【模塊2】（方程（組）與不等式（組））教師版

模塊二方程（組）與不等式（組）

第一講一次方程（組）及其應用

知識梳理夯實基礎

知識點1：方程的相關概念及等式的性質(zhì)

1、方程的相關概念

含有未知數(shù)的叫做方程;使方程左右兩邊的值相等的的值叫做方程的解;求方程的

解的過程叫做解方程;只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的。

2、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)(或除以同一個不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.

性質(zhì)3：如果ab，那么ba（對稱性）

性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

知識點2：一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有個未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是，等號兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數(shù)，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時應抓住以下兩點：(i)

原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。

2、解一元一次方程的一般步驟

1x4x1若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注

例：1

23去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數(shù)。

解：去分母：31x24x16

若方程含有括號，則先去小括號，再去中

去括號：33x8x26

括號，最后去大括號。若去括號時括號前

去括號

移項：8x3x263是負號，去掉括號后，括號內(nèi)的各項均

合并同類項：11x11要。

系數(shù)化為1：

x1把含有未知數(shù)的項移到等式的一邊，其他

移項項移到另一邊。一般把含的項移到

注：本題中去分母時，方程右側(cè)的-1等式左邊。移項要改變符號。

易漏乘最小公倍數(shù)；移項時易忘變

合并同類項把方程化成axb（a0）的形式。

號。

方程兩邊同未知數(shù)的系數(shù)，得到方

系數(shù)化為1

程的解。

知識點3：二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個未知數(shù)，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無數(shù)組解

方程知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程。個未知數(shù)的值。

二元一次把具有相同未知數(shù)的兩個二元一一般地，二元一次方程組的兩個方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另

一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過適當變形后可以

使同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去這個未知數(shù)，

第1頁共57頁.

化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時依據(jù)方程自身特點，靈活運用消元思想）

一般地，當二元一次方程組中的一個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時，選擇代入消元法較簡

單。

當二元一次方程組中兩個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成倍數(shù)關

系時，選擇加減消元法較簡單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡，快速解題。

知識點4：*三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個方程組中含有三個未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的

次數(shù)都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

知識點5：一次方程（組）的實際應用

1、列一次方程(組)解應用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關系；

設：設關鍵未知數(shù)；

列：根據(jù)題中的等量關系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

驗：檢驗所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱。

2、常見的關系式

基本關系式:路程=速度×時間.

行程問題相遇問題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

追及問題:同地不同時出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的路

程.

儲蓄問題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.

利潤

銷售問題總價=單價×數(shù)量,利潤率=×100%,利潤=售價-成本(或進價)=利潤率×成本.

成本

分配問題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問題工作總量=工作效率×工作時間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長率問

已知基礎量為a,增長后為b,若設增長率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數(shù)字問題十位a，個位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個位c，表示為100a+10b+c

直擊中考勝券在握

1．（四川省南充市2019年中考數(shù)學試題）關于x的一元一次方程2xa2m4的解為x1，則am的值為（）

A．9B．8C．5D．4

【答案】C

【分析】

根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．

【詳解】

解：因為關于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1，

可得：a-2=1，2+m=4，

解得：a=3，m=2，

第2頁共57頁.

所以a+m=3+2=5，

故選C．

【點睛】

此題考查一元一次方程的定義，關鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答．

11

2．解一元一次方程(x1)1x時，去分母正確的是（）

23

A．3(x1)12xB．2(x1)13x

C．2(x1)63xD．3(x1)62x

【答案】D

【分析】

根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案．

【詳解】

解：方程兩邊都乘以6，得：

3（x+1）＝6﹣2x，

故選：D．

【點睛】

本題主要考查解一元一次方程，解題的關鍵是掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質(zhì)．

2xy3①

3．（湖南省益陽市2021年中考數(shù)學真題）解方程組時，若將①-②可得（）

2x3y4②

A．2y1B．2y1C．4y1D．4y1

【答案】D

【分析】

根據(jù)加減消元法即可得．

【詳解】

解：①-②得：2xy(2x3y)34，

即4y1，

故選：D．

【點睛】

本題考查了加減消元法，熟練掌握加減消元法是解題關鍵．

xya1

4．若關于x，y的二元一次方程組的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，則a的值為（）

xy3a5

．．．1．

A2B1C2D0

【答案】D

【分析】

解方程組，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得到關于a的方程，解方程即可．

【詳解】

第3頁共57頁.

