電大2024經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)參考練習(xí)題

〈經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)〉期末復(fù)習(xí)參考練習(xí)題

—單選題

I、設(shè)/(幻二一，則/(/(?)=(CCx

2、曲線)，二sinx+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為(AAy=x4-1)。

3、若=-e"+c,則/(x)=(BB—

4、設(shè)A,B為同階可逆矩，則下列等式成立的是(CC(ABV=BTAT

5、線形方程組!解的狀況是(DD無(wú)解)

X1+x2=0

r—1

1.函數(shù)y=-----的定義域?yàn)?DD、工＞1山工2)

In(x-l)

2.設(shè)/(x)=ln(x—D,貝葉(x)在x=2處的切線方程是(AA.x-y=2)

4、設(shè)A為3x4矩陣，B為5x2矩陣，若乘積矩陣AC?B有意義，則C為(BB5x4)矩陣。

5.線性方程組11TX,1=H解的狀況是(DD有唯一解)

x2]|_0j

1.下列結(jié)論中(DD奇函數(shù)的圖形是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱)是正確的。

sinx

2.函數(shù)/(x)=(丁"工n。在x=0處連續(xù)，貝氏=(CC1)

kx=0

3.下列等式成立的是(CC、2xdx=—d(2x))

ln2

4、設(shè)A,B是同階方陣，且A是可逆矩陣，滿意A+A3=/,則=(AA、I+B)。

5、設(shè)線性方程組4”><“*=人有無(wú)窮多解的充分必要條件是(DD、r(A)=r(A)=r(A)<)

1.函數(shù))=J三二3的定義域是(BB.[-2,2)U(2,+oo)

/a+Av)-/a)

2.若/(%)=cosX,則lim=(AA.

4As。

3.下列函數(shù)中，(DD、--cosx2)是xsin/的原函數(shù)。

2

4.設(shè)A是〃zx〃矩陣，B是sxf矩陣，且AC，8有意義，則C是(DD、sxn)矩陣。

Xj=-11

Xj+2X2-4X3=1

5.用消元法解方程組?x2+x3=0得到的解為(CC><x2=2)o

-x3=2x3=-2

1.下列各函數(shù)對(duì)中，(DD、/i?=JFTX+COS-X,g(X)=I)中的兩個(gè)函數(shù)相等。

r

2.已知/")=」一一1,當(dāng)(AA、X-0)時(shí)，/*)為無(wú)窮小量。

sinJC

r”11

3、\--dx=(CC>—)

d2

4、設(shè)A是可逆矩陣，且A+AB=【，則/■,=(CC、I+B)

-13214-

0-112-6

5.設(shè)線性方程組AX=b的增廣矩陣為,則此線性方程組的?般解中自由未知量的個(gè)數(shù)

01-1-26

02-2-412

為(BB、2)

1.下列各函數(shù)中的兩個(gè)函數(shù)相等的是(CC.y=\nx\gM=3]nx)

2.下列函數(shù)在區(qū)間(一8,+8)上單調(diào)增加的是(CC.3*)

3.若尸(x)是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是(BB.Vf(x)dx=F(x)-F(a))

Ja

4.設(shè)A,B為同階可逆矩陣，則下式成立的是(DD.(AB)r=BTAT)

5.設(shè)線性方程組慶*=8有唯一解，則線性方程組AX=O的解的狀況是(AA.只有零解)

二、填空題

—px—S<r<0

6、函數(shù)=4"的定義域是______[-5,2)_____

x2-10<x<2

x-smx

7、lim------------______0______

?sor

8、函數(shù)/(x)=—sin尤的原函數(shù)是cosx+c

9、設(shè)A,B均為n階矩陣，則等式(A—B)2=A2-2AB+1成立的充分必要條件是A,B隨意

1021

芭=-2X-x

10、齊次線性方程組AX=O的系數(shù)矩陣為A=010-2則此方程組的一般解為—34

x-2X

000024

6、若函數(shù)/3+2)=/+41一5,則/*)=X2-9o

--n

7、設(shè)需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為q(p)=500e2,則需求彈性為邑=_-5

8.j|sinx^=sinxdLv。

9.若r(A,b)=4/(A)=3,則線性方程組AX=b無(wú)解

-100--ioo-

1

10.設(shè)A=020，則A"=0J0O

00-3

6、函數(shù))，=；~二--J3-X的定義域?yàn)開_____(-3,-2)(-2,3)_____o

*ln(x+3)

p

7、需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為式p)=100e5則需求彈性為

23

9、當(dāng)4—3—時(shí)，矩陣A=,是對(duì)稱矩陣。

a-1

-1116-

10、線性方程組AX=〃，且4=0-132,則L_-l_時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。

