第5章 生活中的軸對(duì)稱（知識(shí)點(diǎn)組合卷·北師版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)）

知識(shí)點(diǎn)組合卷：笫5章生活中的軸對(duì)稱

知識(shí)點(diǎn)1軸對(duì)稱現(xiàn)象

1.下列奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽是軸對(duì)稱圖形的是（

A.等腰三角形B.平行四邊形C.線段D.正方形

3.下列標(biāo)志中是軸對(duì)稱圖形的有幾個(gè)（

OW皿頷$8

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的方塊字中有些也具有對(duì)稱性，下列美術(shù)字是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.我B.愛(ài)C.中D.國(guó)

5.在下列圖形中，其中是軸對(duì)稱圖形且有四條對(duì)稱軸的是（）

6.下列四個(gè)圖案中，具有一個(gè)共有的性質(zhì)，那么在222,606,808,609下面四個(gè)數(shù)中，滿足上述性質(zhì)的一個(gè)是

☆&)d/

7.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，有5個(gè)黑色小正方形.

（1〕請(qǐng)你移動(dòng)一個(gè)黑色小正方形，使移動(dòng)后所形成的4X4的正方形網(wǎng)格圖形是軸對(duì)稱圖形.如：將8號(hào)小正方

形移至14號(hào)；你的另一種做法是將號(hào)小正方形移至號(hào)（填寫(xiě)標(biāo)號(hào)即可）；

（2〕請(qǐng)你移動(dòng)2個(gè)小正方形，使移動(dòng)后所形成的圖形是軸對(duì)稱圖形，你的一種做法是將號(hào)小正方形移至

號(hào)、將號(hào)小正方形移至號(hào)（填寫(xiě)標(biāo)號(hào)即可）.

8.在下列各圖中分別補(bǔ)一個(gè)小正方形，使其成為不同的軸對(duì)稱圖形.

知識(shí)點(diǎn)2探索軸對(duì)稱的性質(zhì)

1.如圖，將一張矩形紙片折疊，若/1=78°,則N2的度數(shù)是（）

2.如圖，將△ABC沿過(guò)邊上兩點(diǎn)D,E的直線折疊后，使得點(diǎn)8與點(diǎn)A重合.若已知BE=4cm,DE=3cm,則4

A8C的周長(zhǎng)與△A。。的周長(zhǎng)的差為（）

3.如圖，NAO8=45°,點(diǎn)M、N分別在射線OA、0B上，MN=6,△OMN的面積為12,P是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)尸關(guān)于。A對(duì)稱的點(diǎn)為P,點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱點(diǎn)為巴，當(dāng)點(diǎn)P在直線MW上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△0PP2的面積最小值

為（）

A

4.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABC。沿Er折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)&處，點(diǎn)8落在點(diǎn)8處，若Nl=115°,

5.如圖，已知點(diǎn)。，E,尸分別在△4BC的三邊上，將△ABC沿OE,。尸翻折，頂點(diǎn)B,C均落在△48C內(nèi)的點(diǎn)。

(2)如果5D_LCE,求NC48的度數(shù).

10.如圖，ABYBC,ADLDC,ZBAD=100°,在8C、CO上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)aAMN周長(zhǎng)最小時(shí)，求/MAN

的度數(shù)是多少？

知識(shí)點(diǎn)3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形

1.一個(gè)等腰三角形的頂角是50。，則它的底角是（）

A.100°B.65°C.70°D.75°

2.如圖，AB//CD,AB=AC,ZI=40°,則NACE的度數(shù)為（）

3.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、8是兩格點(diǎn)，若C也是圖中的格點(diǎn)，則使得△ABC

是以AB為一腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

4.等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12即和21cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為（）

A.11cmB.5cmC.5c或17cmD.無(wú)法確定

5.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC,/E=64。，則NC的度數(shù)為（）

6.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC.NA=40。，。是AC邊上的一點(diǎn)，RAD=BD,則NCB7）=（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.如圖，aABC中，AB=AC,腰AB的垂直平分線。E交A8于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。，且NQBC=15°,則NA的

度數(shù)是（)

E.

