【模塊2】（方程（組）與不等式（組））學(xué)生版

模塊二方程（組）與不等式（組）

第一講一次方程（組）及其應(yīng)用

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：方程的相關(guān)概念及等式的性質(zhì)

1、方程的相關(guān)概念

含有未知數(shù)的叫做方程;使方程左右兩邊的值相等的的值叫做方程的解;求方程的

解的過(guò)程叫做解方程;只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的。

2、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.

性質(zhì)3：如果ab，那么ba（對(duì)稱(chēng)性）

性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

知識(shí)點(diǎn)2：一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是，等號(hào)兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個(gè)一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數(shù)，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時(shí)應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：(i)

原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。

2、解一元一次方程的一般步驟

1x4x1若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注

例：1

23去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數(shù)。

解：去分母：31x24x16

若方程含有括號(hào)，則先去小括號(hào)，再去中

去括號(hào)：33x8x26

括號(hào)，最后去大括號(hào)。若去括號(hào)時(shí)括號(hào)前

去括號(hào)

移項(xiàng)：8x3x263是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均

合并同類(lèi)項(xiàng)：11x11要。

系數(shù)化為1：

x1把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等式的一邊，其他

移項(xiàng)項(xiàng)移到另一邊。一般把含的項(xiàng)移到

注：本題中去分母時(shí)，方程右側(cè)的-1等式左邊。移項(xiàng)要改變符號(hào)。

易漏乘最小公倍數(shù)；移項(xiàng)時(shí)易忘變

合并同類(lèi)項(xiàng)把方程化成axb（a0）的形式。

號(hào)。

方程兩邊同未知數(shù)的系數(shù)，得到方

系數(shù)化為1

程的解。

知識(shí)點(diǎn)3：二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個(gè)未知數(shù)，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無(wú)數(shù)組解

方程知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。個(gè)未知數(shù)的值。

二元一次把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代入另

一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過(guò)適當(dāng)變形后可以

使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去這個(gè)未知數(shù)，

第1頁(yè)共21頁(yè).

化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時(shí)依據(jù)方程自身特點(diǎn)，靈活運(yùn)用消元思想）

一般地，當(dāng)二元一次方程組中的一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時(shí)，選擇代入消元法較簡(jiǎn)

單。

當(dāng)二元一次方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成倍數(shù)關(guān)

系時(shí)，選擇加減消元法較簡(jiǎn)單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡(jiǎn)，快速解題。

知識(shí)點(diǎn)4：*三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的

次數(shù)都是1,并且一共有三個(gè)方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

知識(shí)點(diǎn)5：一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用

1、列一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關(guān)系；

設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱(chēng)。

2、常見(jiàn)的關(guān)系式

基本關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間.

行程問(wèn)題相遇問(wèn)題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

追及問(wèn)題:同地不同時(shí)出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時(shí)不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的路

程.

儲(chǔ)蓄問(wèn)題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.

利潤(rùn)

銷(xiāo)售問(wèn)題總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,利潤(rùn)率=×100%,利潤(rùn)=售價(jià)-成本(或進(jìn)價(jià))=利潤(rùn)率×成本.

成本

分配問(wèn)題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問(wèn)題工作總量=工作效率×工作時(shí)間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長(zhǎng)率問(wèn)

已知基礎(chǔ)量為a,增長(zhǎng)后為b,若設(shè)增長(zhǎng)率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數(shù)字問(wèn)題十位a，個(gè)位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個(gè)位c，表示為100a+10b+c

直擊中考勝券在握

1．（四川省南充市2019年中考數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的一元一次方程2xa2m4的解為x1，則am的值為（）

A．9B．8C．5D．4

11

2．解一元一次方程(x1)1x時(shí)，去分母正確的是（）

23

A．3(x1)12xB．2(x1)13x

C．2(x1)63xD．3(x1)62x

2xy3①

3．（湖南省益陽(yáng)市2021年中考數(shù)學(xué)真題）解方程組時(shí)，若將①-②可得（）

2x3y4②

第2頁(yè)共21頁(yè).