xya1①

解：，

xy3a5②

①+②得

2x=2a+6，

x=a+3，

把代入①，得

a+3+y=-a+1，

y=-2a-2，

∵x＋2y＝﹣1

∴a+3+2(-2a-2)=-1，

∴a=0，

故選D．

【點睛】

本題考查了解二元一次方程組以及二元一次方程的解，解方程組，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得

到關于a的方程是解題的關鍵．

2

5．已知5xy3xy10，則（）

3

x

x1x2x02

A．B．C．D．

y0y1y03

y

2

【答案】B

【分析】

根據(jù)二元一次方程組的解法以及非負數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

【詳解】

xy30

解：由題意可知：

xy10

x2

解得：，

y1

故選：B．

【點睛】

本題考查二元一次方程組的解法，解題的關鍵是熟練運用二元一次方程組的解法，本題屬于基礎題型．

6．某種商品的標價為120元，若以九折降價出售，相對于進貨價仍獲利20%，該商品的進貨價為（）

A．80元B．85元C．90元D．95元

【答案】C

【解析】

試題分析：商品的實際售價是標價×90%=進貨價+所得利潤（20%?x）．設該商品的進貨價為x元，根據(jù)題意列方

程得x+20%?x=120×90%，解這個方程即可求出進貨價．

第4頁共57頁.

解：設該商品的進貨價為x元，

根據(jù)題意列方程得x+20%?x=120×90%，

解得x=90．

故選C．

考點：一元一次方程的應用．

7．（2021·四川南充·中考真題）端午節(jié)買粽子，每個肉粽比素粽多1元，購買10個肉粽和5個素粽共用去70元，

設每個肉粽x元，則可列方程為（）

A．10x5(x1)70B．10x5(x1)70

C．10(x1)5x70D．10(x1)5x70

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意表示出肉粽和素粽的單價，再列出方程即可．

【詳解】

設每個肉粽x元，則每個素粽的單價為（x-1）元，

由題意：10x5(x1)70，

故選：A．

【點睛】

本題考查列一元一次方程，理解題意，找準數(shù)量關系是解題關鍵．

8．（2021·黑龍江·中考真題）為迎接2022年北京冬奧會，某校開展了以迎冬奧為主題的演講活動，計劃拿出180

元錢全部用于購買甲、乙兩種獎品（兩種獎品都購買），獎勵表現(xiàn)突出的學生，已知甲種獎品每件15元，乙種

獎品每件10元，則購買方案有（）

A．5種B．6種C．7種D．8種

【答案】A

【分析】

設購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得15x10y180，進而求解即可．

【詳解】

解：設購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得：

15x10y180，

3

∴y18x，

2

∵x0,y0，且x、y都為正整數(shù)，

∴當x2時，則y15；

當x4時，則y12；

當x6時，則y9；

當x8時，則y6；

當x10時，則y3；

∴購買方案有5種；

第5頁共57頁.

故選A．

【點睛】

本題主要考查二元一次方程的應用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關鍵．

9．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）母親節(jié)來臨，小明去花店為媽媽準備節(jié)日禮物．已知康乃馨每支2元，百

合每支3元．小明將30元錢全部用于購買這兩種花（兩種花都買），小明的購買方案共有（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

【答案】B

【分析】

設可以購買x支康乃馨，y支百合，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為

正整數(shù)即可得出小明有4種購買方案．

【詳解】

解：設可以購買x支康乃馨，y支百合，

依題意，得：2x+3y＝30，

2

∴y＝10﹣x．

3

∵x，y均為正整數(shù)，

x3x6x9x12

∴，，，，

y8y6y4y2

∴小明有4種購買方案．

故選：B．

【點睛】

本題考查了二元一次方程應用中的整數(shù)解問題，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．

10．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）在抗擊疫情網(wǎng)絡知識競賽中，為獎勵成績突出的學生，學校計劃用200元錢