D

A.50°B.36°C.40°D.45°

8.如圖，在△ABC中，ZA=90°,ZC=30°,PQ垂直平分3C,與AC交于點(diǎn)P,下列結(jié)論正確的是（)

A.PC<2PAB.PC>2PAC.AB<2PAD.AB>2PA

9.如圖，在△ABC中，NA=36°,A8=AC,平分N4BC,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（)

A.D個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

10.如圖，AB=AC,AE=EC=CD,ZA=60°,若EF=2,貝lj。尸=()

A.3B.4C.5D.6

11.如組，己知△44。的面積為8,在6c上截取3。=84,作N4BC的平分線交AO于點(diǎn)P,連接PC,則△3PC

的面積為（）

12.如圖，/XABC中，AB=AC,。月垂直平分AC,若△BCD的周長(zhǎng)是14,8C=6,則4c的長(zhǎng)是（)

A

2

3-

A.6B.8C.10D.14

13.如圖，在△ABC中，/B=90°,48=6,BC=8,AO為N8AC的角平分線,則三角形AQC的面積為（）

K

14.如圖，NMON=66°,04平分NMON,P是射線OA上的一點(diǎn)，且OP=4,若點(diǎn)Q是射線0M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

2C.3D.4

15.如圖,△ABC中,80平分NABC,C0平分NACB,M,N經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,旦MN〃BC,若AB=5,2XAMN的周長(zhǎng)

等于12,則4c的長(zhǎng)為（）

6C.5D.4

16.如圖，在△A8C中，點(diǎn)。在8c邊上，BD=AD=AC,￡為。。的中點(diǎn).若NC4E=18°,則N8為.

17.如圖，△A3C中，AB=AC,。是4c邊上一點(diǎn)，且3。=4-AD=CD,則N8AC的度數(shù)是

A

18.如圖，在△ABC中，NC=90°,點(diǎn)七是AC上的點(diǎn)，且Nl=/2,?！甏怪逼椒执棺闶恰?，SMED：S^ABC

19.如圖，/XABC中，AB=4cm,BC=AC=5cmfBD,C7)分別平分/AAC,NAC氏點(diǎn)。至UAC的距離是1cm,

則△ABC的面積是.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,NDBC=28°,JIBDLAC,則NA=

21.如圖，在△A8C中，AB=AC,BC=10,AO是NBAC平分線，則

22.如織，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O,分別交BC于點(diǎn)。、E,已

知△?1￡)￡1的周長(zhǎng)5cm.

(1)求8c的長(zhǎng)；

(2)分別連接04、OB、0C,若△08C的周長(zhǎng)為13cm,求04的長(zhǎng).

3/

X

延長(zhǎng)8c到E,使CE=』8C.點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)EO交4B

23.如圖，△ABC是等邊三角形,

2

于「求證：

(1)EFIAB^

(2)DE=2DF.

TV

24.已知，△ABC是等邊三角形,D、E、產(chǎn)分別是48、BC>4c上一點(diǎn)，且/。七斤=60°.

(1)如圖1,若Nl=50°,求N2；

(2)如圖2,連接。R若Nl=/3,求證：DF〃BC.

AA

AA

BECBEC

圖1圖2

25.如圖，在△ABC中，A8=AC,ZBAC=100°,BD平分/ABC,且8O=AB,連接4。、DC.

(1)求證；々CAD=/DBC；

(2)求NB。。的度數(shù).

zX

B

知識(shí)點(diǎn)4利用軸對(duì)稱進(jìn)行設(shè)計(jì)

1.如圖，在3X3的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的AABC

為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫(huà)出（）個(gè)格點(diǎn)三角形與△AOC成軸對(duì)稱.

C

B

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

2.如圖所示的方格紙，已有兩個(gè)小正方形被涂黑，再將圖中其余小正方形涂黑一個(gè)，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一

個(gè)軸對(duì)稱圖形，那么涂法共有（）種.

B.5C.4D.3

3.請(qǐng)?jiān)谌鐖D四個(gè)3X3的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出與格點(diǎn)三角形（陰影部分）成軸對(duì)稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，并將

所畫(huà)三角形涂上陰影.（注：所畫(huà)的四個(gè)圖不能重復(fù)）

4.圖①、圖②、圖③都是6X6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，線

段A8的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，在圖①、圖②、圖③中，分別以A8為邊畫(huà)一個(gè)面積為學(xué)的三角形，在給定的網(wǎng)格

乙

中，只用無(wú)刻度的直尺，按下列要求畫(huà)圖，只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)畫(huà)法.

（1）在圖①中畫(huà)△ABC,使NBAC=45°.

（2J在圖②中畫(huà)△A3Q,使△A8D是軸對(duì)稱圖形.

（3）在圖③中畫(huà)使A3邊上的高將△A4E分成面積比為1：2的兩部分.

