全國小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計比賽一等獎數(shù)學(xué)七年級上冊（人教2024年新編）《解一元一次方程實際問題與一元一次方程（第2課時銷售中的盈虧問題）》教學(xué)設(shè)計

5.3實際問題與一元一次方程（第2課時銷售中的盈虧問題）教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教2024版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“一元一次方程”5.3實際問題與一元一次方程第2課時，內(nèi)容包括利用一元一次方程分析與解決“銷售中的盈虧”問題.2.內(nèi)容解析“銷售中的盈虧”問題是實際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性.“增長率問題”“溶液配比問題”等相關(guān)問題均與其具有類似的數(shù)量特征．這類問題的背景和表達都更貼近實際，其中的有些數(shù)量關(guān)系也比較隱蔽．對這一問題的探究可以使學(xué)生進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力.在“銷售中的盈虧”的探究中，解決問題的關(guān)鍵有以下兩點:（1）理解和生活緊密相關(guān)的“成本”“售價”“盈利”“虧損”“利潤率”等相關(guān)概念；（2）“利潤率”“虧損率”都是比值，要找準(zhǔn)這一比值所對應(yīng)的參照量.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：“銷售中的盈虧”問題的探究過程．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解“銷售中的盈虧”問題中的相關(guān)概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系．（2）能適時地利用“一元一次方程”這一工具解決問題（3）經(jīng)歷探究解題的過程，增強探究解決綜合性問題的能力．2.目標(biāo)解析（1）理解問題相關(guān)的“成本”“售價”“盈利”“虧損”“利潤率”等相關(guān)概念；理解“利潤＝售價－成本”“利潤率＝”等數(shù)量關(guān)系．（2）能找解決問題所需的關(guān)鍵量，如“盈利衣服的盈利額”“虧損衣服的虧損額”，并利用一元一次方程將之求出．（3）經(jīng)歷“估算猜想—探究驗證”的問題探究過程，積累探究綜合性問題的經(jīng)驗，增強探究解決綜合性問題的能力．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)，對應(yīng)用一元一次方程解決簡單實際問題具備了一定的基礎(chǔ)，對建立方程模型解決問題的基本過程也有基本的認識．但在這些問題中建立方程的目的就是為求得問題中某一變量的值，所以設(shè)未知數(shù)和列方程的指向性比較明顯．而本課中，以探究問題為代表的系列問題均以“判斷決策”為最終目標(biāo)，沒有明確要求建立方程以及為何建立方程，這一過程中就需要學(xué)生自行分析并發(fā)現(xiàn)影響決策的關(guān)鍵變量，并自覺建立方程來求得．學(xué)生在這種自行選擇探究方向和探究方法的問題中缺乏經(jīng)驗，為幫助學(xué)生克服這一困難，教學(xué)過程中教師應(yīng)加強引領(lǐng)和示范，突出將“判斷決策”的實際問題轉(zhuǎn)化為“比較數(shù)字大小”的數(shù)學(xué)問題的過程，及一元一次方程的工具性.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：在探究過程中適時建立一元一次方程解決問題．四、教學(xué)過程設(shè)計（一）回顧舊知1.商品原價200元，九折出售，售價是180元.2.商品進價是150元，售價是180元，則利潤是30元，利潤率是20%.3.某商品原來每件零售價是a元，現(xiàn)在每件降價10%，降價后每件零售價是0.9a元.4.某種品牌的彩電降價20%以后，每臺售價為a元，則該品牌彩電每臺原價應(yīng)為1.25a元.5.某商品按定價的八折出售，售價是12.8元，則原定售價是16元.師生活動：學(xué)生回顧，組內(nèi)完成后，教師提出思考：（1）以上問題中有哪些量？（2）這些量有何關(guān)系？（二）問題的初探一商店以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？問題1：你估計盈虧情況是怎樣的？（A）盈利．（B）虧損．（C）不盈不虧．師生活動：教師提出問題，學(xué)生通過估算猜想結(jié)論，簡單闡述理由；教師通過學(xué)生回答情況了解學(xué)生對問題的認識情況．【設(shè)計意圖】估算能力是數(shù)學(xué)應(yīng)用過程中的重要能力之一，設(shè)置對結(jié)論的估算環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，并通過學(xué)生的估算了解學(xué)生對銷售問題的認識水平．