A．2y1B．2y1C．4y1D．4y1

xya1

4．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，則a的值為（）

xy3a5

．．．1．

A2B1C2D0

2

5．已知5xy3xy10，則（）

3

x

x1x2x02

A．B．C．D．

y0y1y03

y

2

6．某種商品的標(biāo)價(jià)為120元，若以九折降價(jià)出售，相對(duì)于進(jìn)貨價(jià)仍獲利20%，該商品的進(jìn)貨價(jià)為（）

A．80元B．85元C．90元D．95元

7．（2021·四川南充·中考真題）端午節(jié)買(mǎi)粽子，每個(gè)肉粽比素粽多1元，購(gòu)買(mǎi)10個(gè)肉粽和5個(gè)素粽共用去70元，

設(shè)每個(gè)肉粽x元，則可列方程為（）

A．10x5(x1)70B．10x5(x1)70

C．10(x1)5x70D．10(x1)5x70

8．（2021·黑龍江·中考真題）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，某校開(kāi)展了以迎冬奧為主題的演講活動(dòng)，計(jì)劃拿出180

元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種獎(jiǎng)品（兩種獎(jiǎng)品都購(gòu)買(mǎi)），獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎(jiǎng)品每件15元，乙種

獎(jiǎng)品每件10元，則購(gòu)買(mǎi)方案有（）

A．5種B．6種C．7種D．8種

9．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）母親節(jié)來(lái)臨，小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物．已知康乃馨每支2元，百

合每支3元．小明將30元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)這兩種花（兩種花都買(mǎi)），小明的購(gòu)買(mǎi)方案共有（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

10．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽中，為獎(jiǎng)勵(lì)成績(jī)突出的學(xué)生，學(xué)校計(jì)劃用200元錢(qián)

購(gòu)買(mǎi)A、B、C三種獎(jiǎng)品，A種每個(gè)10元，B種每個(gè)20元，C種每個(gè)30元，在C種獎(jiǎng)品不超過(guò)兩個(gè)且錢(qián)全部用

完的情況下，有多少種購(gòu)買(mǎi)方案（）

A．12種B．15種C．16種D．14種

11．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢(qián)不知其數(shù)甲

得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而亦錢(qián)五十．問(wèn)：甲、乙持錢(qián)各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢(qián)．如

2

果甲得到乙所有錢(qián)的一半，那么甲共有錢(qián)50；如果乙得到甲所有錢(qián)的，那么乙也共有錢(qián)50，問(wèn)：甲、乙兩人

3

各帶了多少錢(qián)？設(shè)甲、乙兩人持錢(qián)的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（）

11

xy50xy502xy502xy50

22

A．B．C．2D．2

22xx50xy50

yx50yx5033

33

1

12．（2021·湖南懷化·中考真題）定義ab2a，則方程3x42的解為（）

b

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1234

A．xB．xC．xD．x

5555

13．（2020·四川南充·中考真題）筆記本5元/本，鋼筆7元/支，某同學(xué)購(gòu)買(mǎi)筆記本和鋼筆恰好用去100元，那

么最多可以購(gòu)買(mǎi)鋼筆_______支．

14．（2021·山東泰安·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢(qián)不知其數(shù)，甲得乙半而錢(qián)五十，乙得

甲太半而錢(qián)亦五十，問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何？”譯文：“假設(shè)有甲乙二人，不知其錢(qián)包里有多少錢(qián)，若乙把自己一半

2

的錢(qián)給甲，則甲的錢(qián)數(shù)為50；而甲把自己的錢(qián)給乙，則乙的錢(qián)數(shù)也能為50．問(wèn)甲、乙各有多少錢(qián)？”設(shè)甲持

3

錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，可列方程組為_(kāi)_______．

2x3y5a

15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組滿(mǎn)足xy0，則a的取值

x4y2a3

范圍是____．

3xmy5x1

16．（山東省濱州市2018年中考數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于a、

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5

b的二元一次方程組的解是_______．

2(ab)n(ab)6

1016

17．（2021·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知a2b，3a4b，則ab的值為_(kāi)________．

33

ab(ab)

．（浙江浙江七年級(jí)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算※：a※，例如2※3，因?yàn)椋?/p>

182021··ab“”2223

ab(ab)

x4y8

所以2※3236．若x,y滿(mǎn)足方程組，則x※y____．

2xy29

3xy4

19．（2021·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：.

