廣東省深圳市南山外國語學校2022-2023學年九年級上學期期中考試數學試卷（解析版）

南山外國語學校（集團）2022—2023學年第一學期期中考試九年級數學試卷一、選擇題（每題3分，共10小題．每題只有一個正確答案，請把正確答案填涂在答題卡上）1.方程的解是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】先把常數移到右邊，再利用開平方的方法解方程即可．【詳解】解：移項得：，開方得：，∴或，故選C．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．2.如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉動轉盤，轉盤停止后，指針落在C區(qū)域的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據概率公式所占部分除以總數即可求得．【詳解】指針落在C區(qū)域的概率是，故選D【點睛】此題考查了概率問題，解題的關鍵是用概率公式求解．3.若且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用分式基本性質得到，然后根據等比性質解決問題．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，故選D．【點睛】本題考查了比例的性質，掌握比例的系數是解題的關鍵．4.如圖，以點為位似中心，把放大2倍得到．下列說法錯誤的是()A. B.C. D.直線經過點【答案】B【解析】【分析】根據位似變換的概念和性質判斷即可．【詳解】解：∵以點為位似中心，把放大2倍得到，∴，，直線經過點，，∴，∴A、C、D選項說法正確，不符合題意；B選項說法錯誤，符合題意．故選：B．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質．掌握位似三角形的性質是解題的關鍵．5.如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（）A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD【答案】D【解析】【分析】易得四邊形ABCD為平行四邊形，再根據矩形的判定∶對角線相等的平行四邊形是矩形即可得出答案．【詳解】解：可添加AC＝BD，∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．故選：D．【點睛】此題主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形．6.用配方法解一元二次方程，此方程可變形為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先把常數項移到方程右邊，再方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，然后整理即可得到答案．【詳解】解：移項得：，配方得：，整理得：，故選A．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，關鍵是要注意解題步驟要準確.．7.下列命題正確的是（）A.如果線段被點C黃金分割，那么與的比叫做黃金比B.對角線相等且垂直的四邊形是正方形C.順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所形成的圖形是菱形D.各邊對應成比例的兩個多邊形相似【答案】C【解析】【分析】根據黃金分割的定義即可判斷A；根據正方形的判定即可判斷B；根據菱形的判定即可判斷C；根據相似多邊形的判定即可判斷D．【詳解】解：A、如果線段被點C黃金分割且，那么與的比叫做黃金比，是假命題，不符合題意B、對角線相等且垂直平分的四邊形是正方形，是假命題，不符合題意；C、順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所形成的圖形是菱形（可以利用三角形中位線證明），是真命題，符合題意；D、各邊對應成比例，對應角相等的兩個多邊形相似，是假命題，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，熟知黃金分割，正方形和菱形的判定，相似多邊形的判定是解題的關鍵．8.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在BC延長線上取一點E，連接OE交CD于點F．已知，，則CF的長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作OGCD交BC于點G，根據平行線分線段成比例定理證明BG＝CG，根據菱形的性質可得OB＝OD，則GO是△BCD的中位線，可求出BG、CG和OG的長，再求出GE的長，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根據相似三角形的對應邊成比例即可求出CF的長．【詳解】解：如圖，作OGCD交BC于點G，∵四邊形ABCD是菱形，且AB＝5，∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，∴，∴BG＝CG＝，∴GO是△BCD的中位線∴GO＝CD＝，GOCD∵CE＝1，∴GE＝CG+CE＝+1＝，∵CFGO，∴∠ECF=∠EGO∵∠E=∠E∴△ECF∽△EGO，∴，∴CF＝，∴CF的長為，故選：D．