高等數(shù)學課件同濟版微積分基本公式

高等數(shù)學課件-同濟版微積分基本公式函數(shù)的概念1定義域函數(shù)的定義域是所有允許輸入的自變量的值的集合。2值域函數(shù)的值域是所有可能的輸出值的集合。3對應關系函數(shù)將定義域中的每個自變量值唯一地映射到值域中的一個輸出值。函數(shù)的性質單調性函數(shù)在某個區(qū)間內，如果自變量的值增大，函數(shù)的值也隨之增大，則稱該函數(shù)在該區(qū)間內單調遞增；反之，如果自變量的值增大，函數(shù)的值隨之減小，則稱該函數(shù)在該區(qū)間內單調遞減。奇偶性如果函數(shù)滿足f(-x)=f(x)，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)；如果函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)。周期性如果存在一個非零常數(shù)T，使得對定義域內的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱該函數(shù)為周期函數(shù)，T稱為該函數(shù)的周期?；境醯群瘮?shù)指數(shù)函數(shù)形如y=a^x,其中a>0且a≠1，定義域為R，值域為(0,+∞)對數(shù)函數(shù)形如y=log_ax，其中a>0且a≠1，定義域為(0,+∞)，值域為R三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)反函數(shù)定義設函數(shù)f(x)的定義域為D，值域為E。如果對任意y∈E，在D中存在唯一的x使得f(x)=y，則稱f(x)在D上是單射的。對于一個單射函數(shù)f(x)，我們可以定義一個新的函數(shù)g(y)，使得g(f(x))=x，稱g(y)為f(x)的反函數(shù)，記為f-1(x)。性質反函數(shù)的定義域為f(x)的值域，值域為f(x)的定義域。反函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱。反函數(shù)的導數(shù)為原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)，即(f-1(x))'=1/f'(f-1(x))。復合函數(shù)復合函數(shù)是由多個函數(shù)組合而成的函數(shù)，例如f(g(x))，其中g(x)為內層函數(shù)，f(x)為外層函數(shù)。求復合函數(shù)的導數(shù)需要使用鏈式法則，即外層函數(shù)對內層函數(shù)求導，再乘以內層函數(shù)的導數(shù)。例如，求y=sin(x^2)的導數(shù)，可以先求sin(x^2)對x^2求導，即cos(x^2)，再乘以x^2的導數(shù)，即2x，最終得到y(tǒng)'=2xcos(x^2)。極限的概念定義當一個函數(shù)的輸入值無限接近某個值時，函數(shù)的輸出值無限接近某個特定值，這個特定值就是函數(shù)在這個點的極限。符號函數(shù)f(x)在x趨近于a時的極限記為：lim(x->a)f(x)。重要性極限的概念是微積分的基礎，它為導數(shù)、積分等概念奠定了理論基礎。極限的性質常數(shù)性質常數(shù)的極限等于它本身。極限唯一性如果函數(shù)的極限存在，則該極限是唯一的。加法和減法兩個函數(shù)的極限的和（或差）等于它們各自極限的和（或差）。乘法和除法兩個函數(shù)的極限的乘積（或商）等于它們各自極限的乘積（或商）。導數(shù)的概念1定義函數(shù)在某一點的導數(shù)定義為函數(shù)在該點處的變化率，即函數(shù)值的變化量與自變量的變化量的比值。用公式表示為：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。2幾何意義導數(shù)代表了函數(shù)曲線在該點處的切線的斜率，反映了函數(shù)在該點處的變化趨勢。3應用導數(shù)在微積分、物理、工程等領域有著廣泛的應用，例如求函數(shù)的極值、計算物體運動的速度和加速度等。導數(shù)的幾何意義導數(shù)在幾何上代表函數(shù)曲線在某一點的切線的斜率。具體來說，對于函數(shù)y=f(x)在點x=a處的導數(shù)f'(a)等于曲線y=f(x)在點(a,f(a))處的切線的斜率。導數(shù)的性質常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為零。冪函數(shù)冪函數(shù)的導數(shù)等于指數(shù)減一的冪乘以系數(shù)。和差法則兩個函數(shù)和或差的導數(shù)等于每個函數(shù)導數(shù)的和或差。積法則兩個函數(shù)積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)。高階導數(shù)二階導數(shù)函數(shù)的一階導數(shù)的導數(shù)稱為二階導數(shù)，它反映了函數(shù)變化率的快慢程度。高階導數(shù)函數(shù)的二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)，以此類推，稱為函數(shù)的高階導數(shù)。物理意義二階導數(shù)在物理學中用于描述加速度，三階導數(shù)用于描述加速度的變化率。應用高階導數(shù)在數(shù)學分析、物理學、工程學等領域都有廣泛的應用。