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試論數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其與科學(xué)的關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\u30378試論數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其與科學(xué)的關(guān)系 12491摘要 122929關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué);本質(zhì);科學(xué);關(guān)系 113727一、數(shù)學(xué)的本質(zhì)分析 119120(一)現(xiàn)象與本質(zhì)并重 111266(二)形式與內(nèi)容并重 24592(三)過(guò)程與結(jié)果并重 216427(四)絕對(duì)與可誤并重 323642二、數(shù)學(xué)與科學(xué)的關(guān)系分析 332345(一)數(shù)學(xué)與科學(xué)的方法 313093(二)數(shù)學(xué)與科學(xué)的特征 42327結(jié)論 57221參考文獻(xiàn) 6摘要現(xiàn)代科學(xué)是一門(mén)數(shù)理實(shí)驗(yàn)的學(xué)科,是以數(shù)學(xué)、理論和實(shí)驗(yàn)為一體的,以數(shù)字為中心,以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)。在現(xiàn)代科學(xué)的產(chǎn)生中,數(shù)學(xué)不但是一種有用的科學(xué)工具,更是一座引導(dǎo)現(xiàn)代科學(xué)的燈塔。文章從數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)特征等幾個(gè)角度對(duì)數(shù)學(xué)與科學(xué)的密切聯(lián)系進(jìn)行了論述。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué);本質(zhì);科學(xué);關(guān)系數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是什么?什么是數(shù)學(xué)的基本特性?關(guān)于這個(gè)問(wèn)題,大家都有不同的看法。從人類(lèi)歷史的發(fā)展過(guò)程中,人們從數(shù)學(xué)的起源、存在方式、抽象程度等方面對(duì)數(shù)學(xué)的性質(zhì)進(jìn)行研究。同時(shí),本文還從數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、試探性、可誤性等幾個(gè)方面探討了數(shù)學(xué)的基本性質(zhì)。任何對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特性的理解,都將給教師和學(xué)生帶來(lái)深遠(yuǎn)的影響。我們?cè)趶?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,既要重視學(xué)生的接受能力,又要注意到學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,要做到“現(xiàn)象與本質(zhì)并重、過(guò)程與結(jié)果并重、形式與內(nèi)容并重、絕對(duì)與可錯(cuò)并重”。一、數(shù)學(xué)的本質(zhì)分析(一)現(xiàn)象與本質(zhì)并重從數(shù)學(xué)起源看,“數(shù)學(xué)起源于一般的常識(shí),最明顯的例子就是非負(fù)整數(shù)?!睅缀纹鹪吹臍v史,本質(zhì)上和數(shù)學(xué)起源的歷史非常類(lèi)似,人類(lèi)從自然中提出了幾何形態(tài)。關(guān)于長(zhǎng)度、面積、體積等概念,也是由實(shí)際活動(dòng)而來(lái)。實(shí)際上,在19世紀(jì)中期以前,關(guān)于數(shù)字的科學(xué)研究還只是一般的認(rèn)識(shí)。盡管數(shù)學(xué)起源于一般的常識(shí),但一般的知識(shí)并不能成為最充分、最可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在一定程度上,雖然古代的哲人和先驅(qū)者曾告誡人們要小心地看待那些很平常的常識(shí),因?yàn)槠匠5某WR(shí)會(huì)輕易地被神秘的自然所改變。