購買A、B、C三種獎品，A種每個10元，B種每個20元，C種每個30元，在C種獎品不超過兩個且錢全部用

完的情況下，有多少種購買方案（）

A．12種B．15種C．16種D．14種

【答案】D

【分析】

設購買A、B、C三種獎品分別為x,y,z個，根據(jù)題意列方程得10x20y30z200，化簡后根據(jù)x,y,z均為正

整數(shù)，結(jié)合C種獎品不超過兩個分類討論，確定解的個數(shù)即可．

【詳解】

解：設購買A、B、C三種獎品分別為x,y,z個，

根據(jù)題意列方程得10x20y30z200，

即x2y3z20，

由題意得x,y,z均為正整數(shù)．

①當z=1時，x2y17

17y

∴x，

2

第6頁共57頁.

∴y分別取1，3，5，7，9，11，13，15共8種情況時，x為正整數(shù)；

②當z=2時，x2y14

14y

∴x，

2

∴y可以分別取2，4，6，8，10，12共6種情況，x為正整數(shù)；

綜上所述：共有8+6=14種購買方案．

故選：D

【點睛】

本題考查了求方程組的正整數(shù)解，根據(jù)題意列出方程，并確定方程組的解為正整數(shù)是解題關鍵．

11．（2021·廣東·深圳中學八年級期中）《九章算術》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)甲

得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．如

2

果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢50，問：甲、乙兩人

3

各帶了多少錢？設甲、乙兩人持錢的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（）

11

xy50xy502xy502xy50

22

A．B．C．2D．2

22xx50xy50

yx50yx5033

33

【答案】A

【分析】

根據(jù)“如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的三分之二，那么乙也共有錢50”，

即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．

【詳解】

1

xy50

2

解：依題意，得：，

2

yx50

3

故選：A．

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．

1

12．（2021·湖南懷化·中考真題）定義ab2a，則方程3x42的解為（）

b

1234

A．xB．xC．xD．x

5555

【答案】B

【分析】

根據(jù)新定義,變形方程求解即可

【詳解】

1

∵ab2a,

b

第7頁共57頁.

11

∴3x42變形為2324,

x2

2

解得x，

5

2

經(jīng)檢驗x是原方程的根，

5

故選B

【點睛】

本題考查了新定義問題，根據(jù)新定義把方程轉(zhuǎn)化一般的分式方程，并求解是解題的關鍵

13．（2020·四川南充·中考真題）筆記本5元/本，鋼筆7元/支，某同學購買筆記本和鋼筆恰好用去100元，那

么最多可以購買鋼筆_______支．

【答案】10

【分析】

首先設某同學買了x支鋼筆，則買了y本筆記本，根據(jù)題意購買鋼筆的花費+購買筆記本的花費=100元，可得

7x

y=20-，根據(jù)x最大且又能被5整除，即可求解．

5

【詳解】

100-7x7x

設鋼筆x支，筆記本y本，則有7x+5y=100，則y==20-，

55

∵x最大且又能被5整除，y是正整數(shù)，

∴x=10，

故答案為：10．

【點睛】

此題主要考查了二元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的相等關系．

14．（2021·山東泰安·中考真題）《九章算術》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得

甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文：“假設有甲乙二人，不知其錢包里有多少錢，若乙把自己一半

2

的錢給甲，則甲的錢數(shù)為50；而甲把自己的錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為50．問甲、乙各有多少錢？”設甲持

3

錢數(shù)為x，乙持錢數(shù)為y，可列方程組為________．

y

x50

2

【答案】

2

xy50

3

【詳解】

2

【分析】甲持錢數(shù)為x，乙持錢數(shù)為y，根據(jù)題意可得：甲的錢+乙的錢的一半=50，乙的錢+甲所有錢的=50，

3

據(jù)此列方程組即可.

【詳解】由題意可得，

第8頁共57頁.

y

x50

2

，

2

xy50

3

y

x50

2

故答案為．

2

xy50

3

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，找出合適的等量關系是解題的關鍵.