圖①圖②圖③

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系人Qy中，

(1)作出△ABC關(guān)于)，軸對(duì)稱的用C1；

(2)在x軸上找出一個(gè)點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A、8兩點(diǎn)的距離相等.

6.己知△A8C在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

(1)把△A4C沿)，軸翻折得到△人，"C',畫(huà)出夕C',并寫(xiě)出點(diǎn)A'的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸(〃］，〃)在△ABC內(nèi)部，當(dāng)△ABC沿)，軸翻折后，點(diǎn)戶對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)是

(3)求△ABC的面積.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A8C各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：4(-2,4),8(-4,2),C(-3,1),按下列要

求作圖，保留作圖痕跡.

(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△AiBiCi(點(diǎn)A、C分布而應(yīng)Ai、CI)

(2)請(qǐng)?jiān)?，軸上找出??點(diǎn)P,滿足線段AP+BiP的值最小.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZXABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-I).

(I)寫(xiě)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△48iCi的各頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)畫(huà)出△4BC關(guān)于y軸對(duì)稱的△AzB2c2;

(3)求AA282c2的面積.

VA

知識(shí)點(diǎn)組合卷：笫5章生活中的軸對(duì)稱

參考答案

知識(shí)點(diǎn)1軸對(duì)稱現(xiàn)象

1.下列奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽是軸對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：4、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

從不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D,是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

故選：

2.下歹J圖形不是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.等腰三角形B.平行四邊形C.線段D.正方形

【解答】解：4、是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

C、是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D,是軸對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選：B.

3.下歹J標(biāo)志中是軸對(duì)稱圖形的有幾個(gè)（）

aw0修$e

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【解答】解：標(biāo)志中是軸對(duì)稱圖形的為：

QW回@

故選:B.

4.現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的方塊字中有些也同有對(duì)稱性，下列美術(shù)字是軸對(duì)稱圖形的是（)

A.我B.愛(ài)C.中D.國(guó)

【解答】解：A、我，不是軸對(duì)稱圖形；

B、愛(ài)，不是軸對(duì)稱圖形；

C、中，是軸對(duì)稱圖形；

。、國(guó)，不是軸對(duì)稱圖形；

故選:C.

【解答】解：A.是軸對(duì)稱圖形且有兩條對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)不合題意;

B.是軸對(duì)稱圖形且有兩條對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)不合題意；

C是軸對(duì)稱圖形且有4條對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

6.下列四個(gè)圖案中，具有一個(gè)共有的性質(zhì)，那么在222,606,808,609下面四個(gè)數(shù)中，滿足上述性質(zhì)的一個(gè)是

☆&d/

【解答】解：四個(gè)圖案都是軸對(duì)稱圖形，

在222,606,808,609四個(gè)數(shù)中，808是軸對(duì)稱圖形，

故答案為：808.

7.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，有5個(gè)黑色小正方形.

（1〕請(qǐng)你移動(dòng)一個(gè)黑色小正方形，使移動(dòng)后所形成的4X4的正方形網(wǎng)格圖形是軸對(duì)稱圖形.如：將8號(hào)小正方

形移至14號(hào)；你的另一種做法是將9號(hào)小正方形移至3號(hào)（填寫(xiě)標(biāo)號(hào)即可）；

（2）請(qǐng)你移動(dòng)2個(gè)小正方形，使移動(dòng)后所形成的圖形是軸對(duì)稱圖形，你的一種做法是將_2_號(hào)小正方形移至3

號(hào)、將13號(hào)小正方形移至4號(hào)（填寫(xiě)標(biāo)號(hào)即可）.

【新答】解：（1）移動(dòng)一個(gè)黑色小正方形，使移動(dòng)后所形成的4X4的正方形網(wǎng)格圖形是軸對(duì)稱圖形，另一種做

法是將9號(hào)小正方形移至3號(hào)：

（2）移動(dòng)2個(gè)小正方形，使移動(dòng)后所形成的圖形是軸對(duì)稱圖形，做法是將9號(hào)小正方形移至3號(hào)、將13號(hào)小正

方形移至4號(hào)（答案不唯一）.

故答案為：9,3；9,3,13,4.

8.在下列各圖中分別補(bǔ)一個(gè)小正方形，使其成為不同的軸對(duì)稱圖形.

（圖1）（圖2）（圖3）

（圖1）（圖2）（圖3）

知識(shí)點(diǎn)2探索軸對(duì)稱的性質(zhì)

1.如圖，將一張矩形紙片折疊，若/1=78°,則N2的度數(shù)是()

【分析】根據(jù)翻折可得，Z2=Z4,根據(jù)矩形紙片的對(duì)邊平行，得N1=N3=78°,進(jìn)而可求/2的度數(shù).