例如大家都知道鐵比木冷,這是一種普遍的看法,但這種看法在某些情況下是錯(cuò)誤的,因?yàn)樵陉?yáng)光下,鐵的溫度要高于木材。這是因?yàn)殍F的傳熱速率比木材要快,所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中也有相似的常識(shí)現(xiàn)象,但這樣反而會(huì)讓人們忽略數(shù)學(xué)的本質(zhì)。(二)形式與內(nèi)容并重世間一切事物,既有內(nèi)容,也有形態(tài),兩者是一個(gè)整體。數(shù)學(xué)形態(tài)與內(nèi)容的關(guān)系以及它們之間的相互作用,歷來(lái)都是關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)特性的探討。數(shù)學(xué)拋棄了具體的東西,提取了數(shù)量之間的關(guān)系,利用形式語(yǔ)言探索了形式化的思維客體之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系。數(shù)學(xué)只是一種形式,而非形式化。形式主義學(xué)派認(rèn)為,數(shù)學(xué)物體是沒(méi)有意義的,將數(shù)學(xué)視為純粹的紙上談兵、符號(hào)游戲,以兼容一致為理論基礎(chǔ),將其徹底分割。抽象形態(tài)并非現(xiàn)實(shí),而是理性思考的一部分。舉例來(lái)說(shuō),在開(kāi)始的時(shí)候,因?yàn)閿?shù)學(xué)家并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)和生活中的反面關(guān)系,因此他們都不承認(rèn)負(fù)數(shù)就是數(shù)字,而把它看成是一個(gè)沒(méi)有任何內(nèi)容的符號(hào)。而且虛數(shù)要比負(fù)數(shù)更不受人待見(jiàn),但是勇敢的數(shù)學(xué)家們卻用一種保留和擴(kuò)充舊的數(shù)學(xué)法則的方式,將整個(gè)平面的座標(biāo)化成一個(gè)整體,并且所有的代數(shù)方程都能得到形式上的解決。(三)過(guò)程與結(jié)果并重波利亞相信,數(shù)學(xué)有兩個(gè)方面,一種是嚴(yán)格的歐幾里德式,另一種則是其他面。用歐幾里德法提出的數(shù)學(xué),似乎是一種系統(tǒng)化的推論,但在創(chuàng)造的過(guò)程中,它的數(shù)學(xué)就像是一種實(shí)驗(yàn)式的歸納。在這一點(diǎn)上,關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì),存在著兩種不同的觀點(diǎn)。邏輯論認(rèn)為,所有的數(shù)學(xué)都可以用純粹的邏輯表達(dá),并且只通過(guò)邏輯原理來(lái)證明。結(jié)果表明,并非全部的數(shù)學(xué)真理都可以由邏輯距離推導(dǎo)出來(lái)。經(jīng)驗(yàn)論認(rèn)為,數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。其學(xué)派理論是:1)數(shù)學(xué)觀念是由日常生活中的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化而來(lái)的;2)可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判定數(shù)學(xué)的真相,也就是從觀察到的物質(zhì)世界中得出的。但是,由于數(shù)學(xué)本質(zhì)上是抽象的,因此許多觀念都不是由觀察世界而產(chǎn)生的,而是基于以前的觀念。(四)絕對(duì)與可誤并重在討論數(shù)學(xué)的真相時(shí),存在著兩個(gè)完全不同的流派。絕對(duì)主義相信,任何知識(shí)都會(huì)有錯(cuò)誤,但數(shù)學(xué)的真理卻是唯一的。他們認(rèn)為,數(shù)學(xué)是唯一可靠的知識(shí)。而推導(dǎo)方法則為證明數(shù)學(xué)知識(shí)是絕對(duì)的真理提供了保障。首先,數(shù)學(xué)證明的基礎(chǔ)聲明是真實(shí)的,數(shù)學(xué)的假設(shè)是真實(shí)的,數(shù)學(xué)的定義是真實(shí)的,而邏輯的是真實(shí)的,有關(guān)于數(shù)學(xué)的一切都是真實(shí)的。其次,邏輯推理法則保留了真理性,也就是只有從真實(shí)中得到的事實(shí)才能得到確認(rèn)。應(yīng)當(dāng)說(shuō),這個(gè)觀念主導(dǎo)了2000多年的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。