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文檔簡介
2025屆河南省鄭州市106中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和,若,且與的等差中項(xiàng)為,則的值是()A.29 B.30 C.31 D.322.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實(shí)數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣23.下圖是我國第24~30屆奧運(yùn)獎牌數(shù)的回眸和中國代表團(tuán)獎牌總數(shù)統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實(shí)際意義C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.54.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.5.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.66.已知曲線,動點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.7.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.38.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)和等于()A.12 B.21 C.24 D.369.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.10.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.11.已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]12.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.邊長為2的菱形中,與交于點(diǎn)O,E是線段的中點(diǎn),的延長線與相交于點(diǎn)F,若,則______.14.已知,且,則__________.15.已知集合,,則_____________.16.若,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.18.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求的分布列.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.20.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實(shí)數(shù),使得,求證:21.(12分)選修4—5;不等式選講.已知函數(shù).(1)若的解集非空,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若正數(shù)滿足,為(1)中m可取到的最大值,求證:.22.(10分)已知三棱錐中,為等腰直角三角形,,設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì),求出公比,再由等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算即可得到所求.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,則a4=16q3,a7=16q6,a4與a7的等差中項(xiàng)為,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(負(fù)值舍去),則有S5===1.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用,同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.2、D【解析】
化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦=(1+2i)(1+ai)=,又因?yàn)閦∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)表格和折線統(tǒng)計(jì)圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯(cuò)誤;B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運(yùn)會相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯(cuò)誤;D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)圖,關(guān)鍵點(diǎn)讀懂折線圖,屬于簡單題目.4、C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、C【解析】
設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進(jìn)而得到切線方程,將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點(diǎn)為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點(diǎn),所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點(diǎn),即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,性質(zhì),等差數(shù)列的和,屬于中檔題.9、C【解析】
利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.10、B【解析】
首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算,屬于中等題.11、B【解析】
作出可行域,表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,,,過與直線平行的直線斜率為-1,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,本題表示動點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.12、A【解析】
作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
取基向量,,然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將,表示為基向量后再相乘可得.【詳解】如圖:設(shè),又,且存在實(shí)數(shù)使得,,,,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,屬中檔題.14、【解析】試題分析:因,故,所以,,應(yīng)填.考點(diǎn):三角變換及運(yùn)用.15、【解析】
由集合和集合求出交集即可.【詳解】解:集合,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、8【解析】
根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),等號成立.時(shí),取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式,構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對分成三種情況進(jìn)行分類討論,判斷出的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)由(1)知,結(jié)合韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,由此化簡的表達(dá)式為,通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得,由此證得成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)榈?,(i)當(dāng)時(shí);,因?yàn)闀r(shí),時(shí),,所以是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn);(ii)若時(shí),若,即時(shí),,在是減函數(shù),無極值點(diǎn).若,即時(shí),有兩根,不妨設(shè)當(dāng)和時(shí),,當(dāng)時(shí),,是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),綜上所述時(shí),僅有一個(gè)極值點(diǎn);時(shí),無極值點(diǎn);時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn).(2)由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),且是方程的兩根,,則所以設(shè),則,又,即,所以所以是上的單調(diào)減函數(shù),有兩個(gè)極值點(diǎn),則【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率;(2)由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件,則;(2)由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為、、.則,,.故的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則切線的斜率為.又,則曲線在點(diǎn)的切線方程是,即.(2)的定義域是..①當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;③當(dāng)時(shí),,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時(shí),,所以和時(shí),;時(shí),.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點(diǎn),再根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系分類討論即可.屬于??碱}.20、(1)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因?yàn)槎x域?yàn)?,所以,時(shí),,即在和上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方
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