00Ml0

6.已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=80+2g，則當(dāng)產(chǎn)量q=50單位時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本為3.6

7、函數(shù)/(幻二一一一的間斷點(diǎn)是為=1,々=2。

x-3x+2

8、J[(xcosx+\)dx=2。

I-11-

9、20-1的秩為2o

1-34

X.=0

1()、若線性方程組《,「有非0解，則義=_-1_。

X]+AX2=()

6、若函數(shù)/“)二」一，則""十份―/⑴

1+xh(1+x)(l+工+%)

y=(lnsinx2)r=-----(sinx2)1=—二cos/(x2)r=2xcotx2

解

sinx-sinx~

1+ln(l—x)十,,.

11、y=----------求y(0)A

l-x

(l-x)+[l+In(l-x)]1n(i—x)

解、

(I'(1)2

y'(o)=o

11、設(shè))，=cos2"-sin/,求V

解y'=(cos2r-smx2)'=-2vln2sin2v-2xcosx2

11.已知y=sinx+工，求y'

解：y'=(sinx)'+(cos5x)r=cosx+5cos*xsinx

2

11y=(x——)e2r求)/

x

oo

解y=(x--)e2t+(x--)(e2ty

xx

=(14-^k2x+2(x--)Zv

xx

=e2x(l+2x--+4-)

xx

tcosx七,

y=2------求y

1—x

解V=(21_(UHy

l-x

(cosx)Xl-x)-cosx(l-x\

=2'in2

(17)2

cosx-(l-x)sinx

=2'In2

(If

11.y=Incosx2求)/

解)，=(Incosx2)'=-------r(cosx2)z=-----^-^sinx2=-2jtanx2

cosx-cosx-

11.y=Vl+ln2x求dy

；------------------1_11-1O1

解/=(Vl+ln2x),=-(l+ln2x)3(l+ln2x),=-(l+ln2x)3----n---r

”33x

2—

dy=一(1+In2x)3Inxdx

3x

JV一

11.y=cos—+e~2x求dy

2'

2222

解y'=(cos—)z+(^-2v)'=-sin—(—),-26?"2'=-xsin-——2c”'

2222

r2

(1、-(-xsin)dx

II.y=COS3(1-2A)dy

y*=(cos'(1-2x)Y=-3COS2(1-2x)sin(l-2x)(1-2x)r=2cos2(l-2x)siii(l-2x)

11、e''+yInx=sin2xyr

{exyy+(yinx)'=(sin2x)f

exy(xy+xy)+yInx+—=2cos2x

x

(exyx+Inx)yf=2cos2x-exyy--

x

2cos2x-^v-

y=——：------

er'x+Inx

11.由方程yln(l+x)+*=e2確定的隱函數(shù)，求了

解[)，ln(l+x)]'+(/)'=(e2y

y'ln(l+x)++ex>\y+xyf)=0

1+x

[In(l+x)+x^v]y=-----yexy

1+x

y+(1+x)yexy

y-

(l+x)[ln(l+x)+jr/)']

11.由方程sin)，+x/7=()確定的隱函數(shù)，求V

解(siny)r+(xey)'=O'

y'cosy+ey+xeyyl=0

(cosy+xey)y'=-ey

，~ey

y=----------

cosy+xey

11由方程y=l+xey確定的隱函數(shù)求也

dxx=0

解y=v+(xeyy

y=eK+xeyy'

，"

y=-----------

l-xey

當(dāng)X=0,y=l包

=y'(0)=--------=e

dxX=01-0X6>

11.由方程cos(x+y)+ev=x確定的隱函數(shù)求dy

解[cos(x+y)]'+(ey)'=xf

(I4-y')sin(x+y)+eyy'=1

(ey-sin(x+y)]y'=1+sin(x+y)

_1+sin(x+y)

Vz-

ey-sin(x+y)

,1+sin(x+y),

dy=-------------dx

ey-sin(x+y)

12、

解1(V7Z9+^)dx=12

47^二

12.12xsin2xdx

Jo

C11-￡乃

辭￡2xsin2xdx=-1-xcos2x+—￡2cos2xdx]2=-

04

unx今

J0e'(l+e')d

解+/)2公=.3。+/)2“(]+/)=_[([+/)3In356

0=T

°3

12、J*xlnxdx

Jxlnxdx={^x2In工_//ee21

xax}=一+—

44

12.計(jì)算j/,a

解：=Jinxd(lnx)=；(lnx)2+c

解、j(x2-5x+7)COS2AZZV=-2(x2-5x+7)sin2x+4(2x-5)cos2x+16sin2x+c

11

解exd(—)=ex

x

12.

