-a).(4)原式=-4a(x2-2xy+y2)=-4a(x-y)2.(5)原式=(x2+2-11)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2.19.解析(1)(a-2)(a+2)-a(a-2)=(a-2)[(a+2)-a]=2(a-2)=2a-4.當(dāng)a=-1時，原式=2×(-1)-4=-6.(2)12a3b+a2b2+12ab20.解析232-1=(216)2-1=(216+1)(216-1)=(216+1)(28+1)(28-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(24-1)，∵24=16，∴24+1=17，24-1=15，∴232-1能被15和17整除，∴所求的兩個數(shù)為15和17.21.解析(1)①ab-2a-2b+4=a(b-2)-2(b-2)=(b-2)(a-2).②∵ab-2a-2b-4=ab-2a-2b+4-8=0，∴(b-2)(a-2)=8，∵a，b(a>b)都是正整數(shù)，∴a-2>b-2，且a-2，b-2都為整數(shù)，∴a?2=8,解得a=10,b=3或a=6,b=4或a=1,b=?6(不合題意當(dāng)a=10，b=3時，2a+b=2×10+3=20+3=23；當(dāng)a=6，b=4時，2a+b=2×6+4=12+4=16，∴2a+b的值為23或16.(2)由ab-a-b-1=0得ab=a+b+1，∴M=a2+3(a+b+1)+b2-9a-7b=a2+3a+3b+3+b2-9a-7b=(a2-6a+9)+(b2-4b+4)-9-4+3=(a-3)2+(b-2)2-10，∵(a-3)2≥0，(b-2)2≥0，∴整式M的最小值是-10.22.解析(1)如圖所示：∴2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+