2x3y5a

15．（2022·全國·九年級專題練習）已知關于x，y的二元一次方程組滿足xy0，則a的取值

x4y2a3

范圍是____．

【答案】a1．

【分析】

根據(jù)題目中方程組的的特點，將兩個方程作差，即可用含a的代數(shù)式表示出xy，再根據(jù)xy0，即可求得a

的取值范圍，本題得以解決．

【詳解】

2x3y5a①

解：

x4y2a3②

①-②，得xy3a3

∵xy0

∴3a30，

解得a1，

故答案為：a1．

【點睛】

本題考查解一元一次不等式，二元一次方程組的解，熟悉相關性質(zhì)是解答本題的關鍵．

3xmy5x1

16．（山東省濱州市2018年中考數(shù)學試題）若關于x、y的二元一次方程組的解是，則關于a、

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5

b的二元一次方程組的解是_______．

2(ab)n(ab)6

3

a

2

【答案】

1

b

2

【分析】

3xmy5x1

方法一：利用關于x、y的二元一次方程組的解是可得m、n的數(shù)值，代入關于a、b的方程組

2xny6y2

即可求解；

3(ab)m(ab)=5ab1

方法二：根據(jù)方程組的特點可得方程組的解是，再利用加減消元法即可求出a,b．

2(ab)n(ab)6ab2

第9頁共57頁.

【詳解】

3xmy5x1

詳解：∵關于x、y的二元一次方程組的解是，

2xny6y2

x13xmy5

∴將解代入方程組

y22xny6

可得m=﹣1，n=2

3abmab=54a2b5

∴關于a、b的二元一次方程組整理為：

2abnab64a6

3

a

2

解得：

1

b

2

3xmy5x1

方法二：∵關于x、y的二元一次方程組的解是

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5ab1

∴方程組的解是

2(ab)n(ab)6ab2

3

a

ab12

解得

ab21

b

2

3

a

2

故答案為：．

1

b

2

【點睛】

本題考查二元一次方程組的求解，重點是整體考慮的數(shù)學思想的理解運用在此題體現(xiàn)明顯．

1016

17．（2021·廣東·九年級專題練習）已知a2b，3a4b，則ab的值為_________．

33

【答案】1

【分析】

觀察已知條件可得兩式中a與b的系數(shù)的差相等，因此把兩式相減即可得解．

【詳解】

1016

解：a2b①，3a4b②，

33

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案為：1．

【點睛】

此題主顧考查了二元一次方程組的特殊解法，觀察條件的結(jié)構特征得出2a+2b=2是解答此題的關鍵．

第10頁共57頁.

ab(ab)

．（浙江浙江七年級期中）對于實數(shù)，，定義運算※：a※，例如※，因為，

182021··ab“”222323

ab(ab)

x4y8

所以2※3236．若x,y滿足方程組，則x※y____．

2xy29

【答案】13

【分析】

根據(jù)二元一次方程組的解法以及新定義運算法則即可求出答案．

【詳解】

x4y8

解：由題意可知：，

2xy29

x12

解得：，

y5

∵x＞y，

∴原式=1225213，

故答案為：13．

【點睛】

本題考查二元一次方程組的解法，解題的關鍵是熟練運用二元一次方程組的解法以及正確理解新定義運算法則，

本題屬于基礎題型．

3xy4

19．（2021·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：.

x2y3

x1

【答案】.

y1

【詳解】

分析:（1）根據(jù)代入消元法，可得答案.

3xy4①

詳解:

x2y3②

由②得：x=-3+2y③，

把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，

解得y=1，

把y=1代入③得：x=-1，

x1

則原方程組的解為：.

y1

點睛:此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

20．（2021·四川·石室中學八年級期中）解方程組：

x2y10

（1）；

y2x

第11頁共57頁.

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7．

422

x2x3

【答案】（1）；（2）

y4y5

【分析】

（1）利用代入消元法解二元一次方程組即可；

3(xy)2(xy)10

（2）先整理原方程得然后把xy和xy當做一個整體利用加減消元法求出

xy2xy14

xy2③，xy8④，然后利用加減消元法求解即可．

【詳解】

x2y10①

解：（1），

y2x②

把②代入①中得：x4x10，解得x2，

把x2代入②中得，y4，

x2

∴方程組的解集為；

y4

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7

422

3(xy)2(xy)10①

整理得：，

xy2xy14②

用①-②得：2xy4，解得xy2③，

把③代入①得：62xy10，解得xy8④，

用③+④得：2x6，解得x3，

把x3代入③得y5，

x3

∴方程組的解為．

y5

【點睛】

本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解二元一次方程組的方法．

ax23y103xy2

21．（廣東省2020年中考數(shù)學試題）已知關于x，y的方程組與的解相同．

xy4xby15

（1）求a，b的值；

（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關于x的方程x2axb0的解．試判斷該三角形

的形狀，并說明理由．

【答案】（1）43；12（2）等腰直角三角形，理由見解析

【分析】

第12頁共57頁.