問題2：銷售的盈虧決定于什么？師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考并回答，得到“總的盈虧決定于總成本和總售價的比較”這一結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“兩件衣服的總成本”，學(xué)生回答過程中，教師適時提問“成本”“售價”等相關(guān)概念，引領(lǐng)學(xué)生熟悉問題情境．【設(shè)計意圖】借助問題引導(dǎo)學(xué)生熟悉并理解問題情境及相關(guān)概念，并引領(lǐng)學(xué)生將“總的是盈利還是虧損”的實際問題轉(zhuǎn)化為“比較總成本與總銷售額大小”的數(shù)學(xué)問題，滲透轉(zhuǎn)化思想．（三）問題的進一步探究問題3：兩件衣服的成本各是多少元？這個結(jié)論與你的猜想一致嗎？解：（1）設(shè)盈利25%的衣服進價是x元，依題意得x＋0.25x＝60.解得x＝48.（2）設(shè)虧損25%的衣服進價是y元，依題意得y－0.25y＝60.解得y＝80.兩件衣服總成本：x+y=48＋80＝128（元）.因為120－128＝－8（元）所以賣這兩件衣服共虧損了8元．師生活動：教師提出問題，學(xué)生自行演算，教師巡視指導(dǎo)．在指導(dǎo)過程中，教師應(yīng)關(guān)注：（1）學(xué)生對“利潤率”和“虧損率”這兩個概念能否正確理解；（2）學(xué)生是否注意在同一問題中出現(xiàn)兩個未知量，應(yīng)設(shè)不同的未知數(shù)表示．學(xué)生演算完成后提示學(xué)生將演算結(jié)論和之前估算的結(jié)論進行比較，并分析原因．在學(xué)生完成之后，選同學(xué)表述解題過程，教師板書并點評．【設(shè)計意圖】教師通過問題2幫助學(xué)生明確了探究方向之后，讓學(xué)生自主探究這一問題，使學(xué)生經(jīng)歷探究過程，尤其是讓學(xué)生體驗“估算猜想—探究驗證”的過程，有助于提高學(xué)生的探究能力．（四）針對訓(xùn)練1.某琴行同時賣出兩臺鋼琴，每臺售價為960元．其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%.這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？答案：這次琴行虧本80元．2.某文具店有兩個進價不同的計算器都賣64元，其中一個盈利60%，另一個虧本20%.這次交易中的盈虧情況？答案：這次交易盈利8元.3.某商品的零售價是900元，為適應(yīng)競爭，商店按零售價打9折(即原價的90%)，并再讓利40元銷售，仍可獲利10%，求該商品的進價．解：設(shè)該商品的進價為每件x元，依題意，得900×0.9－40＝10%x＋x，解得x＝700.答：該商品的進價為700元．師生活動：教師依次給出練習(xí)，學(xué)生自主練習(xí)，教師巡視，選學(xué)生展示解答過程，學(xué)生點評．【設(shè)計意圖】在教師引領(lǐng)完成探究問題之后，依次給出練習(xí)，使學(xué)生在探究問題中獲得的解題經(jīng)驗得以鞏固，并通過應(yīng)用練習(xí)轉(zhuǎn)化為能力．（五）當(dāng)堂鞏固1.某種商品的進貨價為每件a元，零售價為每件90元，若商品按八五折出售，仍可獲利10%，則下列方程正確的是（D）A．85%a=10%×90B．90×85%×10%=aC．85%(90－a)=10%D．(1+10%)a=90×85%2.兩件商品都賣120元，其中一件盈利25%，另一件虧本20%，則兩件商品賣出后（D）A．盈利16元B．虧本16元C．贏利6元D．虧本6元3.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按原定價的七五折出售，將賠25元，而按原定價的九折出售，將賺20元，則這種商品的原價是（C）A．500元B．400元C．300元D．200元4.某商場把進價為1980元的商品按標(biāo)價的八折出售，仍獲利10%，則該商品的標(biāo)價為2725元.5.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品在2019年漲價30%后，2021年又降價70%至a元，則這種藥品在2019年漲價前的價格為元.6.某商品的進價是1000元，售價是1500元，由于銷售情況不好，商店決定降價出售，但又要保證利潤率不低于5%，那么商店最多可打幾折出售此商品？解：設(shè)商店最多可以打x折出售此商品，根據(jù)題意，得．解得x=7.答：商店最多可以打7折出售此商品.【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對銷售問題中“盈利率”等概念的理解情況，以及對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（六）能力提升據(jù)了解個體商店銷售中售價只要高出進價的20%便可盈利，但老板們常以高出進價50%~100%標(biāo)價，假若你準(zhǔn)備買一雙標(biāo)價為600元的運動鞋，應(yīng)在什么范圍內(nèi)還價？