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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),對任意的,,當時,,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對稱軸是 D.函數(shù)的一個對稱中心是2.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-33.在復平面內(nèi),復數(shù)z=i對應的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉,所得向量對應的復數(shù)是()A. B. C. D.4.已知,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.5.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計算機輸出的數(shù)是()A. B. C. D.6.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.17.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.8.過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線,若與軸的交點坐標為,則該雙曲線的標準方程可能為()A. B. C. D.9.已知全集,集合,則()A. B. C. D.10.已知,則()A. B. C. D.11.已知,,則的大小關系為()A. B. C. D.12.某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試,先將600個零件進行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.578二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若向量與向量垂直,則______.14.記為等比數(shù)列的前n項和,已知,,則_______.15.正四面體的一個頂點是圓柱上底面的圓心,另外三個頂點圓柱下底面的圓周上,記正四面體的體積為,圓柱的體積為,則的值是______.16.在平面直角坐標系中,已知圓及點,設點是圓上的動點,在中,若的角平分線與相交于點,則的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點.(1)求證:;(2)求二面角的大?。?8.(12分)已知橢圓()的半焦距為,原點到經(jīng)過兩點,的直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點,求橢圓的方程.19.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.20.(12分)為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況,假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況,從這10天中隨機抽取1天,他所得的勞務費記為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望;(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.21.(12分)在直角坐標系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.(l)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程:(2)若直線與曲線C相交于A,B兩點,且.求直線的方程.22.(10分)在某外國語學校舉行的(高中生數(shù)學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分數(shù)在以上(含)的同學獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關”.女生男生總計獲獎不獲獎總計附表及公式:其中,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡,然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對于A,,故A錯誤;對于B,由,解得,故B錯誤;對于C,當時,,故C錯誤;對于D,由,故D正確.故選:D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關鍵,屬于基礎題.2.B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因為,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3.A【解析】
由復數(shù)z求得點Z的坐標,得到向量的坐標,逆時針旋轉,得到向量的坐標,則對應的復數(shù)可求.【詳解】解:∵復數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復平面中對應點Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉得到,
設=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對應復數(shù)為.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎題.4.D【解析】
構造函數(shù),利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,考查對數(shù)式比較大小,屬于中檔題.5.B【解析】
先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當輸入,,則計算機輸出的數(shù)是57.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎題.6.A【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計算,意在考查學生的計算能力.7.A【解析】
首先求出樣本空間樣本點為個,再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù),再求出重復數(shù)量,可得事件的樣本點數(shù),根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個,具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個正面向上為連續(xù)的3個“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計算時會有重復,重復數(shù)量為,事件的樣本點數(shù)為:個.故不同的樣本點數(shù)為8個,.故選:A【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,古典概型的概率計算公式,屬于基礎題8.A【解析】
直線的方程為,令,得,得到a,b的關系,結合選項求解即可【詳解】直線的方程為,令,得.因為,所以,只有選項滿足條件.故選:A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系以及雙曲線的標準方程,考查運算求解能力.9.D【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補集和交集定義可求得結果.【詳解】,,,.故選:.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎題.10.B【解析】
利用誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項:【點睛】本題考查誘導公式的應用,同角三角函數(shù)基本關系式的應用,考查計算能力.11.D【解析】
由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小,利用作差法,結合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關系,進而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以最小;而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,綜上可知,故選:D.【點睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形,對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應用,作差法比較大小,屬于中檔題.12.D【解析】
因為要對600個零件進行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因為535重復出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用,正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.0【解析】
直接根據(jù)向量垂直計算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學生的計算能力.14.【解析】
設等比數(shù)列的公比為,將已知條件等式轉化為關系式,求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為,,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的基本量運算,屬于基礎題.15.【解析】
設正四面體的棱長為,求出底面外接圓的半徑與高,代入體積公式求解.【詳解】解:設正四面體的棱長為,則底面積為,底面外接圓的半徑為,高為.∴正四面體的體積,圓柱的體積.則.故答案為:.【點睛】本題主要考查多面體與旋轉體體積的求法,考查計算能力,屬于中檔題.16.【解析】
由角平分線成比例定理推理可得,進而設點表示向量構建方程組表示點P坐標,代入圓C方程即可表示動點Q的軌跡方程,再由將所求視為該圓上的點與原點間的距離,所以其最值為圓心到原點的距離加減半徑.【詳解】由題可構建如圖所示的圖形,因為AQ是的角平分線,由角平分線成比例定理可知,所以.設點,點,即,則,所以.又因為點是圓上的動點,則,故點Q的運功軌跡是以為圓心為半徑的圓,又即為該圓上的點與原點間的距離,因為,所以故答案為:【點睛】本題考查與圓有關的距離的最值問題,常常轉化到圓心的距離加減半徑,還考查了求動點的軌跡方程,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2)60°.【解析】試題分析:(1)連結PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結合幾何關系做出二面角的平面角,計算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點建立空間直角坐標系,計算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量為.據(jù)此計算可得二面角的大小為.試題解析:(1)連結PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.則DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F,連接EF,則EFPB,∠DFE為所求二面角的平面角,則:DE=,DF=,則,故二面角的大小為法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如圖,以D為原點建立空間直角坐標系,B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),=(1,0,),=(0,,).設平面PBE的法向量,令,得.DE平面PAB,平面PAB的法向量為.設二面角的大小為,由圖知,,所以即二面角的大小為.18.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)依題意,由點到直線的距離公式可得,又有,聯(lián)立可求離心率;(2)由(1)設橢圓方程,再設直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,求得,令,可得,即得橢圓方程.試題解析:(Ⅰ)過點的直線方程為,則原點到直線的距離,由,得,解得離心率.(Ⅱ)由(1)知,橢圓的方程為.依題意,圓心是線段的中點,且.易知,不與軸垂直.設其直線方程為,代入(1)得.設,則,.由,得,解得.從而.于是.由,得,解得.故橢圓的方程為.19.(1);(2).【解析】
(1)對范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉化為“當時,”恒成立,利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當時,,當時,由得,解得;當時,無解;當時,由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價于在上恒成立,當時,等價于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,還考查了轉化能力及絕對值不等式的性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題.20.(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330;(2)見詳解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解析】
(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加,再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多,故為眾數(shù);(2)由題意能求出的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對應的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學期望;(3)利用(1)(2)的結果,可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費.【詳解】解:(1)由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.(2)設乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機變量,則當時,當時,當時,當時,當時,的分
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