x2y3

20．（2021·四川·石室中學(xué)八年級(jí)期中）解方程組：

x2y10

（1）；

y2x

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7．

422

第4頁(yè)共21頁(yè).

ax23y103xy2

21．（廣東省2020年中考數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同．

xy4xby15

（1）求a，b的值；

（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為26，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2axb0的解．試判斷該三角形

的形狀，并說(shuō)明理由．

22．（2021·陜西·中考真題）一家商店在銷(xiāo)售某種服裝（每件的標(biāo)價(jià)相同）時(shí)，按這種服裝每件標(biāo)價(jià)的8折銷(xiāo)售

10件的銷(xiāo)售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價(jià)降低30元銷(xiāo)售11件的銷(xiāo)售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價(jià)．

23．（2021·湖南邵陽(yáng)·中考真題）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史·感黨恩”知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，

并計(jì)劃購(gòu)置籃球、鋼筆、筆記本作為獎(jiǎng)品．采購(gòu)員劉老師在某文體用品購(gòu)買(mǎi)了做為獎(jiǎng)品的三種物品，回到學(xué)校

后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個(gè)數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．

請(qǐng)根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購(gòu)置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對(duì)應(yīng)的金

額．

第5頁(yè)共21頁(yè).

24．（2021·貴州安順·中考真題）為慶祝“中國(guó)共產(chǎn)黨的百年華誕”，某校請(qǐng)廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動(dòng)

的展板、宣傳冊(cè)和橫幅，其中制作宣傳冊(cè)的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時(shí)間和利潤(rùn)如

下表：

產(chǎn)品展板宣傳冊(cè)橫幅

11

制作一件產(chǎn)品所需時(shí)間（小時(shí)）1

52

制作一件產(chǎn)品所獲利潤(rùn)（元）20310

（1）若制作三種產(chǎn)品共計(jì)需要25小時(shí)，所獲利潤(rùn)為450元，求制作展板、宣傳冊(cè)和橫幅的數(shù)量；

（2）若廣告公司所獲利潤(rùn)為700元，且三種產(chǎn)品均有制作．求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．

25．（2021·四川瀘州·中考真題）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車(chē)，3輛A貨車(chē)與2輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨90噸，5

輛A貨車(chē)與4輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨160噸．

（1）請(qǐng)問(wèn)1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨多少?lài)崳?/p>

（2）目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計(jì)劃安排A、B兩種貨車(chē)將全部貨物一次運(yùn)完(A、B兩種貨車(chē)均滿(mǎn)

載)，其中每輛A貨車(chē)一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車(chē)一次運(yùn)貨花費(fèi)400元．請(qǐng)你列出所有的運(yùn)輸方案，并指

出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少．

第6頁(yè)共21頁(yè).

模塊二方程（組）與不等式（組）

第二講一元二次方程及其應(yīng)用

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程及其解法

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是的，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫標(biāo)準(zhǔn)形式）

ax2bxc0，其中ax2叫做，a是二次項(xiàng)的系數(shù)；bx叫做，b是；c

叫。a，b，c是任意實(shí)數(shù)，且a0。

一元二次方程的解法

解法適用情況方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接開(kāi)平方2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法2xnp

xnpp02

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

對(duì)于一元二次方程的四種解法，要結(jié)合方程中的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行選擇，一般地，直接開(kāi)平方法、因式

分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程根的判別式

0方程實(shí)數(shù)根

一元二次方程ax2bxc0

0方程實(shí)數(shù)根

（a0）的判別式=b24ac

0方程實(shí)數(shù)根

易錯(cuò)點(diǎn)：因忽視一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，導(dǎo)致失分。

如：已知關(guān)于x的一元二次方程ax23x10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么xx，xx

1212a12a

知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程的應(yīng)用

實(shí)際數(shù)量-基準(zhǔn)數(shù)量

（1）增長(zhǎng)率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

基準(zhǔn)數(shù)量-降低后達(dá)到數(shù)量

（2）降低率=100%

變化率問(wèn)題基準(zhǔn)數(shù)量

（3）設(shè)a為原來(lái)的量,m為平均增長(zhǎng)率,n為增長(zhǎng)次數(shù),b為增

n

長(zhǎng)后的量,則a1mb；當(dāng)m為平均下降率,b為下降后的

n

量時(shí),a1mb

本息和=本金+利息

利率問(wèn)題

利息=本金×利率×期數(shù)

第7頁(yè)共21頁(yè).

毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額-進(jìn)貨總額

純利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額-進(jìn)貨總額-其他費(fèi)用

銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本×100%

銷(xiāo)售總額=售價(jià)×銷(xiāo)量

進(jìn)貨總額=進(jìn)價(jià)×進(jìn)貨數(shù)量

若共有n個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)都與其他隊(duì)比賽一場(chǎng)，則一共比賽

單循環(huán)問(wèn)題nn1

場(chǎng)

2

直擊中考勝券在握

1．（2021·臨沂中考）方程x2x56的根是（）

，，，，

A．x17x28B．x17x28C．x17x28D．x17x28

2．（2021·麗水中考）用配方法解方程x24x10時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）

A．(x2)25B．(x2)23C．(x2)25D．(x2)23

3．（2021·聊城中考）關(guān)于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一個(gè)解是﹣2，則k值為（）

A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2

．（眉山中考）已知一元二次方程2的兩根為，，則2的值為（）

42021·x3x10x1x2x15x12x2

A．7B．3C．2D．5

5．（2021·臺(tái)州中考）關(guān)于x的方程x2-4x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）

A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4

6．（2021·福建三元·九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成

了完整的體系，其“勾股”章中記載了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有戶(hù)高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問(wèn)戶(hù)高、廣各幾

何？”譯文為：“已知有一扇矩形門(mén)的高比寬多6尺，門(mén)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為1丈（1丈＝10尺），那么門(mén)的高和寬各是

多少？”如果設(shè)門(mén)的寬為x尺，則可列方程為（）

A．x2＋（x＋6）2＝102B．x2＋（x＋6）2＝12

C．x2＋（x﹣6）2＝102D．x2＋（x﹣6）2＝12

7．（2021·煙臺(tái)中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2mnxmn0，其中m，n在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，

則這個(gè)方程的根的情況是（）

A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定

8．（2020·江蘇如皋·八年級(jí)期末）某省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該省目前5G基站

的數(shù)量約1.5萬(wàn)座，計(jì)劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到

17.34萬(wàn)座．按照計(jì)劃，設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均率為x，根據(jù)題意列方程，得

（）

A．6（1+x）2＝17.34B．17.34（1+x）2＝6

C．6（1﹣x）2＝17.34D．17.34（1﹣x）2＝6

2

9．（2020·龍東中考）已知關(guān)于x的一元二次方程標(biāo)kx2k1xk20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k

第8頁(yè)共21頁(yè).

的取值范圍是（）

11

A．kB．k

44

11

C．k且k0D．k且k0

44

10．（2021·內(nèi)蒙古·呼和浩特市敬業(yè)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，把一塊長(zhǎng)為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角

剪去四個(gè)相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線(xiàn)折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無(wú)蓋紙盒．若該無(wú)蓋紙

盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則可列方程為（）

A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600

C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600

11．（2021·湖北天門(mén)·九年級(jí)期中）已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長(zhǎng)，且m、n是關(guān)于x

的一元二次方程x2﹣6x+k+2=0的兩個(gè)根，則k的值等于()

A．7B．7或6C．6或﹣7D．6

2021

22

12．（2021·南充中考）已知方程x2021x10的兩根分別為x1，x2，則x1的值為（）

x2

A．1B．1C．2021D．2021

13．（2021·上海中考）若一元二次方程2x23xc0無(wú)實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍為_(kāi)________．

14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知m是一元二次方程x2x60的一個(gè)根，則代數(shù)式m2m的值等于______．

2

15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程x3xk0的兩個(gè)根，且x12x2，則k_______．

22

2

16．（2021·隨州中考）已知關(guān)于x的方程xk4x4k0（k0）的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若3，則

x1x2

k______．

22+2

17．（2021·四川龍泉驛·九年級(jí)期中）已知一元二次方程x3x10的兩個(gè)根分別是x1,x2，則x1x2x1x2的值為

_______．

11

18．（2021·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）關(guān)于x的方程22有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,．且1．則

x2mxmm0

m_______．

mnn1

19．已知m22m10,n22n10，且mn1，則的值為_(kāi)__________．

n

20．（2021·河南西峽·九年級(jí)期中）“雜交水稻之父”——袁隆平先生率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻

畝產(chǎn)700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)1008公斤的目標(biāo)．如果第二階段、第三階段水稻畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率

相同，則這兩年的平均畝產(chǎn)增長(zhǎng)率為_(kāi)______．

21．（2021·襄陽(yáng)二模）要組織一次足球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽

程計(jì)劃共計(jì)持續(xù)7天，每天安排4場(chǎng)比賽．則比賽組織者共邀請(qǐng)了______支球隊(duì)；

第9頁(yè)共21頁(yè).

22．（2021·阜寧一模）據(jù)美國(guó)約翰斯霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)，截至美國(guó)東部時(shí)間3

月28日晚6時(shí)，全美共報(bào)告新冠肺炎確診人數(shù)超過(guò)3025萬(wàn)，死亡超過(guò)54.9萬(wàn)．已知有一人患了新冠肺炎，經(jīng)

過(guò)兩輪傳染后，共有144人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均每人傳染了__________人．

23．（2021·蘭州中考）解方程：x2+4x﹣1=0．

24．（2021·齊齊哈爾中考）解方程：x(x7)8(7x)．

25．（2021·遼寧臺(tái)安·九年級(jí)期中）按照要求解方程：

（1）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）；（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．

26．（2021·北京中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x24mx3m20．

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若m0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．

27．（2021·菏澤中考）列方程（組）解應(yīng)用題

端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷(xiāo)售情況，下面是調(diào)查員的對(duì)話(huà)：

小王：該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元；

小李：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為每千克38元時(shí)，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷(xiāo)售量將增加120千克．

根據(jù)他們的對(duì)話(huà)，解決下面所給問(wèn)題：超市每天要獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)3640元，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求這種

水果的銷(xiāo)售價(jià)為每千克多少元？

第10頁(yè)共21頁(yè).

2

28．（2021·嘉興中考）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x3x3的過(guò)程如下框：

小霞：

小敏：

2

移項(xiàng)，得3x3x30，

兩邊同除以x3，得

提取公因式，得x33x30．

3x3，

則x30或3x30，

則x6．

解得x13，x20．

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．

29.（2021·山西中考）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖

所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．

第11頁(yè)共21頁(yè).

30．（2021·宜昌中考）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方

式，噴灌和滴灌時(shí)每畝用水量分別是漫灌時(shí)的30%和20%．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗(yàn)田分別采

用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．

（1）請(qǐng)問(wèn)用漫灌方式每畝用水多少?lài)崳咳ツ昝繅K試驗(yàn)田各用水多少?lài)崳?/p>

（2）今年該公司加大對(duì)農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗(yàn)田的面積都增加了m%，漫灌試驗(yàn)田的面積減少了

2m%．同時(shí)，該公司通過(guò)維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進(jìn)一步減少了m%．經(jīng)測(cè)算，

9

今年的灌溉用水量比去年減少m%，求m的值．

5

（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系．今年，該公司全部試驗(yàn)田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30

元，在新增的噴灌、滴灌試驗(yàn)田添加設(shè)備所投入經(jīng)費(fèi)為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費(fèi)為2.5元，

請(qǐng)判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費(fèi)是否大于今年的以上兩項(xiàng)投入之和？

第12頁(yè)共21頁(yè).

模塊二方程（組）與不等式（組）

第三講分式方程及其應(yīng)用

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：分式方程的相關(guān)概念

定義：中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別。

增根：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，使方程中的，這樣的根叫方

程的增根。

知識(shí)點(diǎn)2：解分式方程

基本去分母，化分式方程為整式方程。

x3

例：1思路

x1x21

一般①方程兩邊同時(shí)乘以各分式的，化

解：最簡(jiǎn)公分母：x1x1

步驟為整式方程；

xx1x213②解整式方程；

x2xx213③檢驗(yàn)，把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，

x2看計(jì)算結(jié)果是否為0，若結(jié)果不為0，說(shuō)明

檢驗(yàn)：當(dāng)x2時(shí)，x1x10此解是原分式方程的解；若為0，則為增根，

原分式方程無(wú)解。

所以原分式方程的解為x2

驗(yàn)根方法一：利用方程解的定義，直接代回原方

方法程檢驗(yàn)；

知識(shí)點(diǎn)3：分式方程的實(shí)際應(yīng)用方法二：把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟看計(jì)算結(jié)果是否為0。