【解答】解：如圖，

根據(jù)翻折可知：Z2=Z4,

根據(jù)矩形紙片的對(duì)邊平行，得N1=N3=78。，

/.Z2="(180°-78°)=51°.

2

故選:A.

【，點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

2.如圖，將△A4C沿過(guò)邊上兩點(diǎn)。，￡的直線折疊后，使得點(diǎn)3與點(diǎn)A重合.若已知DE=3cm,則4

ABC的周長(zhǎng)與△ADC的周長(zhǎng)的差為()

【分析】由折疊的性質(zhì)得BE=AE=4,△A8C的周長(zhǎng)-△AOC的周長(zhǎng)=43+BC+AC-AC-C。-AO

=AB,即可得出結(jié)果.

【解答】解：???將△ABC沿直線OE折疊后，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，

：,AD=BD,BE=AE=4,

???AB=8E+AE=4+4=8,

一?△ABC的周長(zhǎng)-△AOC的周長(zhǎng)=A8+8C+AC-AC-CD-AD=AB+BD-AD=AB=S(cm),

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形周長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，NAO8=45°,點(diǎn)、M、N分別在射線。A、OB上，MN=6,△OWN的面積為12,P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)。關(guān)于Q4對(duì)稱的點(diǎn)為為，點(diǎn)尸關(guān)于08對(duì)稱點(diǎn)為尸2,當(dāng)點(diǎn)P在直線NM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△0PP2的面積最小值

為()

C.12D.18

【分析】連接OP，過(guò)點(diǎn)0作0H1NM交NM的延長(zhǎng)線于H.首先利用三角形的面枳公式求H0H,再證明△

0PP2是等腰直角三角形，0P最小時(shí)，△OP1P2的面積最小.

【解答】解：連接OP，過(guò)點(diǎn)。作0H_LNM交NM的延長(zhǎng)線于凡

*/S^0MN=—?MN*0H=12,MN=6,

2

?1點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為Pi，點(diǎn)P關(guān)于0B對(duì)稱點(diǎn)為尸2,

/.ZAOP=ZAOP],/POB=/P?OB,OP=OP\=OP2

?.?N4O8=45°,

：.AP\0Pi=2(NPOA+NPOB)=90°,

???△OP1P2是等腰直角三角形，

：,OP=OP\最小時(shí)，Z\OPi尸2的面積最小，

根據(jù)垂線段最短可知，OP的最小值為4,

???△OPP2的面積的最小值=1X4X4=8,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考行軸對(duì)稱，三角形的面積，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△OPIP2是等腰直角三角形,

屬于中考?？碱}型.

4.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片A8C。沿七廠折疊后，點(diǎn)A落在CO邊上的點(diǎn)4'處，點(diǎn)3落在點(diǎn)9處，若Nl=115°,

【分析】由鄰補(bǔ)角概念和翻折變換性質(zhì)得出NEFB'=Z1=1I5C,ZEFC=65°,據(jù)此知/CF8'=50°,結(jié)

合NB=/8'=90°知N2=90°-ZCFB1,從而得出答案.

【解答】解：???/1=115°,

:?NEFB'=Z1=115°,ZEFC=65°,

:?NCFB'=50°,

又?：NB=NB'=90°,

AZ2=90o-NCFB'=40°,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)及直角三角形

兩銳角互余、對(duì)頂角相等的性質(zhì).

5.如圖，已知點(diǎn)。，E,尸分別在△44C的三邊上，將△A8C沿。E,。尸翻折，頂點(diǎn)4,C均落在△ABC內(nèi)的點(diǎn)O

處，且8。與CO重合于線段OO,若NAEO+NA產(chǎn)。=58°,則/A的度數(shù)為（）

A.58°B.59°C.60°D.61°

【分析】連接80、CO,由折疊的性質(zhì)得BO=CD=O。，則N8OC=90°,NOBC+NOCB=90°,又由折疊的

性質(zhì)得EO=DB,FO=FC,得出/EBO=NEOB,ZFOC=ZFCO,由三角形外角性質(zhì)得出2/EBO+2/FCO

=58°,得出/仍。+/尸。。=29°,則乙48。+乙4。8=/班。+/廣。。+/08。+/。。8=119°,即可得出結(jié)果.

