2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)調(diào)研檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)調(diào)研檢測試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【難度】0.94【知識點】交集的概念及運算【分析】根據(jù)集合交集的基本運算即可得出結(jié)果.【詳解】由集合即可得.故選：B2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．C．3 D．【正確答案】D【難度】0.85【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)的除法運算【分析】由，化簡得到求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)滿足，所以，所以的虛部為-3，故選：D3．若雙曲線滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【難度】0.94【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)離心率公式計算可得答案.【詳解】由，得，即.故選：C.4．已知是正項等比數(shù)列，若成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．2 D．3【正確答案】C【難度】0.85【知識點】等差中項的應(yīng)用、等比數(shù)列通項公式的基本量計算【分析】由題意設(shè)出公比，根據(jù)等差中項的性質(zhì)建立方程，可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列為正項數(shù)列，則，由為等差數(shù)列，則，，，，解得或（舍去）.故選：C.5．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【難度】0.85【知識點】充要條件的證明、比較指數(shù)冪的大小、由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分必要條件的定義即可得答案.【詳解】是增函數(shù)，又，，又是增函數(shù)，則，故充分性成立；是增函數(shù)，，，又是增函數(shù)，，故必要性成立.即“”是“”的充要條件.故選.6．已知四棱錐的體積為4，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【難度】0.85【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、求線面角【分析】根據(jù)四棱錐的體積為4求出高h(yuǎn)，再結(jié)合直線與平面所成角的正弦值為即可得答案.【詳解】四棱錐的體積，得，直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.7．設(shè)，，分別為函數(shù)，，的零點，則，，的大小關(guān)系為(

).A． B．C． D．【正確答案】D【難度】0.85【知識點】比較零點的大小關(guān)系【分析】當(dāng)時，f1=0，所以，然后在和時，分別判斷和的零點，即，的取值范圍，最后綜合判斷即可.【詳解】因為時，，又因為單調(diào)遞增，所以；若，則，所以時，，即；若，則，所以時，，即.綜上所述，，故選：D.8．已知向量，，，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【難度】0.85【知識點】平面向量共線定理證明線平行問題、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計算向量的?！痉治觥坑珊图昂偷年P(guān)系可知，四邊形為直角梯形，由梯形面積計算即可.【詳解】因為，，所以四邊形為直角梯形.，，，則面積，故選：B.二、多選題9．已知x、y都是正數(shù)，則（

）A． B．若，則的最大值為2C．的最大值為 D．【正確答案】BC【難度】0.85【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求解判斷ABC；舉例說明判斷D.【詳解】對于A，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A錯誤；對于B，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，當(dāng)時，，D錯誤.故選：BC10．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（

