2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步單元質(zhì)量評估含解析新人教B版必修第二冊

PAGEPAGE1第六章平面對量初步一、選擇題(每小題5分，共60分)1．下列命題中正確的是(C)A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．隨意兩個相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn)C．a(chǎn)與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行解析：由于零向量與任一向量都共線，所以當(dāng)b為零向量時，a與c不肯定共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中探討的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同始終線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，這與已知a與b不共線沖突，所以假設(shè)不成立，即a與b都是非零向量，C正確．故選C.2．已知三個力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力f4，則f4等于(D)A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析：依據(jù)力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．3．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，則a＋b等于(A)A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)解析：因?yàn)橄蛄縜＝(2,1)，b＝(x，－2)，a∥b，所以2×(－2)＝1×x?x＝－4，所以a＝(2,1)，b＝(－4，－2)，a＋b＝(－2，－1)，故選A.4．已知M，P，Q三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿意8eq\o(OM,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，則下列結(jié)論正確的是(D)A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝－3eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))－4eq\o(MQ,\s\up6(→))D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(MP,\s\up6(→))＋4eq\o(MQ,\s\up6(→))解析：由8eq\o(OM,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up6(→))＋3(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋eq\o(4OM,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→)))＝0，則eq\o(OM,\s\up6(→))＋3eq\o(PM,\s\up6(→))＋4eq\o(QM,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(MP,\s\up6(→))＋4eq\o(MQ,\s\up6(→)).故選D.5．在平行四邊形ABCD中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，則下列運(yùn)算正確的是(B)A．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0B．a(chǎn)－b＋c－d＝0C．a(chǎn)＋b－c－d＝0D．a(chǎn)－b－c＋d＝0解析：a－b＋c－d＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.6．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為(C)A．平行四邊形 B．矩形C．梯形 D．菱形解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為梯形．7．已知△ABC的三個頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，下列結(jié)論中正確的是(D)A．P在△ABC的內(nèi)部 B．P在△ABC的邊AB上C．P在AB邊所在直線上 D．P在△ABC的外部解析：由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))可得eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四邊形PBCA為平行四邊形．可知點(diǎn)P在△ABC的外部．故選D.8．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則(A)A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.9．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，若A，B，C三點(diǎn)共線，則(D)A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴存在m∈R，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))∴λμ＝1，故選D.10．設(shè)M是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，D是AC的中點(diǎn)，則eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BM,\s\up6(→))|)))的值為(A)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．1D．2解析：因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)×2eq\o(MD,\s\up6(→))＝－3eq\o(MD,\s\up6(→))，故eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(MB,\s\up6(→))|)))＝eq\f(1,3)，故選A.11．△ABC中，D在AC上，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，P是BD上的點(diǎn)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，則m的值為(A)A.eq\f(5,9)B.eq\f(7,9)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)解析：eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)·eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\f(λ,2)＝eq\f(2,9)，λ＝eq\f(4,9)，則m＝1－λ＝eq\f(5,9)，故選A.12．若向量a＝(x,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，c＝a＋2b，d＝2a－b，且c∥d，則c－2d等于(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，5))C．(1,2) D．(－1，－2)解析：由已知得c＝(x＋1,4)，d＝(2x－eq\f(1,2)，3)，∵c∥d，∴3(x＋1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))，∴x＝1，∴c＝(2,4)，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，∴c－2d＝(－1，－2)．二、填空題(每小題5分，共20分)13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝__－1__.解析：解析：∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)，∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.14．已知正方形ABCD的邊長為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則a＋b＋c的模等于2eq\r(2).解析：|a＋b＋c|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).15．已知e1，e2不共線，且(3x－4y)e1＋(2x＋3y)e2＝2e1＋7e2，則x－y等于__1__.