解：如下圖：答：應(yīng)在360元～480元內(nèi)還價.【設(shè)計意圖】進一步考查學(xué)生對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（七）感受中考1.（2023?臨沂）大學(xué)生小敏參加暑期實習(xí)活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金.當(dāng)她工作滿20天后因故結(jié)束實習(xí)，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現(xiàn)金.（1）這臺M型平板電腦價值多少元？（2）小敏若工作m天，將上述工資支付標(biāo)準(zhǔn)折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報酬（用含m的代數(shù)式表示）？【解答】解：（1）設(shè)這臺M型平板電腦價值x元，根據(jù)題意得：，解得：x=2100，∴這臺M型平板電腦價值2100元；（2）由（1）知，一臺M型平板電腦價值2100元，∴工作一個月，她應(yīng)獲得的報酬為2100+1500=3600（元），∴若工作m天，她應(yīng)獲得的報酬為（元）.2.（2023?陜西）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元.已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價.【解答】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價是x元，則小筆記本的單價是（x-3）元.∵買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元，∴4x＋6(x-3)=62，解得：x=8；答：該文具店中這種大筆記本的單價為8元.【設(shè)計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受中考考什么，進一步了解考點．（八）課堂小結(jié)教師和學(xué)生共同回顧本節(jié)內(nèi)容，并回答以下問題：1.這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？2.通過學(xué)習(xí)你有哪些收獲？【設(shè)計意圖】通過問題引領(lǐng)學(xué)生梳理探究過程，歸納探究方法．（九）布置作業(yè)P136：練習(xí)：第1題.P141：習(xí)題5.3：第10題.五、教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生進入中學(xué)后代數(shù)知識學(xué)習(xí)的又一次重要跨越．在前面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)、整式的加減和一元一次方程的解法，對數(shù)的認識已經(jīng)由非負數(shù)有理數(shù)擴展到有理數(shù)，知道了用字母可以表示具有一般意義的數(shù)量關(guān)系，掌握了解一元一次方程的一般步驟和基本方法，學(xué)生對代數(shù)知識的學(xué)習(xí)正逐步深入，他們的代數(shù)變形能力正逐步提高．本節(jié)是第三章一元一次方程的最后一節(jié)，是對前面所學(xué)內(nèi)容的綜合運用，也是七上教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的壓軸內(nèi)容．列方程解決實際問題是本節(jié)教學(xué)的重點，也是難點，更是貫穿本章前后的一條主線．在前面討論一元一次方程解法時，也是先給出實際問題，然后通過設(shè)未知數(shù)列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步驟的．本節(jié)是直接運用解一元一次方程的一般步驟與方法解決實際問題．這樣設(shè)計教材，既揭示了學(xué)習(xí)解一元一次方程的必要性，體現(xiàn)了一元一次方程在實際生活中廣泛的應(yīng)用價值，也有利于學(xué)生帶著問題（如何解一元一次方程）來學(xué)習(xí)和探究，使得他們的學(xué)習(xí)方向更明確，階段目標(biāo)更具體，也利于分散難點，便于學(xué)生有層次、有梯度地學(xué)習(xí)．列方程就是通過讀題審題理清和尋找題目中相等的數(shù)量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)將這些相等的數(shù)量關(guān)系表示出來．解一元一次方程就是，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟，將方程向ax=b（a≠0）的方向轉(zhuǎn)化，其中體現(xiàn)了化歸和程序化思想．