解,寧ai=2je%4=2e&2

廣2，-e)

12.

12.2xcos2,以r

Jo

廳]—||*]

解Pxcos2x^￡i=—xsin2x2——Psin2AzZr=—COS2A2=——

Jo202]。402

12.jxsin(l-x)dx

r3+xsin.r,

12.————~dx

Jx

r3+xsinx.r3.r.,

解------------dx=—dx+sinxdx=3O1In工-cosx+c

JxJx)

A

12.(3dx

J4+x2

解[—^dx-(—f—re/(4+x2)=-ln(4+x2)+c

J4+x22J4+x22

解J(x+1)Inxdx=3(x+1)2Inx+dx=g(x2+2x)lnx-^--x+c

12.f"—.=dx

Jixjl+lnx

解f—/:dx—f,—f/(l+Inx)=2J1+Inx—2(V3—1)

xy/l+hixJlVl+lnx1

-I021

13、設(shè)矩陣A=-124,B二-2，求(2/-AT)B

3113

解

'20O-1-13-11-3-

因?yàn)?/-Ar二020—021=00-1

002__241_-2-41

1-311-2-9-10

所以（2/—/T）B=00-1-20+0-3-3

-2-413-2+8+39

1001

13.設(shè)矩陣A=0-1,801，求

-I22

解

10

00I2

B'A=0

112-13

-10

-12102010-32

-130101-1101-11

-32

所以

-11

0-212-3

13、設(shè)矩陣A=計(jì)算（ABD」

-200-12

0

0-27-4

?：（AB/）=2

1-20-32

2

7-4101012012102

22

-3201-3201037012.

12

所以（44）T=

22

2.

13

13、設(shè)4=1-15求（/+A）T

-2-1

00303

解I+A=004--15105

0011-21-20

01310010500100-106

105010013100T010-53

1-200010012-10012-11

1065

所以（/+A）T-53-3

21

-15

13、設(shè)矩陣A=\^=?,求(4-/廠⑵

3-6-1

-1-25

解A-I=

33-7

-23-2-3-5

(A-IY]B=

5rj=[5+712

123

13.已知AX=B,其中A二357,B=0,求X

5810

123100123100

解.3570100-1-2-310

58100010-20I

123100100-64

->0123-100105-52

00-1i-210012

-64-1

即A=5-52

2-1

-64

X=A]B=5-5

-I2

02120

13.設(shè)矩陣八二,B=計(jì)算（A『）T

1001-1

20

02121

解ABT=1

1-101

0-1

2]_

T21101-10110

且[ABr/]=112->33

-101022

3301

33

11

MB7")"1=-

31-2

010

13.設(shè)矩陣A=-111求逆矩陣(/-A)-'

-103

1-101-10100

解/—A二10-1且10-1010f

10-2_10-2001

-1-1010o-10002-f-02-f

1

01-1-110T010-111所以（Z-AY=-12-1

01-2-10100101-101-1

~212~--6r

102

13,設(shè)矩陣A=,B=010,C=22計(jì)算+C

1-20

J1002-42

~21211-6160-610r

解BA1+C=0100-2+22=0-2+22=22

00220-4240-42-42

13.設(shè)矩陣A=ni2計(jì)算(ABF

U-20」一

63

10J

解AB=

-2

-211（）]r-2i1（）1[-20-1Tjoii

[9]=4-T

01^0112

21

-2

13.解矩陣方程

3

43

-3-2_

-243

即

34-2

432

X二

-3-221

12-1

13.解矩陣方程X

3520

121023010-52

解

3500-31013-1

2-52

即

353-1

1121-1-583

所以X-J=[：.o

20352034

為+x3=2

.設(shè)線性方程組

14Aj+2X2-x3=0

2x1+x2-axy=b

探討當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解,有唯一解,無(wú)窮多解。

101210121012

解A=01-102-2-201-1

21-ab01a-2b-4001a-1b-3

當(dāng)。二一1/=3方程組無(wú)解;

當(dāng)方程組有唯一解;