【點睛】此題考查菱形的性質、平行線分線段成比例定理、三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．9.若關于的方程滿足，稱此方程為“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據“月亮”方程的定義得出，變形為，代入計算即可．【詳解】解：∵方程是“月亮”方程，∴∴，∴故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊都相等的未知數的值是一元二次方程的解．10.如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：①；②連接，，則為直角三角形；③；④若，，則的長為，其中正確結論的個數是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據正方形的性質及HL定理求得Rt△AEB≌Rt△AEG，Rt△AFD≌Rt△AFG，從而求得∠EAB=∠EAG，∠FAD=∠FAG，然后求得2∠EAG+2∠FAG=90°，從而得到，由此判斷①；將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連接MH，MG，NG，由旋轉的性質根據結合SAS定理求得△AHM≌△ANM，得到MN=MH，結合正方形和旋轉的性質求得∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，從而可得MH2=HB2+BM2，然后根據SAS定理求得△ABM≌△AGM，△AND≌△AANG，從而得到BM=GM，DN=GN，從而求得MN2=MG2+NG2，由此判斷②；由垂直可得∠AEG=90°-∠EAG，然后結合①中已證∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°，可得∠ANM=90°-∠EAG，由此得到∠AEG=∠ANM，然后根據AA定理求得三角形形式，由此判斷③；旋轉△ABE到△ADH，由旋轉性質和SAS定理可得得△ABE≌△ADH，△AEF≌△AHF，設CF=a，在Rt△CEF中，根據勾股定理列方程求a，從而求得正方形的邊長，設MN=x，結合②中的結論列方程求x的值，從而判斷④．【詳解】解：如圖中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∵AG⊥EF，∴∠AGE=∠ABC=90°，在Rt△AEB和Rt△AEG中，，∴Rt△AEB≌Rt△AEG，∴∠EAB=∠EAG，同理可證Rt△AFD≌Rt△AFG，∴∠FAD=∠FAG，∴2∠EAG+2∠FAG=90°，∴∠EAG+∠FAG=45°，∴∠EAF=45°，故①正確；如圖②，將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連接MH，MG，NG由旋轉知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45°，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM，∴MN=MH∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45°．由旋轉知：∠ABH=∠ADB=45°，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=MB2+ND2．又∵AB=AG，∠EAB=∠EAG，AM=AM∴△ABM≌△AGM∴BM=GM同理可證：△AND≌△AANG∴DN=GN∴MN2=MG2+NG2即為直角三角形，故②正確；∵AG⊥EF∴∠AEG=90°-∠EAG又∵∠ANM=∠BDA+∠DAF=45°+∠DAF由①可知：∠EAG+∠FAG=∠EAG+∠FAD=45°∴∠ANM=90°-∠EAG∴∠AEG=∠ANM又∵∴，故③正確；如圖3中，旋轉△ABE到△ADH，△ABE≌△ADH∴DH=BE=2，同理②中可證：△AEF≌△AHF，∴FH=EF，設CF=a∴CD=CF+DF=a+3，EF=FH=DF+DH=5，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=a+3∴CE=BC-BE=a+3-2=a+1，在Rt△CEF中，根據勾股定理得，（a+1）2+32=25∴a=3或a=-5（舍），∴CF=3，∴CD=6，∴正方形的邊長為6；由正方形ABCD的邊長為6，∴BD=CD=6，由①可知△MAN=45°，∵AB=AD，∠BAD=90°，由②得BM2+DN2=MN2，設MN=x，∵BD=6，BM=，∴DN=∴解得x=，∴MN=，故④正確故選：A．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題關鍵是學會用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用探究的結論解決新的問題，屬于中考壓軸題．二、填空題（每題3分，共5小題．