）A．B．C．在上單調(diào)遞減D．將的圖象向右平移個單位，再將橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），最后將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模M坐標(biāo)不變）得到圖象，則為正弦曲線【正確答案】BCD【難度】0.65【知識點】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求圖象變化前（后）的解析式【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作圖求出解析式，再逐項判斷得解.【詳解】觀察圖象得，，由，得，又，且在的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，則，由，得，解得，而的最小正周期滿足，即，則，解得，因此，，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，當(dāng)時，，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，將的圖象向右平移個單位，得的圖象，因此圖象對應(yīng)的解析式為，為正弦曲線，D正確.故選：BCD11．已知點是左、右焦點為，的橢圓：上的動點，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點有6個C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和【正確答案】BCD【難度】0.65【知識點】求橢圓中的最值問題、橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值、橢圓中焦點三角形的面積問題【分析】根據(jù)焦點三角形面積的相關(guān)結(jié)論即可判斷A；結(jié)合橢圓性質(zhì)可判斷B；結(jié)合橢圓定義可求線段和差的最值，判斷CD.【詳解】A選項：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項：當(dāng)或時為直角三角形，這樣的點有4個，設(shè)橢圓的上下頂點分別為，，則,同理，知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點有6個，故B正確；C選項：由于，所以當(dāng)最小即時，取得最大值，故C正確；D選項：因為，又，則的最大、最小值分別為和，當(dāng)點位于直線與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：BCD三、填空題12．已知，則.【正確答案】【難度】0.65【知識點】二倍角的余弦公式【分析】，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】.故選：D13．已知三棱錐中，，當(dāng)三棱錐體積最大值時，三棱錐的外接球的體積為. 【正確答案】【難度】0.65三棱錐，以為底，到平面的距離為高，得到三棱錐在兩兩垂直時體積最大，此時三棱錐的外接球可以看作是以為棱長的正方體的外接球，從而求出其半徑，得到球的體積.【詳解】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，則可知平面時，到平面的距離最大為，底面為等腰三角形，，當(dāng)時，的面積最大，即，當(dāng)兩兩垂直時，三棱錐體積最大，此時三棱錐的外接球可以看作是以為棱長的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所求球的體積為.故選：A.本題考查求三棱錐的體積，求三棱錐外接球的體積，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.14．已知直線：與直線：相交于點，點是圓上的動點，則的最大值為.【正確答案】【難度】0.65【知識點】直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值【分析】由直線：恒過定點，直線：恒過定點，且，可知在以為直徑的圓上，要求的最大值，轉(zhuǎn)化為在上找上一點，使最大，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解【詳解】解：因為直線：恒過定點，直線：恒過定點，且，所以兩直線的交點在以為直徑的圓上，且圓的方程為，要求的最大值，轉(zhuǎn)化為在上找上一點，在上找一點，使最大，根據(jù)題意可知兩圓的圓心距為，所以的最大值為，故四、解答題15．的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知．(1)若，，求的面積；(2)若角為鈍角，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【難度】0.65【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等變換可得，利用余弦定理可得，即可得面積；（2）利用正弦定理以及三角恒等變換可得，結(jié)合角B的范圍運算求解.【詳解】（1）因為，由余弦定理可得，由正弦定理得，又因為，則有，因，，則，且，故．由余弦定理，，代入得，，因，則有，即得，故的面積．（2）由正弦定理，可得，且，代入化簡得：．因為鈍角，故由，可得，則，，即，故的取值范圍是16．設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【正確答案】(1)(2)【難度】0.65【知識點】錯位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．17．如圖，四邊形為圓臺的軸截面，，圓臺的母線與底面所成的角為，母線長為，是弧上的點，，為的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識點】證明線面平行、面面角的向量求法、求二面角【分析】（1）取中點，連結(jié)，，根據(jù)條件，得到，利用線面平行的判斷定理，即可證明結(jié)果；（2）法一：過作于點，取中點，連結(jié)，，根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系可得為二面角的平面角，再利用余弦定理，即可求解；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解；【詳解】（1）取中點，連結(jié)，∵，，，，∴，，∴為平行四邊形，∴，又面，面，所以面.（2）法一：過作于點，易知圓臺底面，∵，，圓臺的母線與底面所成的角為，母線長為，∴，，又，∴，，又，則，所以，又由，可得，，取中點，連結(jié)，，所以，則為二面角的平面角，又易知，，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為法二：如圖，以為坐標(biāo)原點，和垂直的直線為軸，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由法一知，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.若以，，為，，軸建立坐標(biāo)系，則，所以，，，同理可求得平面的法向量為；平面的法向量為，則.18．已知雙曲線的離心率為，右頂點為.為雙曲線右支上兩點，且點在第一象限，以為直徑的圓經(jīng)過點.

(1)求的方程；(2)證明：直線恒過定點；(3)若直線與軸分別交于點，且為中點，求的值.【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【難度】0.4【知識點】根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、雙曲線中的直線過定點問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)離心率以及頂點即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得韋達(dá)定理，由垂直得斜率關(guān)系，即可代入化簡求解，（3）根據(jù)中點坐標(biāo)可得，即可根據(jù)三角形面積之比求解.【詳解】（1）右頂點，解得.

（2）設(shè)Ax1,聯(lián)立，得則，即..以為直徑的圓經(jīng)過點即，化簡得當(dāng)時，直線經(jīng)過點，不符條件，舍去..直線必過定點.（3）由（2）知.,為中點，，代入得.由得.方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).19．已知函數(shù)叫做雙曲正弦函數(shù)，函數(shù)叫做雙曲余弦函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)類比等式，請?zhí)骄颗c，之間的等量關(guān)系，并給出證明過程；(2)求函數(shù)的零點；(3)解關(guān)于的不等式：【正確答案】(1)；證明見解析(2)，(3)答案見解析【難度】0.4【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、函數(shù)新定義【分析】由條件類比得到，然后證明即可；化簡可得：，即，解得或，然后回代求解即可；原不等式可化為，對的范圍討論可求．【詳解】（1）由條件類比得到，證明如下：因為，，所以；（2）因為，令，則，即，即，解得或，又，所以，于是，整理得，于是或，解得或，所以函數(shù)?x的零點為，；（3