當(dāng)。二-12=3方程組有無(wú)窮多解。

X14-x2+x3=0

的一般解。

14.求線性方程組2xt-x2+8.V3+3X4=0

2xi+3々-x4=°

-111O--1110--1031-

解.因?yàn)锳二2—183f01-2-3T01-2-1

230-1_0-3630000

x}+3X34-x4=0

x2-2X2-X3=0

X]=-3^3-x

則一般解為:4

x2=2X3+x4

2x]+5X2+x3+15X4=7

、當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組有解，有解時(shí)求一般解。

14b+2X2-X3+4X4=2

xx+3X2+2xy+1lx4=b

2511571Fl4212-142

解入=11-142-2511570373

13211b\[13211b0000b-5_

12-142

所以當(dāng)b=5是方程組有解，且由A=01373

00000

x=7X+10x-4

得解為《x34

x2=-3X3-7X4+3

再一

25X2+2X3-3X4=0

、求線性方程組?為+的一般解。

142X2-X3+3X4=0

-2X1+14X2-6X3+12X4=0

2-52-3-F12-131p2-I3

解、A=12-13-2-52—3-0-94-9

-214-612-214-612018-819

12-13

t2-52-3

0000

一占+

$+2X23X4=()

2X|-5X2-X-J—3X4=0

1

2=3無(wú)3一14

一般解為《

4

x[-3X2+2X3=0

、設(shè)線性方程組

142x}5X2I3X3—0問(wèn)2為何值時(shí)方程組有非o解，并求一般解。

玉一

38X2+=0

121-32-32

解A=230->01-1

30I幾一600A-5_

所以當(dāng)7=5時(shí)，方程有非。解，一般解為

X)-x2-x4=2

14、求線性方程組彳西一2/+&+4心=3的一般解

2西-3X2+x3+5X4=5

1-10121-10121-1012

解入=1-2143->0-1I31^0-1131

2-3155()-113100000

x1-x2+x4=2

-x2+X3+3X4=1

x=x+2X+1

方程組的一般解為：]34

x2=x3+3x-1

x1-x2+x4=2

14.當(dāng)4為何值時(shí),在有解的狀況下求方程組的一般解

線性方程組“X1—2X2+/+4々=3有解,

2x-=4+2

t3X2+/+5X4

1-101210121Fl-1012

解1-1143->0-I131f()一1131

2-3154+2」[0-1132-2J|_00002-3

當(dāng)a=3時(shí),，方程組有解，原方程組化為

-G-x3-2X4=1

J2-X3-X4=-1

X1=1+x+2X

得解34

x2=-1++3X4

五、應(yīng)用題

15.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q單位時(shí)的成本函數(shù)為：=100+0.25/+6q（萬(wàn)元）

求：（1）當(dāng)q=10時(shí)的總成本、平均成本和邊際成本；

（2）當(dāng)產(chǎn)量q為多少時(shí)，平均成本最小？

.辭（1）總成本C（10）=100+0.25x］（）2+6x10=185

平均成本q叱呼=型2端"

邊際成本C(q)=0.5(7+6C(1O)=0.5x10+6=11

(2)C(q)==—0,25^+6

qq

inn

令c(4)=-專+0.25=0,得口=20

當(dāng)產(chǎn)量為20時(shí)平均成本最小。

15.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C(q)=8q(萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為*(幻=100-2鄉(xiāng)(萬(wàn)元/百臺(tái))，其中q

是產(chǎn)量，問(wèn)

(1)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？

(2)從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生怎么的變更？

解⑴LXq)=R'(q)-C(q)=(100-2^)-8^=100-1()c/

令Z/(4)=0,得q=10

產(chǎn)量為10百臺(tái)時(shí)利潤(rùn)最大。

(2)\L=⑷四=￡"(100-10/內(nèi)二一20

從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將削減20萬(wàn)元。

15.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為200(百元)，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加5(百元)，且已知需求函數(shù)

(7=100-2/;,這種產(chǎn)品在市場(chǎng)上是暢銷的，

(1)試分別列出該產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(q)和總收入函數(shù)R(0表達(dá)式；

(2)求使該產(chǎn)品利潤(rùn)最大的產(chǎn)量及最大利潤(rùn)。

解(1)總成本函數(shù)C(q)=200+5夕

總收入函數(shù)R(q)=pq=50q_Lq2

2

(2)利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)=R(q)-C(q)=45^--1/2-200