ax23y103xy2

（1）關于x，y的方程組與的解相同．實際就是方程組

xy4xby15

xy4

的解，可求出方程組的解，進而確定a、b的值；

xy2

（2）將a、b的值代入關于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個解與26為邊長，判斷三

角形的形狀．

【詳解】

解：由題意列方程組：

xy4x3

解得

xy2y1

將x3，y1分別代入ax23y103和xby15

解得a43，b12

∴a43，b12

（2）x243x120

434848

解得x23

2

這個三角形是等腰直角三角形

理由如下：∵(23)2(23)2(26)2

∴該三角形是等腰直角三角形．

【點睛】

本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是

得出正確答案的關鍵．

22．（2021·陜西·中考真題）一家商店在銷售某種服裝（每件的標價相同）時，按這種服裝每件標價的8折銷售

10件的銷售額，與按這種服裝每件的標價降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標價．

【答案】這種服裝每件的標價是110元

【分析】

設這種服裝每件的標價是x元，根據(jù)題意列出方程進行求解即可．

【詳解】

解：設這種服裝每件的標價是x元，根據(jù)題意，得

100.8x11x30，

解得x110；

答：這種服裝每件的標價是110元．

【點睛】

本題主要考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵．

23．（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計劃舉行“學黨史·感黨恩”知識競答活動，

第13頁共57頁.

并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了做為獎品的三種物品，回到學校

后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．

請根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應的金

額．

【答案】購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元

【分析】

根據(jù)題意可知鋼筆和筆記本一共50個，兩種物品的金額1000-600=400元，再根據(jù)題意列二元一次方程組即可

【詳解】

解：設鋼筆買了x支，筆記本買了y本

根據(jù)題意可得：鋼筆和筆記本一共56-6=50個

鋼筆和筆記本兩種物品的金額一共1000-600=400元

xy50

則有

15x5y400

x15

解得：

y35

則購置筆記本金額為：35×5=175元

購置鋼筆金額為：15×15=225元

答：購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元

【點睛】

本題考查列二元一次方程組解決實際問題，根據(jù)已知條件正確的找出等量關系是關鍵

24．（2021·貴州安順·中考真題）為慶?！爸袊伯a(chǎn)黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動

的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時間和利潤如

下表：

產(chǎn)品展板宣傳冊橫幅

11

制作一件產(chǎn)品所需時間（小時）1

52

制作一件產(chǎn)品所獲利潤（元）20310

第14頁共57頁.

（1）若制作三種產(chǎn)品共計需要25小時，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量；

（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產(chǎn)品均有制作．求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．

【答案】（1）制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量分別是：10，50，10；（2）制作三種產(chǎn)品總量的最小值為75．

【分析】

（1）設展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，根據(jù)等量關系，列出二元一次方程組，即可求解；

1007x

（2）設展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，可得y，結(jié)合x，y取正整數(shù)，可得制作三

2

種產(chǎn)品總量的最小值．

【詳解】

（1）解：設展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，

20x35x10y450

x10

根據(jù)題意得：11，解得：，

x5xy25y10

52

5×10=50，

答：制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量分別是：10，50，10；

（2）設展板數(shù)量為x，則宣傳冊數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，制作三種產(chǎn)品總量為w，

由題意得：20x35x10y700，即：7x2y100，

1407x

∴y，

2

1407x1405x5

∴w=x5xy6x70x，

222

∵x，y取正整數(shù)，

∴x可取的最小整數(shù)為2，

5

∴w=70x的最小值=55，即：制作三種產(chǎn)品總量的最小值為75．

2

【點睛】

本題主要考查二元一次方程組以及一次函數(shù)的實際應用，根據(jù)數(shù)量關系，列出方程組以及一次函數(shù)的解析式，是

解題的關鍵．

25．（2021·四川瀘州·中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5

輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．

（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？

（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿

載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指

出哪種運輸方案費用最少．

【答案】（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用

A型車8輛，B型車2輛；方案2：租用A型車5輛，B型車6輛；方案3：租用A型車2輛，B型車10輛；租

用A型車8輛，B型車2輛最少．

【分析】

第15頁共57頁.