審：審清題意，分清題中的已知量、未

知量，搞清等量關(guān)系。

設(shè)：設(shè)出未知數(shù)。

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列出分式方程。

解：解分式方程

驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所得的解是否適合分式方程，又要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問(wèn)題。

答：完整作答（包括單位）

2、常見(jiàn)模型及關(guān)系式

行程問(wèn)題路程

基本關(guān)系式：=時(shí)間

速度

常用關(guān)系式：（注意統(tǒng)一單位）

同一路程同一路程同一路程同一路程

=時(shí)間差；=時(shí)間差

甲的速度乙的速度慢速快速

工作總量

工程問(wèn)題基本關(guān)系式：=工作時(shí)間

工作效率

常用關(guān)系式：

工作總量工作總量甲工作總量乙工作總量

=時(shí)間差=時(shí)間差

原工作效率改進(jìn)后工作效率甲工作效率乙工作效率

總價(jià)

銷(xiāo)售問(wèn)題基本關(guān)系式：=數(shù)量

單價(jià)

總銷(xiāo)售金額總銷(xiāo)售金額

常用關(guān)系式：=數(shù)量差

變化后單價(jià)原單價(jià)

第13頁(yè)共21頁(yè).

直擊中考勝券在握

12

1．（2021·廣東廣州·中考真題）方程的解為（）

x3x

A．x6B．x2C．x2D．x6

2x2

2．（2021·湖北大冶·八年級(jí)期末）解分式方程3時(shí)，去分母后變形正確的是（）

x11x

A．2x23x1B．2x23x1

C．2x23D．2x23x1

2x1

3．（2021·四川成都·中考真題）分式方程1的解為（）

x33x

A．x2B．x2C．x1D．x1

mx

4．（2021·巴中中考）關(guān)于x的分式方程30有解，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）

2x

A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2

5．（2021·湖北十堰·中考真題）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)400臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間

比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間少1天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，則下列方程正確的是（）

400450450400400450450400

A．1B．1C．50D．5

xx50x50xxx1x1x

xm

6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程3有增根，則m的值是（）

x2x2

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

10x3k27

7．（2021·安徽霍邱·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x的分式方程3的解滿(mǎn)足2＜x＜5，則k的取值范圍

3xx3

是（）

A．﹣7＜k＜14B．﹣7＜k＜14且k≠0C．﹣14＜k＜7且k≠0D．﹣14＜k＜7

2

,ab

ab

8．（2021·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義運(yùn)算“※”：a※b，如果5※x2，那么x的值為（）

b

,ab

ba

10

A．4B．4或10C．10D．4或

3

x1

9．（2021·海南·中考真題）分式方程0的解是____．

x2

2xmx1

10．（2021·湖北荊州·中考真題）若關(guān)于x的方程3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為_(kāi)____________．

x22x

11．（2021·遼寧本溪·中考真題）為了弘揚(yáng)我國(guó)書(shū)法藝術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的書(shū)寫(xiě)能力，某校舉辦了書(shū)法比賽，學(xué)

校準(zhǔn)備為獲獎(jiǎng)同學(xué)頒獎(jiǎng)．在購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品時(shí)發(fā)現(xiàn)，A種獎(jiǎng)品的單價(jià)比B種獎(jiǎng)品的單價(jià)多10元，用300元購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)

品的數(shù)量與用240元購(gòu)買(mǎi)B種獎(jiǎng)品的數(shù)量相同．設(shè)B種獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，則可列分式方程為_(kāi)_______．

2xa2xa

12．（2021·四川達(dá)州·中考真題）若分式方程4的解為整數(shù)，則整數(shù)a___________．

x1x1

第14頁(yè)共21頁(yè).

x2m

13．（2021·山東·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）已知關(guān)于x的方程2m無(wú)解，則m的值是___．

x22x

2x

14．（2021·江蘇南京·中考真題）解方程1．

x1x1

x13

15．（2021·陜西·中考真題）解方程：1．

x1x21

312

16．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：.．