2023年考研數(shù)學(xué)（三）真題及答案解析

2023年考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析數(shù)學(xué)(三)(科目代碼：303)考生注意事項(xiàng)1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號(hào)和考生姓名；在答題卡指定位置上填寫報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào)，并涂寫考生編號(hào)信息點(diǎn)。2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上，非選擇題的答案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題冊上答題無效。3.填(書)寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整，筆跡清楚；涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。4.考試結(jié)束，將答題卡、試題冊和草稿紙按規(guī)定交回。考生編號(hào)考生姓名(1)已知函數(shù)f(x,y)=1n(y+|xsiny1),則均存在.均不存在.(3)若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-○,+一)上有界，則(A)a<0,b>0.(B)a>0,b>0.(C)a=0,b>0.(D)a=0,b<0.(A)充分必要條件.(B)充分不必要條件.(6)二次型f(x?,x?,x?)=(x?+x?)2+(x?+x?)2-4(x?-x?)2的規(guī)范形為(C)y2+y2-4y3.(D)y2+y2-;(8)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則E(|X-EX|)=(9)設(shè)X?,X?,…,X,為來自總體N(μ1,o2)的簡單隨機(jī)樣本，Y?,Y?,…,Ym為來自總體N(μ2,(10)設(shè)X?,X?為來自總體N(μ,c2)的簡單隨機(jī)樣本，其中o(c>0)是未知參數(shù).記^=a|x?-二、填空題(11~16小題，每小題5分，共30分.)(12)已知函數(shù)f(x,y)滿足(14)設(shè)某公司在t時(shí)刻的資產(chǎn)為f(t),從0時(shí)刻到t時(shí)刻的平均資產(chǎn)等.假設(shè)f(t)連續(xù)(16)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X~B(1,p),Y~B(2,p),p∈(0,1),則X+Y(17)(本題滿分10分)已知可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)滿足ae2+y2+y-In(1+x)cosy+b=0,且y(0)=0,y'(0)=0.(Ⅱ)判斷x=0是否為y(x)的極值點(diǎn).(18)(本題滿分12分)(Ⅱ)求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.(19)(本題滿分12分)已知平面區(qū)域D={(x,y)|(x-1)2+y2≤1},計(jì)算二重積(20)(本題滿分12分)(I)若f(0)=0,則存在ξ∈(-a,a),使得(21)(本題滿分12分)(Ⅱ)求可逆矩陣P與對(duì)角矩陣△,使得P?1AP=A.(22)(本題滿分12分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,-○<x<+○,令Y=e×.(Ⅱ)求Y的概率密度；1答案解析中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置.【答案】(A)【解析】f(0,1)=0,由偏導(dǎo)數(shù)的定義存在.的原函數(shù)為()2【答案】(D)【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，(A)a<0,b>0(C)a=0,b>03若C?,C?都不為零，則微分方程的解y=Ce-x+C?e?×在(-0,+o)無界；當(dāng)△=a2-4b=0時(shí)，特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，當(dāng)△=a2-4b<0時(shí)，特征方程的根為此時(shí)，要使微分方程的解在(-0,+0)有界，則a=0,再由△=a2-4b<0,知b>0.(4)已知a<b,(n=1,2,…,),若級(jí)與均收斂，則“級(jí)數(shù)絕對(duì)(A)充分必要條件(C)必要不充分條件(B)充分不必要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】由條件知為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，進(jìn)而絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂.4矩陣，則【解析】結(jié)合伴隨矩陣的核心公式，代入(B)計(jì)算知(6)二次型f(x,x?,x?)=(x?+x?)2+(x?+x;)2-4(x?-x?)2的規(guī)范形為()則其對(duì)應(yīng)的矩陣(7)已知向表示，也可由與β,β?線性表示，則γ=()5【解析】法1:由題可知Ex=1,所以6(9)設(shè)X,,x?,…,X。為來自總體N(H,o2)的簡單隨機(jī)樣本，Y,Y?,…,X為來自總體N(H?,2o2)的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，記【答案】(D)【解析】x,x.,,x的樣本方差Y,Y?,….y的樣本方差(10)設(shè)x,,x?為來自總體N(μ,o2)的簡單隨機(jī)樣本，其中σ(o>0)是未知參數(shù)，記σ=a|xi-x?|,若E(o)=σ,則a=()7【解析】由題可知X,-X?~N(O,2c2).令Y=X?-X?,則Y的概率密度為二、填空題：11～16小題，每小題5分，共30分.【答案】(12)已知函數(shù)f(x,y)滿足,則f(√3,3)=【答案】【解析】由題意可得,則,可得c(y)=c,由8【答案】【答案】2e-2t-29則【答案】8【答案】算步驟.(17)(本題滿分10分)已知可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)滿足ae*+y2+y-In(l+x)cosy+b=0,且y(0)=(I)求a,b的值.(Ⅱ)判斷x=0是否為y(x)的極值點(diǎn).將x=0,y=0代入題設(shè)方程得，a+b=0;將x=0,y=0,y'(0)=0代入①式得，a-1=0(2)在等式①兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得，將x=0,y=0,y'(0)=0代入②式得，y"(0)=-a-1=-2.由于y'(0)=0,y"(0)=-2,故x=0是y(x)的極大值點(diǎn).(18)(本題滿分12分)已知平面區(qū)域【解析】(1)面積(2)旋轉(zhuǎn)體體積為(19)(本題滿分12分)【解析】本題目先利用奇偶對(duì)稱性化簡，再切割積分區(qū)域，把積分區(qū)(20)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)在[-aa]上具有2階連續(xù)倒數(shù)，證明：又f"(x)在[n?,n]上連續(xù)，則必有最大值M與最小值m,即(2)證明：設(shè)f(x)在x=xe(-a,a)取極值，且f(x)在x=x,可導(dǎo)，則f'(x)=0.又又|f"(x)連續(xù)，設(shè)M=max{|f"(r,),}f"(v?),則(21)(本題滿分12分)設(shè)矩陣A滿足對(duì)任意x?,x?,x?均有(Ⅱ)求可逆轉(zhuǎn)矩陣P與對(duì)角矩陣A使得p-1AP=A.對(duì)任意的x均成