請把正確答案填寫在答題卡上）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】根據完全平方公式進行因式分解，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了利用公式法分解因式，熟練掌握和運用因式分解的方法是解決本題的關鍵．12.一個不透明的口袋里裝有除顏色外都相同的5個白球和若干個紅球，在不允許將球倒出來數的前提下，小天為了估計其中的紅球數，采用如下方法：先將口袋中的球搖勻，再從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中．不斷重復上述過程．小天共摸了200次，其中有40次摸到白球．因此小天估計口袋中的紅球大約有______．【答案】20【解析】【分析】求出口袋中的球的總數量，即可求解．【詳解】解：根據題意得：口袋中的球大約共有，所以口袋中的紅球大約有個．故答案為：20【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，根據題意求出口袋中的球的總數量是解題的關鍵．13.如圖，AB//GH//CD，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB=2，CD=3，則GH的長為___．【答案】##1.2##【解析】【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，從而得出=，同理可得=，將兩個式子相加，即可求出GH的長．【詳解】∵ABGH，∴△CGH∽△CAB，∴=，即=①，同理=，即=②，①+②，得+=+==1，∴+=1，解得GH=．故答案為．14.對于實數m，n，先定義一種斷運算“”如下：，若，則實數x的值為___．【答案】3【解析】【分析】根據定義，分x≥－2和x＜－2兩種情況進行解方程，得出x的值．【詳解】解：當x≥－2時，x2+x－2=10，解得：x1=3，x2=－4（不合題意，舍去）；當x＜－2時，（－2）2+x－2=10，解得：x=8（不合題意，舍去）；∴x=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了解一元二次方程，體現了分類討論的數學思想，分x≥－2和x＜－2兩種情況進行解方程是解題的關鍵．15.如圖，在中，平分，則______．【答案】【解析】【分析】作出如圖的輔助線，證明，推出，，再證明是垂直平分線，利用勾股定理和面積法求得和，再求得的長，再利用面積法求得，據此求解即可．【詳解】解：在上取點E，使，作于點F，連接交于點G，如圖，∵平分，∴又∵，∴，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵平分，，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵平分，∴點D到和邊上的距離相等，∴，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用面積法解決問題．三、解答題（55分，共7題，其中16題5分，17題6分，18題8分，19題8分，20題8分，21題10分，22題10分．）16.計算：．【答案】【解析】【分析】根據得到，絕對值化簡得到，根據得到，最后根據實數運算法則即可計算結果．【詳解】解：【點睛】本題考查了實數的運算，熟練掌握零指數冪的性質、負整數指數冪的性質、絕對值化簡以及算術平方根是解題關鍵．17.解方程（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小問1詳解】解：移項得：，配方得：，整理得：，開方得：，解得；【小問2詳解】解：∵，∴，∴或，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．18.某學校創(chuàng)辦“耕耘文學社”以來，關注度逐年上升．學校為了了解學生對“耕耘文學社”的關注度，采用了隨機抽樣調查的方式，并根據收集到的信息進行統(tǒng)計，繪制了如圖所示的兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．（其中A表示“關注”；B表示“不關注”；C表示“非常關注”；D表示“關注很少”）．請你根據統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：（1）______；B所在扇形的圓心角的度數為______；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）該校現有學生420名，請估計這420名學生中“非常關注”的學生人數；（4）在一次交流活動中，老師決定從本次調查回答“不關注”的同學中隨機選取2名同學來談談他們的想法，而本次調查回答“不關注”的這些同學中只有一名男同學，請用畫樹狀圖或列表的方法求選取到兩名同學中剛好有這位男同學的概率．【答案】（1），（2）統(tǒng)計圖見解析（3）210人（4）樹狀圖見解析，【解析】【分析】（1）由兩個統(tǒng)計圖知，“非常關注”有30名，占50%，則可求得調查的總人數，用“關注”的人數除以總人數即可求得m的值，用360度乘以“不關注”的人數占比即可求出B所在扇形的圓心角度數；（2）根據（1）所求從而可求得“關注很少”所占的人數，可補充完整條形統(tǒng)計圖（3）用420乘以調查中“非常關注”所占的百分比即是所求的結果；（4）畫出樹狀圖，可得到所有的結果數及剛好有這位男同學的結果數，則可求得此時的概率．