解方程得到的未知數(shù)的值，是否符合具體問題的實際意義，是我們學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題需要關(guān)注的．這既是實際問題與數(shù)學(xué)問題相互轉(zhuǎn)化過程中需要注意的問題，也有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和品質(zhì)，讓他們能夠從中進一步體會方程的應(yīng)用價值．學(xué)生在小學(xué)階段及前三小節(jié)對列方程解決實際問題雖然有所了解，但是本節(jié)教材所涉及的實際問題的背景和表達都更加貼近實際，數(shù)量關(guān)系有的比較隱蔽，有的比較抽象，有的則更為復(fù)雜，需要學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗理清、理解，經(jīng)歷探究用一元一次方程解決實際問題的基本過程，進而逐步提升他們分析問題、解決問題的能力，有效積累探究、交流、反思等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化化歸和方程模型思想，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力．第五章一元一次方程5.3實際問題與一元一次方程（2）【教學(xué)目標(biāo)】1.經(jīng)歷解決銷售中的盈虧問題的過程，學(xué)習(xí)建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想，發(fā)展抽象能力；2.能建立一元一次方程模型解決實際問題，發(fā)展模型觀念；3.進一步體會一元一次方程的應(yīng)用價值.【教學(xué)重點】建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想.【教學(xué)難點】建立一元一次方程模型解決實際問題基本思想.【教學(xué)過程】 一、情境導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了用一元一次方程的解決配套物品等問題，有些實際問題中的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，需要仔細分析才能列出方程.下面進一步研究幾個問題.本節(jié)課的繼續(xù)學(xué)習(xí)5.3實際問題與一元一次方程（2）（板書課題）二、合作探究活動一：銷售中的盈虧問題探究：銷售中的盈虧問題：一商店以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?學(xué)生活動：先大體估計盈虧，再通過準(zhǔn)確計算檢驗自己的判斷.教師活動：探究1.有同學(xué)可能認為，一件盈利25%，另一件虧損25%，合起來是不盈不虧，怎樣判斷是盈是虧？引導(dǎo)學(xué)生：判斷是盈是虧實際上要看這家商店買進這兩件衣服時共花了多少元.如果總售價大于總進價就盈利，總售價小于總進價就虧損，相等就不盈不虧.可以通過列方程解決問題.教師活動：探究2.假設(shè)一件商品的進價是40元，如果賣出后盈利25%，那么商品利潤是多少？如果賣出后虧損25%，那么商品利潤是多少？師生共同探究用列方程解決問題：設(shè)盈利的那件衣服的進價是元，它的商品利潤就是元.根據(jù)進價與利潤的和等于售價，列得方程.解得.類似地，可以設(shè)另一件衣服的進價為元，它的商品利潤是元，列得方程.解得.兩件衣服的總進價是(元)，而兩件衣服的總售價是(元)，總售價小于總進價，由此可知賣這兩件衣服共虧損8元.總結(jié)提高：列、解方程后得出的結(jié)論與你先前的估計一致嗎?通過對本題的探究，你對方程在實際問題中的應(yīng)用有什么新的認識?活動二：進一步探究用一元一次方程解盈虧問題例1.某商店將某種型號的冰箱按成本加價作為標(biāo)價后，又以標(biāo)價的八五折出售，售價為10200元，問商店出售這種型號的冰箱每臺可以賺多少錢？師生共同按列方程解決實際問題的步驟探究解決問題.學(xué)生寫出解答過程，教師點評，規(guī)范.【示范】解：設(shè)這種型號的冰箱成本價為x元，根據(jù)題意，得，解得：，（元），答：商店出售這種型號的冰箱每臺可以賺200元．例2.一套家具按成本價提高六成標(biāo)價出售，第一周沒有售出，第二周按照標(biāo)價的降低價格售出，售價為6336元．這套家具售出后可以賺多少元？學(xué)生按列方程解決實際問題的步驟探究解決問題.教師點評，指導(dǎo).【示范】解：設(shè)這套家具的成本為元，依題意得：，解得元，∴元．答：這套家具售出后可以賺元．三、強化鞏固1.練習(xí)1、2.部分學(xué)生板演，其余學(xué)生獨立完成，教師評價訂正.2.拓展訓(xùn)練：華為專賣店為了提高銷售服務(wù)品質(zhì)，決定對華為A和華為B兩款手機開展銷售獎勵活動，獎勵辦法從2024年9月30日后執(zhí)行，已知華為專賣店在獎勵辦法出臺前一個月售出華為A和華為B兩款共部，獎勵辦法出臺后的第一個月售出這兩種手機共部，其中華為A和華為B兩款的銷售量分別比獎勵辦法出臺前一個月增長和．（1）在獎勵辦法出臺前一個月，該門店銷售的華為A和華為B兩款各有多少部？