微分的概念1定義函數(shù)在一點處的微分是函數(shù)增量線性主部的部分.2公式dy=f'(x)dx.3意義微分近似地刻畫了函數(shù)在一點附近的局部變化.微分是函數(shù)在一點處增量的線性近似，它反映了函數(shù)在該點附近的局部變化趨勢。微分公式為dy=f'(x)dx，其中dy為函數(shù)的微分，f'(x)為函數(shù)的導數(shù)，dx為自變量的增量。微分的應用廣泛，例如，在物理學中，它可以用來描述位移、速度和加速度之間的關系。在經濟學中，它可以用來描述利潤、成本和收入之間的關系。微分的性質線性近似微分可以用來近似地表示一個函數(shù)在某個點附近的變化。可加性兩個函數(shù)之和的微分等于它們各自微分的和。齊次性一個函數(shù)的微分乘以一個常數(shù)，等于該函數(shù)的微分乘以該常數(shù)。不定積分1基本概念不定積分是指求導數(shù)為已知函數(shù)的函數(shù)，也稱為原函數(shù)。它表示一個函數(shù)的“反導數(shù)”。2求解方法不定積分的求解方法通常使用積分公式和積分技巧。3應用場景不定積分在物理學、工程學等領域有著廣泛的應用，例如計算面積、體積、力學等。定積分1積分上限積分上限是定積分積分區(qū)域的上限。2積分下限積分下限是定積分積分區(qū)域的下限。3被積函數(shù)被積函數(shù)是在積分符號下需要進行積分的函數(shù)。牛頓-萊布尼茨公式1定積分用積分符號表示2原函數(shù)連續(xù)函數(shù)3求導求導數(shù)微積分基本定理1牛頓-萊布尼茨公式連接導數(shù)與積分之間的橋梁，它表明定積分的值等于原函數(shù)在積分區(qū)間的端點處的函數(shù)值之差。2微積分基本定理的意義它揭示了微分與積分之間的相互聯(lián)系，為解決許多數(shù)學問題提供了重要工具。3應用應用于求解定積分，求解微分方程，以及解決許多工程和物理學問題。廣義積分無窮積分積分區(qū)間包含無窮大或負無窮大。瑕積分積分區(qū)間內存在奇點，即被積函數(shù)在該點無定義或不連續(xù)。計算方法利用極限、變量代換等方法計算廣義積分。函數(shù)的連續(xù)性定義若函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，并且lim(x->x0)f(x)=f(x0)則稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)分類第一類間斷點：左右極限存在，但不相等第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在函數(shù)的連續(xù)性判定定義法根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義進行判定，即判斷函數(shù)在點x0處左右極限是否存在且相等，并等于函數(shù)值。性質法利用函數(shù)連續(xù)性的性質進行判定，例如基本初等函數(shù)的連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性等。間斷點法判斷函數(shù)在點x0處是否存在間斷點，若不存在間斷點則函數(shù)在該點連續(xù)。函數(shù)的可導性連續(xù)性可導函數(shù)必連續(xù)，但連續(xù)函數(shù)不一定可導。導數(shù)存在函數(shù)在一點可導意味著該點存在導數(shù)，即函數(shù)在該點處的切線斜率存在。羅爾定理1前提條件函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導2結論如果函數(shù)在閉區(qū)間端點的函數(shù)值相等，則在開區(qū)間內至少存在一點，使得函數(shù)的導數(shù)為零3應用證明函數(shù)的單調性、求解函數(shù)的極值、尋找函數(shù)的零點泰勒公式公式f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+R(x)用途將函數(shù)展開成多項式形式，方便研究函數(shù)的性質。應用近似計算函數(shù)值、求解方程、證明不等式。最值問題尋找函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值。應用導數(shù)的概念，通過求導和分析函數(shù)的單調性、極值點和邊界值來確定最值。在實際應用中，最值問題廣泛存在于經濟學、物理學、工程學等領域，用于優(yōu)化資源分配、確定最佳設計等。曲線的性質凹凸性判斷曲線凹凸性，需要計算二階導數(shù)并判斷其符號拐點拐點是指曲線凹凸性發(fā)生變化的點，即二階導數(shù)等于零或不存在的點漸近線漸近線是指當自變量趨于無窮大時，曲線無限接近的一條直線曲面的性質曲率描述曲面彎曲程度的量，反映了曲面在某一點處的彎曲程度。法線在曲面上某一點處的法線是垂直于該點切平面的直線。主曲率在曲面上某一點處，法截曲線的最大曲率和最小曲率分別稱為主曲率。多元函數(shù)的概念定義多個自變量的函數(shù)，其輸出值取決于所有自變量的值圖形函數(shù)的圖形需要在多維空間中表示，通常用三維坐標系或等高線圖來展示應用廣泛應用于物理、工程、經濟等領域，用于描述多因素之間的相互關系偏導數(shù)定義偏導數(shù)是多元函數(shù)對其中一個變量的導數(shù)，其他變量視為常數(shù)。符號偏導數(shù)符號用?表示，例如?f/?x表示函數(shù)f對x的偏導數(shù)。意義偏導數(shù)反映了多元函數(shù)在某一點沿著某個方向的變化率。重積分重積分可以用來計算曲面面積、體積、質量、重心等物理量。重積分的定義