解析：∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝2，,2x＋3y＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))∴x－y＝1.16．如圖所示，已知△OAB，由射線OA和射線OB及線段AB構(gòu)成如圖所示的陰影區(qū)(不含邊界)．(1)若D為AB中點(diǎn)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)；(2)已知下列四個向量：①eq\o(OM1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))；②eq\o(OM2,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；③eq\o(OM3,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(OM4,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→)).對于點(diǎn)M1，M2，M3，M4，落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)的點(diǎn)有__M1，M2__(把全部符合條件點(diǎn)都填上)．解析：(1)若D為AB中點(diǎn)，則由向量的加法法則可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(2)設(shè)M在陰影區(qū)域內(nèi)，則射線OM與線段AB有公共點(diǎn)，記為N，則存在實(shí)數(shù)t∈(0,1]，使得eq\o(ON,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))，且存在實(shí)數(shù)r＞1，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝req\o(ON,\s\up6(→))，從而eq\o(OM,\s\up6(→))＝rteq\o(OA,\s\up6(→))＋r(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))，且rt＋r(1－t)＝r＞1.又由于0＜t≤1，故r(1－t)≥0.對于①中rt＝1，r(1－t)＝2，解得r＝3，t＝eq\f(1,3)，滿意r＞1也滿意r(1－t)≥0，故①滿意條件．對于②中rt＝eq\f(3,4)，r(1－t)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(13,12)，t＝eq\f(9,13)，滿意r＞1也滿意r(1－t)≥0.故②滿意條件．對于③中rt＝eq\f(1,2)，r(1－t)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(5,6)，t＝eq\f(3,5)，不滿意r＞1，故③不滿意條件．對于④中rt＝eq\f(3,4)，r(1－t)＝eq\f(1,5)，解得r＝eq\f(19,20)，t＝eq\f(15,19)，不滿意r＞1，故④不滿意條件．三、解答題(共70分)17．(10分)如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)．設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).解：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)b－a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,3)b－a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)b＋(eq\f(1,3)b－a)＝eq\f(1,6)b－a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b－(eq\f(1,6)b－a)＝a－eq\f(2,3)b.18．(12分)已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，求eq\o(CD,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：設(shè)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．由題意得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,6)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2,2－y2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6)．因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))所以點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)，(－2,0)．從而eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－4)．19．(12分)平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求3a＋b－2c；(2)求滿意a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－eq\f(16,13).20．(12分)已知小船在靜水中的速度與河水的流速都是10km/h，(1)小船在河流中行駛的實(shí)際速度的最大值與最小值分別是多少？(2)假如小船在河南岸M處，對岸北偏東30°處有一個碼頭N，小船的航向如何確定才能直線到達(dá)對岸碼頭(河水自西向東流)?解：(1)小船順流行駛時實(shí)際速度最大，最大值為20km/h，小船逆流行駛時實(shí)際速度最小，最小值為0km/h，此時小船是靜止的．(2)如圖所示，設(shè)eq\o(MA,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(MN,\s\up6(→))表示小船實(shí)際過河的速度，eq\o(MB,\s\up6(→))的方向表示小船的航向．設(shè)MC⊥MA，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∠CMN＝30°.∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，∴四邊形MANB為菱形．在△MNB中，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝10，∴∠BMN＝60°.又∵∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°.∴小船要由M直達(dá)碼頭N，其航向應(yīng)為北偏西30°.21．(12分)如圖所示，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，DC的中點(diǎn)，連接BE，BF，分別交AC于R，T兩點(diǎn)．求證：AR＝RT＝TC.證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AR,\s\up6(→))＝r，eq\o(AT,\s\up6(→))＝t，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.由于eq\o(AR,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以可設(shè)r＝n(a＋b)．因?yàn)閑q\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(ER,\s\up6(→))與eq\o(EB,\s\up6(→))共線，所以可設(shè)eq\o(ER,\s\up6(→))＝meq\o(EB,\s\up6(→))＝m(a－eq\f(1,2)b)．因?yàn)閑q\o(AR,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ER,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)b＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b)).所以n(a＋b)＝eq\f(1,2)b＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))，即(n－m)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(m－1,2)))b＝0，由于向量a，b不共線，要使上式成立，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－m＝0，,n＋\f(m－1,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,n＝\f(1,3).))所以eq\o(AR,\s