四年級(上)奧數(shù)知識講座：幾何中的計數(shù)問題(三)

第八講幾何中的計數(shù)問題（三）例6如下圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù).分析這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長為一條基本線段的最小三角形開始.I.以一條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：W①上=1+2+3+4=10（個）.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W①下=1+2+3=6（個）.II.以兩條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W②上=1+2+3=6（個）.②尖朝下的三角形只有一個，記為W②下=1（個）.III.以三條基本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：W③上=1+2=3（個）.②尖朝下的三角形零個，記為W③下=0（個）.W.以四條基本線段為邊的三角形，只有一個，記為:W④上=1（個）.所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27（個）.我們還可以按另一種分類情況計算三角形的個數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計算三角形個數(shù).I.尖朝上的三角形共有四種：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（個）.II.尖朝下的三角形共有二種：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0則尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（個）所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：20+7=27（個）.小結：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類推直到零為止.例7數(shù)一數(shù)圖中有多少個三角形.解：參考例6所總結的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：I.尖朝上的三角形有五種：W①上=8+7+6+5+4=30W②上=7+6+5+4=22W③上=6+5+4=15W④上=5+4=9W⑤上=4???尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80(個).II.尖朝下的三角形有四種：W①下=3+4+5+6+7=25W②下=2+3+4+5=14W③下=1+2+3=6W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(個).V.V.與△ACD相同的三角形共有5個；???所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有80+46=126（個）.四、數(shù)綜合圖形前面我們已對較基本、簡單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對于較復雜的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們仍需遵循不重復、不遺漏的原則，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結合起來就一定能把圖形數(shù)清楚了.例8數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形.A分析圖中有若干個大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個？解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：.與△ABE相同的三角形共有5個；.與^ABP相同的三角形共有10個；.與^ABF相同的三角形共有5個；”.與^AFP相同的三角形共有5個；W.與△AGD相同的三角形共有5個.所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35（個）.例9數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形？P分析這是個對稱圖形，我們可按如下三步順序來數(shù)：第一步：大矩形ABCD可分為四個相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每個小矩形內所包含的三角形個數(shù)是相同的.第二步：每兩個小矩形組合成的圖形共有四個，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.第三步：每三個小矩形占據(jù)的部分圖形共有四個：如^ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.最后把每一步中每個圖形所包含三角形個數(shù)求出相加再乘以4就是整個圖形中所包含的三角形的個數(shù).解：I.在小矩形AEOH中：①由一個三角形構成的有8個.②由兩個三角形構成的三角形有5個.

③由三個或三個以上三角形構成的三角形有5個.這樣在一個小矩形內有17個三角形..在由兩個小矩形組合成的