（1）設1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據(jù)“3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90

噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸”列方程組求解可得；

（2）設貨運公司安排A貨車m輛，則安排B貨車n輛．根據(jù)“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結(jié)合m，

n均為正整數(shù)，即可得出各運輸方案．再根據(jù)方案計算比較得出費用最小的數(shù)據(jù)．

【詳解】

解：（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，

3x2y90

根據(jù)題意可得：，

5x4y160

x20

解得：，

y15

答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；

（2）設安排A型車m輛，B型車n輛，

383n

依題意得：20m+15n=190，即m，

4

又∵m，n均為正整數(shù)，

m8m5m2

∴或或，

n2n6n10

∴共有3種運輸方案，

方案1：安排A型車8輛，B型車2輛；

方案2：安排A型車5輛，B型車6輛；

方案3：安排A型車2輛，B型車10輛．

方案1所需費用：5008+4002=4800(元)；

方案2所需費用：5005+4006=4900(元)；

方案3所需費用：5002+40010=5000(元)；

∵4800＜4900＜5000，

∴安排A型車8輛，B型車2輛最省錢，最省錢的運輸費用為4800元．

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元

一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程；根據(jù)據(jù)總費用=500×安排A型車的輛數(shù)+400×B型車的

輛數(shù)分別求出三種運輸方案的總費用．

模塊二方程（組）與不等式（組）

第二講一元二次方程及其應用

知識梳理夯實基礎

知識點1：一元二次方程及其解法

定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是的，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫標準形式）

第16頁共57頁.

ax2bxc0，其中ax2叫做，a是二次項的系數(shù)；bx叫做，b是；c

叫。a，b，c是任意實數(shù)，且a0。

一元二次方程的解法

解法適用情況方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接開平方2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法2xnp

xnpp02

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

對于一元二次方程的四種解法，要結(jié)合方程中的具體數(shù)據(jù)進行選擇，一般地，直接開平方法、因式

分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

知識點2：一元二次方程根的判別式

0方程實數(shù)根

一元二次方程ax2bxc0

0方程實數(shù)根

（a0）的判別式=b24ac

0方程實數(shù)根

易錯點：因忽視一元二次方程二次項系數(shù)不為零的隱含條件，導致失分。

如：已知關于x的一元二次方程ax23x10有兩個實數(shù)根,求a的取值范圍.

知識點3：一元二次方程的根與系數(shù)關系（韋達定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的兩個實數(shù)根，那么xx，xx

1212a12a

知識點4：一元二次方程的應用

實際數(shù)量-基準數(shù)量

（1）增長率=100%

基準數(shù)量

基準數(shù)量-降低后達到數(shù)量

（2）降低率=100%

基準數(shù)量

變化率問題

（3）設a為原來的量,m為平均增長率,n為增長次數(shù),b為增

n

長后的量,則a1mb；當m為平均下降率,b為下降后的

n

量時,a1mb

本息和=本金+利息

利率問題

利息=本金×利率×期數(shù)

毛利潤=銷售總額-進貨總額

純利潤=銷售總額-進貨總額-其他費用

銷售利潤問題利潤率=利潤÷成本×100%

銷售總額=售價×銷量

進貨總額=進價×進貨數(shù)量

若共有n個隊，每個隊都與其他隊比賽一場，則一共比賽

單循環(huán)問題nn1

場

2

第17頁共57頁.

直擊中考勝券在握

1．（2021·臨沂中考）方程x2x56的根是（）

，，，，

A．x17x28B．x17x28C．x17x28D．x17x28

【答案】C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正確選項．

【詳解】

解：∵x2x56，

∴x2x560，

∴x7x80，

∴x+7=0，x-8=0，

∴x1=-7，x2=8．

故選：C．

【點睛】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩

個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了．

2．（2021·麗水中考）用配