【小問1詳解】解：由題意知：“非常關注”有30人，占調查人數50%，則調查的總人數為：人，∴，∴；，∴B所在扇形的圓心角的度數為，故答案為：，；小問2詳解】解：“關注很少”的人數為人，補全的條形統(tǒng)計圖如下：【小問3詳解】解：人，∴估計這420名學生中“非常關注”的學生有210人；【小問4詳解】解：“不關注”的這些同學中有一名男同學和3名女同學，分別用女1、女2、女3表示這3名女生，畫出的樹狀圖如下：則選取到兩名同學中剛好有這位男同學的概率為．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關聯(lián)、樣本估計總體的數量、列表法或樹狀圖求概率等知識，充分利用兩個統(tǒng)計圖中的信息是解題的關鍵，用樣本估計總體是統(tǒng)計思想的體現．19.如圖，在菱形中，，，將一個的的頂點放在點C處，并繞點C旋轉，當與邊交于點M，同時與邊交于點N時．（1）求證：是等邊三角形；（2）當等于多少時，的面積最大，請說明理由．【答案】（1）見解析（2），理由見解析【解析】【分析】(1)連接，利用菱形的性質首先得出是等邊三角形，根據定理，可證得，，據此即可證得結論；(2)根據可得，可得，再根據二次函數的性質，可得當時，的面積最大，據此即可求得．【小問1詳解】證明：如圖：連接，四邊形是菱形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在與中，，，是等邊三角形；【小問2詳解】解：如圖：與相交于點E，過點M作交的延長線于點F，，，，，，，該拋物線的開口向下，當時，的面積最大，當時，的面積最大，此時是等腰三角形，，，，，，，，是等邊三角形，．【點睛】此題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，二次函數的性質，根據題意得出時，的面積最大是解題的關鍵．20.某超市銷售一種襯衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．了擴大銷售、增加盈利，該超市準備適當降價，經過一段時間測算，發(fā)現每件襯衫每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使該襯衫每天銷售獲利為1200元，問每件襯衫應降價多少元？（2）小明的觀點是：“商場每天的盈利可以達到1300元”，你同意小明的說法嗎？若同意，請求出每件襯衫應降價多少元？若不同意，請說明理由．【答案】（1）每件襯衫應降價10元（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）設每件襯衫應降價x元，然后根據利潤單價盈利數量列出方程求解即可；（2）假設能獲得，同（1）根據題意列出方程求解即可．【小問1詳解】解：設每件襯衫應降價x元，則每件襯衫盈利元，每天可以售出件．由題意，得，即，解得，．∵每件盈利不少于25元，∴∴商場若想平均每天盈利1200元，每件襯衫應降價10元．【小問2詳解】解：不能．理由如下：假設能獲得，由題意得．整理，得．，∴方程無實數根，故不能．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，理解題意，列出相應方程求解是解題關鍵．21.如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點，，交于點，．（1）求證：；（2）求證：；（3）的值等于______．（直接寫出結果，無需解答過程）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據相似三角形的判定即可求出答案；（2）由相似三角形的性質即可知道AB=2FD，由于AB=AD，所以AD=2FD，從而可知DF=AF；（3）作△ABC的中線AG，交BF于點M，得點M是△ABC的重心，得到BM=2FM，再證△FMA≌△FED，得MF=EF，最后得出結論；【小問1詳解】證明：∵DE是BC垂直平分線，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵AB=AD，∴∠ABC=∠ADB，∴△FDB∽△ABC；【小問2詳解】∵△FDB∽△ABC，∴∴AB=2FD，∵AB=AD，∴AD=2FD，∴DF=AF．【小問3詳解】如圖，作△ABC的中線AG，交BF于點M，∵AF=FD，BG=GD，∴點M是△ABC的重心，∴BM=2FM，∵AB=AD，BG=GD，∴AG⊥DE，∵DE是BC的垂直平分線，∴DE⊥BC，∴AG∥DE，∴∠FMA=∠FED，∠FAM=∠FDE，∵AF=DF，∴△FMA≌△FED（AAS），∴MF=EF，∴【點睛】本題考查相似三角形的性質及判定、全等三角形的性質及判定、三角形的重心性質、等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定及性質，本題綜合程度較高．22.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延長線交BA的延長線于點G，CE的延長線交DA的延長線于點H，連接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）線段AC，AG，AH什么關系