直到十九世紀(jì),非歐幾何和四元數(shù)的出現(xiàn),才在數(shù)學(xué)界掀起了軒然大波,盡管數(shù)學(xué)家們還在夢(mèng)想著用邏輯推導(dǎo)出一套無(wú)可爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)系統(tǒng),但這一切都是徒勞的。在判斷絕對(duì)主義時(shí),存在著一種可誤主義,可誤主義認(rèn)為,數(shù)學(xué)是可以接受錯(cuò)誤的,是可以被正確地修正,而不應(yīng)該將其視為無(wú)法修正或改變的事實(shí)。Putnam說(shuō):“數(shù)學(xué)的知識(shí)是經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn),也就是說(shuō),在數(shù)學(xué)的世界中的認(rèn)知,是我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中思想火花的閃光。二、數(shù)學(xué)與科學(xué)的關(guān)系分析(一)數(shù)學(xué)與科學(xué)的方法什么是數(shù)學(xué)方法?首先介紹了一些基礎(chǔ)的概念,其中一些是從外在的物體中直接獲得的靈感,比如點(diǎn),線,面,自然數(shù)等等。除一些基礎(chǔ)的概念外,數(shù)學(xué)的本質(zhì)還包括:負(fù)數(shù),復(fù)數(shù),函數(shù),曲線,無(wú)窮數(shù)列,微積分,矩陣,群,高維空間等等??茖W(xué)的方法是什么?介紹了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念。從數(shù)學(xué)概念的源頭看,科學(xué)的觀念部分源自物質(zhì)對(duì)象,一部分源自科學(xué)家的思維??臻g,時(shí)間,力,重量,速度,加速度,這些現(xiàn)代力學(xué)中的基本概念,都是由科學(xué)家們通過(guò)觀察外界的物質(zhì)而得到的。一些概念,例如質(zhì)點(diǎn)、慣性,需要經(jīng)過(guò)科學(xué)的抽象和推理,才能獲得。有些像動(dòng)量、動(dòng)能等需要用物理量進(jìn)行綜合,光看是無(wú)法獲得的。還有引力、熵等概念,純粹是從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出來(lái)的,而不是真正意義上的物理意義,而是將其作為一種有用的工具,就像數(shù)學(xué)一樣。這一點(diǎn)在當(dāng)代科學(xué)中尤其突出,很難想象,如果沒(méi)有數(shù)學(xué),現(xiàn)代科學(xué)將會(huì)發(fā)生怎樣的變化。由此,我們可以看到,數(shù)學(xué)的概念是怎樣激發(fā)科學(xué)的,以及科學(xué)是怎樣依靠數(shù)學(xué)的。(二)數(shù)學(xué)與科學(xué)的特征數(shù)學(xué)第二個(gè)重要的特性是抽象。要讓數(shù)學(xué)變得具體,就必須包含這個(gè)概念所包含的所有實(shí)體表現(xiàn)的基本特性。因此,“1”不再僅僅是一棵樹(shù),一個(gè)人,一把尺子或者一只蘋(píng)果,它包含了一切事物的抽象。在科學(xué)的觀念中,空間、時(shí)間、力、重量、速度等都是科學(xué)家通過(guò)對(duì)外界的高度抽象而獲得的。理想主義是數(shù)學(xué)的另外一個(gè)特點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們?yōu)榱死硐牖?,故意忽視了線條的粗細(xì),或是把地球看作一個(gè)完美的球體。理想本身并沒(méi)有與現(xiàn)實(shí)相背離。但是,如果將其應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中,就會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題,那就是,真正的粒子或者路徑與其理想狀態(tài)是否非常接近。其次,公理化的數(shù)學(xué)方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法。公理,也就是“axiom”,源自希臘文,它的含義就是“覺(jué)得值得”。希臘人引進(jìn)了一個(gè)沒(méi)有人會(huì)質(zhì)疑的“公理”的概念。柏拉圖“回憶說(shuō)”認(rèn)為,人是以靈魂的形式存在于客觀的真實(shí)世界中,而幾何學(xué)的原理則是對(duì)已知真相的記憶。