數(shù)列常見(jiàn)題型總結(jié)計(jì)劃經(jīng)典超級(jí)經(jīng)典

一、數(shù)列的定義與性質(zhì)1.數(shù)列的定義：數(shù)列是由一系列按照一定順序排列的數(shù)構(gòu)成的序列。2.數(shù)列的性質(zhì)：〔1〕有限數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是有限的?！?〕無(wú)限數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的?！?〕嚴(yán)格遞增數(shù)列：數(shù)列中的每一項(xiàng)都小于它后面的項(xiàng)?！?〕嚴(yán)格遞減數(shù)列：數(shù)列中的每一項(xiàng)都大于它后面的項(xiàng)?！?〕等差數(shù)列：數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差是常數(shù)。〔6〕等比數(shù)列：數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的比是常數(shù)。二、數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式1.數(shù)列的通項(xiàng)公式：數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系式。2.數(shù)列的求和公式：數(shù)列前n項(xiàng)的和與序號(hào)n之間的關(guān)系式。〔1〕等差數(shù)列的求和公式：$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$〔2〕等比數(shù)列的求和公式：$S_n=\frac{a_1(1qn)}{1q}$三、數(shù)列的常見(jiàn)題型及解題方法1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔1〕等差數(shù)列：前幾項(xiàng)或公差，求通項(xiàng)公式?！?〕等比數(shù)列：前幾項(xiàng)或公比，求通項(xiàng)公式?！?〕其他數(shù)列：根據(jù)題意，找出數(shù)列的規(guī)律，求通項(xiàng)公式。2.求數(shù)列的前n項(xiàng)和〔1〕等差數(shù)列：利用求和公式求解?！?〕等比數(shù)列：利用求和公式求解。〔3〕其他數(shù)列：根據(jù)題意，找出數(shù)列的規(guī)律，求和。3.數(shù)列的單調(diào)性〔1〕判斷數(shù)列的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減?！?〕證明數(shù)列的單調(diào)性。4.數(shù)列的周期性〔1〕判斷數(shù)列的周期性。〔2〕求數(shù)列的周期。5.數(shù)列的極限〔1〕求數(shù)列的極限。〔2〕判斷數(shù)列的收斂性。6.數(shù)列的錯(cuò)位相減法〔1〕應(yīng)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和?！?〕證明錯(cuò)位相減法的正確性。四、經(jīng)典題目解析1.題目：數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=2,a_6=10$，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知$a_6=a_1+5d$，代入條件，解得$d=2$，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式$a_n=2n$。2.題目：數(shù)列$\{b_n\}$是等比數(shù)列，且$b_1=2,b_3=8$，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知$b_3=b_1\cdotq2$，代入條件，解得$q=2$，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式$b_n=2n$。3.題目：判斷數(shù)列$\{c_n\}$的單調(diào)性，其中$c_n=\frac{n+1}{n}$。解析：求出數(shù)列的導(dǎo)數(shù)$c_n'=\frac{1}{n2}$，由于$c_n'>0$，故數(shù)列$\{c_n\}$單調(diào)遞增。一、數(shù)列的分類(lèi)及特點(diǎn)1.數(shù)列的分類(lèi)：〔1〕整數(shù)數(shù)列：數(shù)列中的所有項(xiàng)都是整數(shù)。〔2〕分?jǐn)?shù)數(shù)列：數(shù)列中的所有項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)?！?〕小數(shù)數(shù)列：數(shù)列中的所有項(xiàng)都是小數(shù)。2.數(shù)列的特點(diǎn)：〔1〕有序性：數(shù)列中的項(xiàng)是按照一定順序排列的。〔2〕函數(shù)特性：數(shù)列可以看作是函數(shù)的一種特殊形式，其中自變量是自然數(shù)。二、數(shù)列的運(yùn)算1.數(shù)列的加減法：將兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)位置的項(xiàng)相加或相減。2.數(shù)列的乘除法：將數(shù)列中的每一項(xiàng)與一個(gè)數(shù)相乘或相除。3.數(shù)列的復(fù)合運(yùn)算：將數(shù)列與其他數(shù)學(xué)對(duì)象〔如函數(shù)、矩陣等〕進(jìn)展復(fù)合運(yùn)算。三、數(shù)列的應(yīng)用1.數(shù)列在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用：數(shù)列是數(shù)學(xué)分析中的根本概念，涉及到極限、積分等知識(shí)點(diǎn)。2.數(shù)列在數(shù)論中的應(yīng)用：數(shù)列在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用，如斐波那契數(shù)列、素?cái)?shù)數(shù)列等。3.數(shù)列在其他學(xué)科中的應(yīng)用：數(shù)列在其他學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)中的振動(dòng)序列、生物學(xué)中的遺傳序列等。四、數(shù)列的考前須知1.注意數(shù)列的定義與性質(zhì)：掌握數(shù)列的根本概念和性質(zhì)，如有序性、函數(shù)特性等。2.注意數(shù)列的運(yùn)算規(guī)那么：熟悉數(shù)列的加減乘除法及其運(yùn)算規(guī)那么。3.注意數(shù)列的應(yīng)用領(lǐng)域：理解數(shù)列在不同學(xué)科中的應(yīng)用，進(jìn)步數(shù)列知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用才能。五、數(shù)列的重點(diǎn)內(nèi)容1.數(shù)列的通項(xiàng)公式：掌握常見(jiàn)數(shù)列〔如等差數(shù)列、等比數(shù)列等〕的通項(xiàng)公式。2.數(shù)列的求和公式：熟悉常見(jiàn)數(shù)列的求