【新答】解：連接80、co,如圖所示：

由折疊的性質(zhì)得：BD=CD=OD,

80c=90°,ZOBC+ZOCB=9()0,

又由折疊的性質(zhì)得：E0=DB,F0=FC,

：.NEBO=NEOB,ZFOC=NFCO,

V^AEO=2ZEBO,NAF0=2NFC0,NAE0+/A/。=58°,

/.2ZEBO+2ZFCO=58°,

???NEBO+/"O=29°,

/.ZABC+ZACB=ZEB0+ZFCO^Z0BC+ZOCB=290+90°=119°,

???NA=18()°-(ZABC+ZACB)=180°-119°=61°,

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的的性質(zhì)、直角三角形的判定、三角形外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定

理等知識(shí)；熟練掌握折疊的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)與解題的關(guān)源.

6.如圖，在銳角三角形ABC中AB=2,ZBAC=45°,NB4C的平分線交于點(diǎn)D,M、N分別是AD和A8上

的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）

A.IB.^2C.2D.VS

【分析】從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考,通過(guò)構(gòu)造全等三角形，利用三:角形的三邊的關(guān)系確定線段之和的最小值.

【解答】解：如圖，在AC上截取AE=AM連接BE,

,/NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,

在△AME與△AMN中，

AE=AN,4EAM=4NAM,AM=AM,

(SAS),

:.ME=MN.

???BM+MN=BM+ME^BE,

當(dāng)BE是點(diǎn)8到直線AC的距離時(shí)，BE1AC,此時(shí)8M+MN有最小值，

???AB=2,ZBAC=45°,此時(shí)aABE為等腰直角三角形，

:,BE=a,即BE取最小值為亞，

???BW+MN的最小值是血.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考瓷了釉對(duì)稱的應(yīng)用.利用角平分線，構(gòu)造全等二角形，把8M+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化AM是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在邊CO上，將該矩形沿AE折疊，恰好使點(diǎn)。落在邊BC上的點(diǎn)尸處，如果/

BAF=60°,求ND4￡的大小.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可求ND4E再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得ND4E的度數(shù).

【解答】解：???四邊形人BCO是矩形，

，N8AC=90°,

.\ZD4F=90°-60°=30°,

由翻折的性質(zhì)可得/04￡=2/以尸=15°.

2

【點(diǎn)評(píng)】考查了翻折變換(折疊問(wèn)題)，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

8.如圖1和圖2,P是直線〃?上一動(dòng)點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在直線機(jī)的同側(cè)，且點(diǎn)A、8所在直線與〃?不平行.

(1)當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P位置時(shí)，距離A點(diǎn)最近，在圖1中的直線〃?上畫(huà)出點(diǎn)Pi的位置；

(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P2位置時(shí)，與A點(diǎn)的距離和與B點(diǎn)距兩相等，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出P2位置；

(3)在直線〃?上是否存在這樣一點(diǎn)P3,使得到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之和最小？若存在請(qǐng)?jiān)趫D3中作出

這點(diǎn)，若不存在清說(shuō)明理由.(要求：不寫(xiě)作法，請(qǐng)保留作圖痕跡)

BBB.

------------------------1-w------------------------1—m-----------------------------m

PPp

圖1圖2圖3

【分析】(1)當(dāng)4PiJ_根時(shí)，P1距離點(diǎn)4最近；

(2)作AB的垂直平分線交m于點(diǎn)P2即可；

(3)作點(diǎn)A關(guān)于直線小的對(duì)稱點(diǎn)4',連接A'B交直線〃?于點(diǎn)P3.

【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作直線小的垂線，垂足為

則Pl即為所求；

B.

P.—P

圖1

(2)作線段人4的垂直平分線交直線〃？『P2,

(3)作點(diǎn)A關(guān)于直線機(jī)對(duì)稱點(diǎn)A',連接BA'交直線〃［于P3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂線段的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱變換，掌握它們的性質(zhì)和基本尺規(guī)作圖是

解題的關(guān)鍵.

9.如圖，將△ABC分別沿AC翻折得到△A6Q和△4EC,線段8。與交于點(diǎn)P,連接4E

(1)如果NA8C=I6°,N4C8=30°,求ND4E的度數(shù);

(2)如果8DJ_CE,求/CAR的度數(shù).

三

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得N2=N1=3O°,N4=N3=16'，由周角的性質(zhì)和外角性質(zhì)可求解;

（2）由三角形內(nèi)角和定理可求解?.

【解答】解：（1）???△A4C沿AC、A4翻折得到△AEC和△A6Q,

???△AEC/ZUBC,△A8。g△48C.