亞里士多德在《后分析篇》中,堅(jiān)持認(rèn)為,我們的直覺(jué)是正確的,而不是錯(cuò)誤的。我們也要有這樣的事實(shí),我們的推理是建立在它們之上的。反之,若要用無(wú)法證實(shí)的事實(shí),則必須進(jìn)行更多的論證,以證實(shí)其真實(shí)性,這個(gè)過(guò)程必須不斷地進(jìn)行。亞里士多德也提出,某些觀念,如果沒(méi)有一個(gè)明確的定義,是沒(méi)有出發(fā)點(diǎn)的。現(xiàn)在,象“點(diǎn)”、“線”之類(lèi)的詞還沒(méi)有被界定;這些原則的含義和本質(zhì)都是由定義了這些原則的本質(zhì)而決定的。數(shù)學(xué)中的很多概念都是人類(lèi)的思想創(chuàng)造的,而那些與之相關(guān)的公理也被創(chuàng)造了,以適應(yīng)它們。這個(gè)公理化的方式,包含了要討論的概念的清楚定義,和精確的公設(shè),這些都是推理的依據(jù)。邏輯非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜烁鶕?jù)這些定義和假設(shè)得出結(jié)論。我們可以看到,科學(xué)也在使用公理化的方式,比如牛頓力學(xué),從三條運(yùn)動(dòng)規(guī)律和重力定律,推導(dǎo)出了一套完整的理論體系,可以解釋行星、太陽(yáng)、月亮、地球、海洋潮汐、陸地上的各種運(yùn)動(dòng)。牛頓運(yùn)用的物理學(xué)原理,要么是從經(jīng)驗(yàn)觀察中總結(jié)出來(lái)的,要么就是純粹的直覺(jué)。物理假定被表示為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,因此可以應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和定理。數(shù)學(xué)(科學(xué))最突出的特點(diǎn)是它所使用的邏輯方法。其基本原理是一組公理,并以其為依據(jù)進(jìn)行推理。無(wú)論概念與公理有多基本,由公理推導(dǎo)出來(lái)的推理可以讓我們得到新的認(rèn)識(shí)來(lái)修正我們的感覺(jué)。在歸納、類(lèi)比、推論等多種推理方式中,只有演繹推理能夠確保結(jié)論的正確。就像13億中國(guó)人是黃種人而得出結(jié)論,認(rèn)為大家都是黃種人,這是一種推論,只能當(dāng)做部分信息條件進(jìn)行采納,全部?jī)?nèi)容是并不可信。同樣,張三和他的雙胞胎都有相同的才能,如果一個(gè)人是個(gè)科學(xué)家,就認(rèn)為另一個(gè)人也應(yīng)該有這樣的能力,那么這個(gè)論點(diǎn)就是一個(gè)比喻,肯定是不靠譜的。與之相對(duì)的是,雖然演繹推理可以采用各種形式,但它可以確保結(jié)論的正確性。亞里士多德把它叫做“三段論”的邏輯原則,也就是其中的一種推論。亞里士多德還在演繹推理法則中添加了矛盾法則和排中律。結(jié)論數(shù)學(xué)和科學(xué)是一對(duì)完美的螺旋,彼此獨(dú)立,互相影響,互相促進(jìn)。懷特海在《科學(xué)與近代世界》一書(shū)中指出,數(shù)學(xué)在探索物理學(xué)的過(guò)程中起到了至關(guān)重要的作用:“隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,我們的思維逐漸變得抽象,但當(dāng)數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)的時(shí)候,數(shù)學(xué)就會(huì)變得更加重要。”這個(gè)矛盾現(xiàn)在已經(jīng)形成,極端的抽象才是我們對(duì)特定事實(shí)的真實(shí)想法的真實(shí)武器。本文旨在通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特性的剖析,使數(shù)學(xué)教育朝著正確的方向發(fā)展,使其在學(xué)生發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步中的重要作用得以充分發(fā)揮。
參考文獻(xiàn)[1]席愛(ài)勇.數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的本質(zhì)內(nèi)涵、心理機(jī)制和實(shí)踐策略[J].江西教育,2022(39):26-29.[2]鄭義富.關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與思
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