《概率論第講》課件

《概率論第講》概念介紹1隨機現(xiàn)象在相同條件下，其結(jié)果不確定的現(xiàn)象。2概率隨機現(xiàn)象在一定條件下，發(fā)生某一結(jié)果的可能性大小。3統(tǒng)計規(guī)律大量重復(fù)試驗中，隨機現(xiàn)象的各種結(jié)果出現(xiàn)的頻率會趨于穩(wěn)定，這就是概率的統(tǒng)計規(guī)律。隨機事件定義隨機事件是指在隨機試驗中可能發(fā)生的，也可能不發(fā)生的事件。例子擲骰子，結(jié)果可能是1點、2點、...、6點，每個結(jié)果都是一個隨機事件。樣本空間樣本空間是所有可能結(jié)果的集合，用Ω表示。每個結(jié)果稱為一個樣本點，用ω表示。例如，拋一枚硬幣，樣本空間Ω={正面，反面}，樣本點為正面或反面。樣本空間可以是有限的，例如拋一枚硬幣的樣本空間，也可以是無限的，例如測量溫度的樣本空間。樣本空間的定義是概率論的基礎(chǔ)，它為我們提供了一個框架來描述隨機現(xiàn)象。事件運算1并運算A∪B，表示事件A或事件B發(fā)生2交運算A∩B，表示事件A和事件B同時發(fā)生3差運算A-B，表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生事件概率1概率定義事件發(fā)生的可能性大小0.5拋硬幣正面朝上的概率1/6擲骰子擲出6點的概率公理化概率概率論公理化是基于集合論的現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)。建立在三個基本公理上，確保概率定義的合理性和一致性。公理化概率為概率計算提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架。條件概率事件A發(fā)生假設(shè)事件A和事件B存在某種聯(lián)系，那么，在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A在事件B發(fā)生的條件下的概率。事件B發(fā)生事件B發(fā)生的概率可能會影響事件A發(fā)生的概率。全概率公式公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)解釋事件A的概率等于事件A在事件B1、B2、...、Bn發(fā)生下的條件概率乘以事件B1、B2、...、Bn的概率之和。應(yīng)用計算復(fù)雜事件的概率，將復(fù)雜事件分解為多個簡單事件，然后利用全概率公式求解。貝葉斯公式基本概念貝葉斯公式是用來計算后驗概率的公式。它將先驗概率和似然度結(jié)合起來，計算在新的證據(jù)出現(xiàn)后，事件發(fā)生的概率。公式P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)獨立事件定義如果兩個事件的發(fā)生互相不影響，則它們被稱為獨立事件。公式如果事件A和事件B獨立，則P(A∩B)=P(A)P(B)。例子拋一枚硬幣兩次，第一次的結(jié)果不會影響第二次的結(jié)果。事件的統(tǒng)計頻率事件發(fā)生頻率隨著實驗次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定，最終接近事件的概率。隨機變量定義隨機變量是一個數(shù)值，其值取決于隨機現(xiàn)象的結(jié)果。類型隨機變量可以是離散的，也可以是連續(xù)的。離散隨機變量可以取有限個值或可數(shù)無窮多個值。連續(xù)隨機變量可以在某個范圍內(nèi)取任何值。隨機變量的分布離散型隨機變量離散型隨機變量的值可以是有限個或可數(shù)個值。連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量的值可以是某個區(qū)間內(nèi)的任意值。離散型隨機變量1取值有限離散型隨機變量的取值可以是有限個，或者可以是無限可數(shù)的.2可枚舉每個取值都可以用一個整數(shù)來表示，并且可以按順序排列.3常見例子擲骰子，隨機抽取樣本等.連續(xù)型隨機變量取值范圍是連續(xù)的用概率密度函數(shù)描述概率為曲線下面積概率質(zhì)量函數(shù)定義離散型隨機變量取特定值的概率。表示P(X=x)性質(zhì)非負(fù)性，所有值的概率之和為1。概率密度函數(shù)1定義連續(xù)隨機變量在某個取值范圍內(nèi)的概率由其概率密度函數(shù)積分得到2性質(zhì)概率密度函數(shù)大于或等于零，且其積分等于13應(yīng)用用于計算連續(xù)隨機變量取值落在某個范圍內(nèi)的概率數(shù)學(xué)期望定義隨機變量的期望值是該變量所有可能取值的概率加權(quán)平均值。公式E(X)=Σ(xi*P(xi))意義反映隨機變量的平均取值。方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差方差是用來衡量隨機變量與其期望值之間的偏離程度。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，也表示了隨機變量與其期望值之間的平均偏離程度。常見分布正態(tài)分布鐘形曲線，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)。泊松分布描述一定時間或空間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)。二項分布描述n次獨立試驗中成功的次數(shù)。正態(tài)分布對稱性正態(tài)分布曲線關(guān)于均值對稱。均值和標(biāo)準(zhǔn)差均值決定曲線的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的形狀和寬度。廣泛應(yīng)用許多自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象可以用正態(tài)分布來描述，例如身高、血壓等。泊松分布描述在特定時間或空間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。事件發(fā)生率是恒定的，且事件之間相互獨立。應(yīng)用于各種場景，如電話呼叫中心、網(wǎng)站訪問量和自然災(zāi)害等。二項分布定義在n次獨立試驗中，每次試驗只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗，成功的概率為p，失敗的概率為1-p，則n次試驗中成功k次的概率稱為二項分布。公式P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)應(yīng)用二項分布在各種領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如：質(zhì)量控制、市場調(diào)查、生物統(tǒng)計等。隨機過程定義隨機過程是隨時間變化的隨機現(xiàn)象。應(yīng)用在金融市場、天氣預(yù)報和生物學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。馬爾科夫鏈1定義馬爾科夫鏈?zhǔn)且粋€隨機過程，其中未來的狀態(tài)只取決于當(dāng)前的狀態(tài)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)。2性質(zhì)馬爾科夫鏈具有無記憶性，這意味著每個狀態(tài)的概率只取決于前一個狀態(tài)。3應(yīng)用馬爾科夫鏈廣泛應(yīng)用于金融、天氣預(yù)報、圖像處理等領(lǐng)域。布朗運動無規(guī)則運動粒子在液體或氣體中無規(guī)則運動。隨機性粒子運動方向和速度不可預(yù)測。應(yīng)用廣泛物理學(xué)、金融、生物學(xué)等領(lǐng)域均有應(yīng)用。泊松過程1事件獨立性每個事件的發(fā)生與之前發(fā)生的事件無關(guān)。2平穩(wěn)性在相同的時間間隔內(nèi)，事件發(fā)生的概率相同。3稀疏性在短時間間隔內(nèi)，事件發(fā)生的概率很低。統(tǒng)計推斷樣本推斷總體基于樣本數(shù)據(jù)對總體特征進行推斷，并評估推斷的可靠性。假設(shè)檢驗對總體特征做出假設(shè)，并通過樣本數(shù)據(jù)檢驗假設(shè)是否成立。點估計1樣本均值估計總體均值2樣本方差估計總體方差3樣本比例估計總體比例區(qū)間估計1置信水平表示估計區(qū)間包含真實參數(shù)的