/.Z2=Z1=3O°,Z4=Z3=16°,

ZEAC=ZBAD=ZBAC=180°-30°-16°=134°,

*/ZDAC=360°-/BAD-ABAC,

.*.ZDAC=360°734°-134°=92°,

：.^DAE=ZEAC-ZD4C=134°-92°=42°；

(2)VBD1CE,

/.Z5=90°,

：,ZDBC+ZECB=90°.

VZ1=Z2,Z3=Z4,

???NOBC+NEC4=2N3+2N1=90°.

；?N3+NI=45°,

在△ABC中，ZCAB=180°-(Z3+Z1)=180°-45°=135°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

10.如圖，AB1BC,ADVDC,ZfiAZ)=100°,在BC、C。上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)aAMN周長(zhǎng)最小時(shí)，求NM4N

的度數(shù)是多少？

D

B

【分析】據(jù)要使aAMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出4關(guān)于和C。

的對(duì)稱點(diǎn)A',A〃，即可得出入小'M+/4"'=80",進(jìn)而得出NAMN+N4NM=2(N/U'M+NA〃)，即

可得出答案.

【解答】解：作A關(guān)于和C。的對(duì)稱點(diǎn)A',4",連接4'A,r,交8c于M,交C。于M則4'A〃即為

△AWN的周長(zhǎng)最小值.

VZDAB=100°,

工/AA'M+N4”=1800-ZBAD=180°-100°=80°,

-：ZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA>,,且NMA'A-^-ZMAA'=NAMN,ZNAD+ZA>,=NANM,

???N4MN+NANM=NMA'A+ZMAA'+NNAD+/A"=2(/A4‘M+NA")=2X80°=160°,

NMAN=180°-160°=20°.

故蘭△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，/MAN的度數(shù)是20°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱-最拉路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直

平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形

1.一個(gè)等腰三角形的頂角是50。，則它的底角是（）

A.100°B.65°C.70°D.75°

【解答】解：???三角形為等腰三角形，且頂角為50。，

???底角=（180°-50°）4-2=65°.

故選:B.

2.如圖，AB//CD,AB=AC,21=40。,則/ACE的度數(shù)為（）

【解答】解：丁4。=",

???NAC8=NI=40°,

\*AB//CD,

AZBCE=1800-ZI=4O0,

ZACE=ZBCE-ZACB=100s,

故選:B.

3.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、8是兩格點(diǎn)，若C也是圖中的格點(diǎn)，則使得△ABC

是以A8為一腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

【解答】解：如圖，以A〃為等腰△A。。其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

故選：C.

4.等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12c7〃和21cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為（）

A.17cmB.5cmC.5c，〃或17cmD.無(wú)法確定

【新答】解：設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是xa〃，底邊是“所

x-^x=21

X忖X=12

乙

根據(jù)題意，得：或＜

y+yx=21y+yx=12

解得卜=8或卜..

ly=17ly=5

再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知：8,8,17不能組成三角形，應(yīng)舍去.

所以它的底邊K是5cm.

故選：B.

5.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC,NB=64°,則NC的度數(shù)為（）

A.30°B.32°C.40°D.48°

【解答】解：:△AB。中，AB=AD,/8=64°,

/.Z^=ZAD^=64°,

AZADC=180°-ZADB=H60,

*：AD=CD,

AZC=(180°-ZADC)4-2=(180°-116°)4-2=32°,

故選：B.

6.如圖，在等腰AABC中，AB=AC.NA=40°,。是AC邊上的一點(diǎn)，且4Q=BQ,則NC8O=()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：'：AB=AC,NA=40°,

，NA4C=NC=7(r,

?；AD=BD,

.??NAM=/A=40”,

???NCBD=7(T-40°=30°,

故選：A.

7.如圖，△ABC中，AB=AC,腰AB的垂直平分線交A8于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。，且NOBC=15°,則NA的

度數(shù)是（）

【解答】解：??F8的垂直平分線。石交AC于。,

:?AD=BD,

???NA=N4B。，

*：AB=AC,

/.NABC=/C,

ZDBC=\50,

，NA8C=NC=NA+15°,

在△ABC中，/A+NABC+NC=180°,

，NA+NA+15°+NA+15°=180°,

解得NA=50°.

故選:A.

