專題17 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破(原卷)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2專題17同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式5題型分類一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；二、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．注：1、利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．（一）同角求值（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．題型1：同角求值1-1．（2024高一上·廣東江門·期末）已知，求，的值.1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則.1-3．（2024高三·全國·對口高考）已知，求值：(1)；(2)；(3).1-4．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩根．(1)求的值；(2)若，求的值．1-5．（2024高三·山西運(yùn)城·學(xué)業(yè)考試）已知，求下列各式的值：(1)；(2).（二）誘導(dǎo)求值與變形（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化題型2：誘導(dǎo)求值與變形2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）的值為2-2．（2024高一下·甘肅天水·期末）化簡2-3．（2024高三上·福建莆田·期中）已知?jiǎng)t．2-4．（2024高三·江蘇·對口高考）已知，且，則的值是.2-5．（2024高三上·山東泰安·期中）已知是第四象限角，且，則.2-6．（2024高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則.2-7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．（三）同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．（2）注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．題型3：三角函數(shù)式化簡求值3-1．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知為第二象限角，且滿足，則3-2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知，若，則=.3-3．（2024高一上·天津和平·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．13-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知sin(3π＋θ)＝，則＋＝.3-5．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．題型4：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用4-1．（2024高一上·江蘇淮安·期末）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．4-2．（2024高一下·山東東營·期中）已知角滿足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，求的值．4-4．（2024高一上·廣東深圳·期末）已知．(1)求的值．(2)求的值．（四）三角恒等式的證明三角恒等式的證明中涉及到同角三角函數(shù)基本關(guān)系，和角公式，差角公式，二角公式，輔助角公式等基本知識點(diǎn)，理解和掌握這些基本知識點(diǎn)是解答該類問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵題型5：三角恒等式的證明5-1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）求證：當(dāng)或3時(shí)，.5-2．（2024高一·全國·課前預(yù)習(xí)）求證：＝．5-3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）求證：（1）；（2）；（3）；（4）.5-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求證：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；（2）已知tan2α=2tan2β+1，求證：2sin2α=sin2β+1.一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測）勾股定理，在我國又稱為“商高定理”，最早的證明是由東漢末期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，他利用了勾股圓方圖，此圖被稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形組成的大正方形圖案（如圖所示），若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為，則“趙爽弦圖”里的直角三角形中最小角的正弦值為（

）

A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．2 C． D．4．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知角為鈍角，且角終邊上有一點(diǎn)，則角（

）A． B． C． D．6．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，在在角終邊上，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則(

)A． B． C． D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．9．（2024·陜西寶雞·一模）已知，則（

）A． B． C． D．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓，過點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A． B． C． D．12．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．13．（2024·陜西西安·二模）已知，則（

）A． B． C．- D．14．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知，則的值為（

）A． B． C． D．15．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．16．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．17．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．18．（2024高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，且，（

）A． B． C． D．19．（2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且滿足，則（

）A．2 B．1 C．3 D．20．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱，若，則（

）A． B． C． D．21．（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件22．（2024·陜西榆林·二模）已知，則=（

）A． B． C． D．23．（2024高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知為第二象限的角，且，則的值為（

）A． B． C． D．24．（2024高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．25．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．26．（2024高三上·云南昆明·階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．27．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知角的終邊過點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．28．（2024高三上·安徽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．29．（2024高三上·安徽·期中）已知是角的終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．30．（2024高三上·安徽·期中）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．31．（2024高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．32．（2024高三上·重慶永川·期中）已知，，則（

）A． B． C．3 D．33．（2024高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題34．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）設(shè)為第一象限角,,則（

）A．B．C．D．35．（江蘇省宜興中學(xué)、泰興中學(xué)、泰州中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)合質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷）質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（

）A． B．C． D．36．（2024高一下·河南焦作·階段練習(xí)）已知角，是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（

）A． B．C． D．37．（2024高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．C． D．38．（2024高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．39．（2024高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．三、填空題40．（2024·全國）若，則．41．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知，，那么.42．（2024高三·全國·對口高考）若，求的值為.43．（2024高三上·江西南昌·階段練習(xí)）若，則.44．（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知是關(guān)于的方程的兩根，則.45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則．46．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.47．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則的最大值為，的最小值為．48．（2024·四川綿陽·三模）已知，，則.49．（2024·山西陽泉·三模）已知，且，則．50．（2024·浙江溫州·二模）已知，則.51．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知，則的值是．52．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則．53．（2024高三上·湖南衡陽·期中）已知，則．54．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則.55．（2024高三上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）若，則.56．（2024高一下·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）已知，且，則．57．（2024高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則.58．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若角的終邊落在直線上，則．四、解答題59．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知角的終邊落在直線上．求(1)的值；(2)的值．60．（2024高一下·安徽·期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，若點(diǎn)位于軸上方且.(1)求的值；(2)求的值.61．（2024高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點(diǎn)，射線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.(1)求的表達(dá)式，并求；(2)若，，求的值.62．（2024高一·全國·課后作業(yè)）求證:.63．（2024高二·全國·課后作業(yè)）證明：.64．（2024高一上·四川廣安·期末）已知(1)化簡；(2