令Z/(q)=45-g=0得產(chǎn)量q=45,

即當(dāng)產(chǎn)量為45單位時(shí)利潤(rùn)最大

最大利潤(rùn)1(45)=45x45--x452-200=812.5

2

15.已知某產(chǎn)品的邊際成本為C'(q)=2(元/件)，固定成本為0,邊際收入*(q)=12—0.02q,求：

(1)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？

(2)在最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變更？

解；(1)邊際利潤(rùn)U(q)=R<q)C'(q)=120.0%2=100.024

令//(/=(),得4=500

當(dāng)產(chǎn)量為500是利潤(rùn)最大。

(2)當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時(shí)，利潤(rùn)變更量為

"二￡：(10-0.024)四二(10%0.01/)惴=-251元)

即利潤(rùn)將削減25元。

15、已知某產(chǎn)品的邊際成本為C'(q)=4q-3(萬(wàn)元/百臺(tái))，q為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定成本為18(萬(wàn)元)，求

(1)該產(chǎn)品的平均成本；

(2)最低平均成本。

解(1)成本函數(shù)為C(q)=Jc'(q)d(7=J(4q-3)dq=2q2-3夕+18

則平均成本函數(shù)為不⑷二色@=2^-3+—

qq

(2)0(“)=(21—3+竺)'=2_%

qq-

令0⑷=2-與=o得-3

q-

—is

最低平均成本為C⑶=2x3-3+y=9(萬(wàn)元/百臺(tái)：

15,某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q千件時(shí)的總成本函數(shù)為C(“)=l+2q+92(萬(wàn)元)，單位銷售價(jià)格為〃=8—2"(萬(wàn)元/

千件)，試求

(1)產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大？

(2)最大利潤(rùn)是多少？

解(1)由已知得R(q)=qp=q(8-2q)=-2q2=8“一2q2

利潤(rùn)函數(shù)

L(q)=R(q)-C)⑷=Sq-2q2-(\+2q+q2)=6q-l-3q2

從而有

L\q)=6-6q

令L'(q)=6—6<y=0解q=l,

產(chǎn)量為1千件時(shí)利潤(rùn)最大。

(2)最大利潤(rùn)為

L(l)=6xl-l-3xl2=2(萬(wàn)元)

15設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q臺(tái)時(shí)的邊際成本C'⑷=2.5q+1000(元/臺(tái))，邊際收入R'⑷=2《/+2000,試求獲得最

大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量。

解：邊際利潤(rùn)為

LXq)=R\q)-CXq)

=29+2000—(2.5q+1000)

=-0.5^+1000

令7/（幻=0得夕=2000

當(dāng)產(chǎn)量為2000時(shí)利潤(rùn)最大。

15設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=」-/+3q+ioo(萬(wàn)元)

25

其中q是產(chǎn)量(單位：臺(tái))，求使平均成本最小的產(chǎn)量，并求最小平均成本是多少?

解：平均成本3①)=色@='-9+股

4254

方,、1100

解得4=50

即當(dāng)產(chǎn)量為5()臺(tái)時(shí)，平均成本最小，最小平均成本為

C(50)=—^+3+—=7(萬(wàn)元)

-25qJo=5o

15,生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費(fèi)用是1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)1臺(tái)該品種產(chǎn)品，其成本增加10萬(wàn)元，又知對(duì)該產(chǎn)品的需求

為q=120-2〃(其中q是產(chǎn)銷量(單位：臺(tái))，p是價(jià)格(單位：萬(wàn)元)，求

(I)使該產(chǎn)品利潤(rùn)最大的產(chǎn)量；

(2)該產(chǎn)品的邊際收入。

解：(1)設(shè)總成本函數(shù)為C(q),收入函數(shù)為冗①)，利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)于是

00)=10q+1000

R(q)=qp=60q-gq2

L(q)=R(q)-C(q)=50q--q2-1000

L\q)=50—(7=0

得4=50

即生.產(chǎn)50臺(tái)時(shí)該種產(chǎn)品能獲最大利潤(rùn)。

(3)因?yàn)镽①)=60^—3鄉(xiāng)2,故邊際收入*(/=60(萬(wàn)元/臺(tái))。

15某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為

67=1000-10^,試求：(1)成本函數(shù)，收入函數(shù)；(2)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？

解：(1)成本函數(shù)為。⑷=604+2000因?yàn)閊=1000-10/?,即〃=l()0-；q

所以收入函數(shù)為R(q)=pq=(100-，/夕=lOOq-q?

(2)因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)=R(q)-C(q)=40夕一'二一2000

L\q)=40--^令L\q)=40--^=0得g=200

55

即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大。

15.設(shè)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成