8.如圖，在△ABC中，NA=90",ZC=30°,PQ垂直平分3C,與AC交于點(diǎn)P,卜列結(jié)論正確的是（)

A.PC<2PAB.PC>2PAC.AI3<2PAD.AI3>2PA

【解答】解：連接BP,

VZA=90°,ZC=30°,

???NABC=60°,

???PQ垂直平分8C,

：?PB=PC,

AZPBC=ZC=30°,

AZABP=30°,

22

：.PC=2PAf故4、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

VZA=90°,

，ABVP8V2M

???C正確，。錯(cuò)誤；

故選：C.

小AL

9.如圖，在△ABC中，ZA=36°,AB=AC,BD平分乙4BC,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）

A.。個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解答】解：???A8=4C,

???△A3。為等腰三角形，

/.ZABC=^C=—(180°-NA)=—(180°-36°)=72°,

22

Y8D平分NA8C,

A^ABD=^CBD=—X72°=36°,

2

/.ZABD=ZA,

???△A3。為等腰三角形，

?「N8OC=N4+NA8O=72°,

:?NBDC=NC,

???△BDC為等腰三角形.

故選：。.

10.如圖，AB=AC,AE=EC=CD,ZA=60°,若EF=2,則。()

A

尸J

E

BcD

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作￡G_L3C,交BC于點(diǎn)、G

*：AB=AC,ZA=60°

???△ABC是等邊三角形

???NAC8=60°

?；EC=CD

???ZCED=ZCDE=-ZACB=30°

2

所=30°

...N4產(chǎn)E=90°,即EF^AB

???△ABC是等邊三角形，AE=CE

平分NA8c

:.EG=EF=2

在RiZXOEG中，DE=2EG=4

：.DF=EF+DE=2+4=6

故選；D.

11.如羽，已知△ABC的面積為8,在BC上截取BO=84,作NABC的平分線交AO于點(diǎn)P,連接PC,則ABPC

的面積為（）

【解答】解：???8Q=BA,樣是NA8C的平分線,

:.AP=PD,

SLBPD=—>S^CPD=-S^CDi

22

:.S^BPC—S&BPD^SdCPD=-SAACD=--SiABC>

222

???△ABC的面積為8,

:.S^BPC=—X8=4.

2

故選：B.

12.如圖，ZVIBC中，AB=AC,OE垂直平分AC,若△BCQ的周長(zhǎng)是14,BC=6,則AC的長(zhǎng)是()

A.6B.8C.1UD.14

【解答】解：〈DE垂直平分4C，

：.AD=CD.

?.?△3。。的周長(zhǎng)是14,BC=6,

：.AB=BD+CD=14-6=8,

??FB=AC,

?"C=8.

故選：B.

13.如圖，在△48C中，NB=90°,4B=6,BC=8,A。為N84C的角平分線，則三角形AQC的面積為（）

【解答】解：作DH_LAC于〃，如圖，

在RtZ\A8C中，NB=90°,A8=6,8c=8,

.*.4C=^^2+g2=1(),

???AD為NB4C的角平分線，

：.DB=DH,

22

/.6(8-DH)=\ODH,解得DH=3,

ASAADC=—X10X3=15.

2

故選：D.

14.如圖，NMON=60°,QA平分NMOMP是射線04上的一點(diǎn)，且OP=4,若點(diǎn)。是射線0M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

【解答】解：作尸。'J_OM于Q',

?；/MON=60°,OP平分NMOM

NPOQ'=30°,

,PQ'=—OP=2,

2

由垂線段最短可知，PQ的最小值是2,

15.如弱，△ABC中，BO平分NA8C,CO平分NACB,M,N經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且MN//BC,若AB=5,△AMN的周長(zhǎng)

等于12,則AC的長(zhǎng)為（）

R

A.7B.6C.5D.4

【解答】解：:BO平分NCSA,CO平分NAC8,

MBO=NOBC,ZOCN=ZOCB,

'：MN〃BC,

：,NMOB=NOBC,NNOC=NOCB,

：.NMBO=NMOB,NNOC=NNCO,

：.MO=MB,NO=NC,

??FB=5,△AMN的周長(zhǎng)等于12,

/./\AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=A8+AC=5+AC=12,

AAC=7,

故選:4.

16.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在BC邊上，BD=AD=AC,E為C7）的中點(diǎn).若NCAE=I8°,則為36

【解答】解：???AD=4C,點(diǎn)E是CD中點(diǎn),

：.AE±CD,

AZAEC=90°,

??.NC=90°-ZCAE=72°,

\'AD=AC,

，NAOC=NC=72°,

?:AD=BD,

.,.2Z77=Z/4DC=72°,

AZB=36°,

故答案為：36°.

17.如圖，△ABC中，AB=AC,。是灰?邊.匕一點(diǎn)，且8O=A8,AD=CD,則N5AC的度數(shù)是一108°

【解答】解：???AO=C。,

，設(shè)ND4C=NOC4=x0，

，：AB=AC=BD,

AZBDA=ZBDA=ZDAC+ZC=2x0,NB=NC=x°,

，N8AC=3NC=3x°,

VZ^+ZBAC+ZC=180°,

.,.5A=180,

/.ZC=36°,

/.ZBAC=3ZC=108°,

故答案為：108°.

18.如圖，在△/13c中，NC=90°,點(diǎn)E是AC上的點(diǎn)，且N1=N2,?！甏怪逼椒諥8垂足是。，SMED：S?ABC

=1；3

【解答】解：???。￡垂直平分4B,

；,AD=BD,

S&ADE=SABDE,

VZ1=Z2,NC=NBDE=90。,BE=BE,

：,4BDE@MCE(AAS),

^?SABDE=S^.BCE,

ASMED：5MBC=I：3,

故答案為：1：3.

19.如圖，△ABC中，AB=4cm,BC=AC=5cm,BD,C。分別平分NABC,NAC8,點(diǎn)。到AC的距離是1cm,

則△ABC的面積是7.

【解答】解：如圖，作。E_LAB于E,DFLBCfF,DH1AC于H,連接4D,則DH=1,

?:BD,C。分別平分NA8C,ZACB,

：,DF=DH=\,DE=DF=l,

**?S^AHC—SMBD^~SdBCD^S“CD----X4X1+—X5X1+—X5X1-7.

222

故答案為7.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,/OBC=28°,BDLAC,則NA=56°.

【解答】解：:坑，是AC邊上的商，

AZDBC+ZC=90o,ZD5C=28°.

/.ZC=62°

t：AB=AC,

???NA=1800-2ZC=180°-124°=56°,

故答案為：56.

21.如圖，在△A8C中，AB=AC,BC=10,4。是NB4C平分線，則BD=5

【解答】解：'：AB=AC,/"AC的平分線交4C邊于點(diǎn)。，Z?C=10,

：.BD=CD=—BC=5,

2

故答案為：5.

22.如圖，在△48。中，邊48的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)。，分別交BC于點(diǎn)。、E,已

知AAOE的周長(zhǎng)5cm.

(1)求4c的長(zhǎng)；

(2)分別連接。4、OB、OC,若△04C的周長(zhǎng)為13c〃?，求04的長(zhǎng).

3/

B--------------A/E-------。

【解答】解：(1)???QM是線段48的垂直平分線,

:?DA=DB,

同理，EA=EC,

■:ZSADE的周長(zhǎng)5,

：.AD+DE+EA=5,

ABC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=5(cw)；

(2);△OBC的周長(zhǎng)為13,

：?OB+OC+BC=\3,

???8C=5,

???OB+OC=8,

???OM垂直平分48,

???OA=O8,

同理，OA=OC,

0.4=0I^=0C=4(cm).

A

23.如圖，△A8C是等邊三角形，延長(zhǎng)8c到E,使。.點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)EO交A3

2

于尸求證：

(1)EFA.AB-,

(2)DE=2DF.

A

D

BCE

【解答】證明：(1)???△ABC是等邊三角形,

：.AC=BC,ZACB=ZB=60a,

???。為AC的中點(diǎn)，

：.AD=CD=—AC,

2

-：CE=—BC,

2

，CD=CE,

VZE+ZCDE=ZACB=60°,

???NE=NCOE=3()0,

VZB=60°,

.?.ZEFfi=180°-60°-30°=90°,

即EF1.AB；

(2)連接4。,

「△ABC是等邊三角形,

:?AB=BC,NABC=6(T，

???。為AC的中點(diǎn),

???N。8c=/48。=/乙48。=30。，

VZ￡=30°,

:?/DBC=NE,

:?DE=BD,

???/BFE=90°,ZABD=30°,

:.BD=2DF,

即DE=2DF.

24.已知，ZVIBC是等邊三角形，。、E、尸分別是A8、BC.AC上一點(diǎn)，且NOE尸=60°.

(1)如圖1,若Nl=50°,求N2；

(2)如圖2,連接OF,若/1=/3,求證：DF//BC.

/.ZB=ZA=ZC=60c,

VZZ?+Zl+ZD￡B=180°,

NDEB+NDEF+N2=180°,

VZDEF=60°,

；?N1+NDEB=N2+NDEB,

.?.Z2=Zl=50°；

(2JVZB