2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023學(xué)年第一學(xué)期九年級數(shù)學(xué)科期末測試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.下列關(guān)于x的一元二次方程，有兩個不相等的實數(shù)根的方程的是()A.x2＋1＝0 B.x2＋2x＋1＝0 C.x2＋2x＋3＝0 D.x2＋2x－3＝02.將拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是（）A.y=3x2﹣2 B.y=3x2 C.y=3（x+2）2 D.y=3x2+23.古典園林中的花窗通常利用對稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對稱美．下面四個花窗圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.4.某種商品原價是120元，經(jīng)兩次降價后的價格是100元，求平均每次降價的百分率，設(shè)平均每次降價的百分率為x，所列方程正確的是（）．A. B.C. D.5.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點P在上，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.用配方法將方程變形為，則m的值是（）．A. B.4 C. D.87.平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，3），將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到OA'，則點的坐標是()A.（，3） B.（，4） C.（3，） D.（4，）8.有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別刻有1到6的點數(shù)．將它投擲一次，則擲得骰子朝上一面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是（）．A. B. C. D.9.如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（）A.2r， B.0， C.2r， D.0，10.拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，，三點，且．在下列四個結(jié)論中：①；②；③當時，若點在該拋物線上，則；④若關(guān)于x一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則；其正確結(jié)論的序號是（）．A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分．）11.一元二次方程的解是__．12.如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面時，水面寬，若水面下降，則水面寬度增加________．（結(jié)果可保留根號）13.關(guān)于x的方程的一根為1，則另一根為_________．14.如圖，已知正方形的邊長為3，為邊上一點，．以點為中心，把△順時針旋轉(zhuǎn)，得△，連接，則的長等于________15.如圖，轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤2次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針2次都落在灰色區(qū)域的概率是_________．16.如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則________________．（結(jié)果保留根號）三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17解方程：．18.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．（1）求b和c的值；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)取值時，y隨x的增大而減??？19.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，在平面直角坐標系內(nèi)，四邊形的四個頂點都在格點上，且，O為邊的中點．若把四邊形繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)，試解答下列問題：（1）畫出四邊形旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）設(shè)點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，寫出的坐標，并求B旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．20.已知關(guān)于x的方程（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．21.如圖，是的直徑，點C在上，且，．（1）尺規(guī)作圖：過點O作的垂線，垂足為E，交劣弧于點D，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，分別求和的長．22.甲、乙兩位同學(xué)相約打乒乓球．（1）有款式完全相同的4個乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機選取1個，乙再從余下的球拍中隨機選取1個，求乙選中球拍C的概率；（2）雙方約定：兩人各投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發(fā)球，否則乙先發(fā)球．這個約定是否公平？為什么？23.如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，那么的面積S隨出發(fā)時間t而變化．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)解析式，寫出t的取值范圍；（2）當t取何值時，S最大？最大值是多少？24.是上一條不經(jīng)過圓心的弦，，在劣弧和優(yōu)弧上分別有點A，B（不與M，N重合），且，連接，．（1）如圖①，是直徑，交于點C，，求的度數(shù)；（2）如圖②，連接，，過點O作交于點D．求證：；（3）如圖③，連接，，試猜想的值是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．25.蔬菜大棚是一種具有出色保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它的出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線的一部分構(gòu)成（以下簡記為“拋物線”），其中，，現(xiàn)取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，，若以O(shè)點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖①所示平面直角坐標系．請結(jié)合圖形解答下列問題：（1）求拋物線解析式；（2）如圖②，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置，，其中L，R在拋物線上，若，求兩個正方形裝置的間距的長；（3）如圖③，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，大棚截面陰影為，此刻，過點K的太陽光線所在的直線與拋物線交于點P，求線段的長．2023學(xué)年第一學(xué)期九年級數(shù)學(xué)科期末測試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.下列關(guān)于x的一元二次方程，有兩個不相等的實數(shù)根的方程的是()A.x2＋1＝0 B.x2＋2x＋1＝0 C.x2＋2x＋3＝0 D.x2＋2x－3＝0【答案】D【解析】【分析】要判斷所給方程是有兩個不相等的實數(shù)根，只要找出方程的判別式，根據(jù)判別式的正負情況即可作出判斷．有兩個不相等的實數(shù)根的方程，即判別式的值大于0的一元二次方程．【詳解】A、△=0-4×1×1=-4<0，沒有實數(shù)根；B、△=22-4×1×1=0，有兩個相等的實數(shù)根；C、△=22-4×1×3=-8<0，沒有實數(shù)根；D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有兩個不相等的實數(shù)根，故選D．【點睛】本題考查了根的判別式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．2.將拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到拋物線的解析式是（）A.y=3x2﹣2 B.y=3x2 C.y=3（x+2）2 D.y=3x2+2【答案】D【解析】【詳解】試題解析：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=3x2向上平移2單位，得到的拋物線的解析式是y=3x2+2．故選D．考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．3.古典園林中的花窗通常利用對稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對稱美．下面四個花窗圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形定義進行解答即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形定義，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．4.某種商品原價是120元，經(jīng)兩次降價后的價格是100元，求平均每次降價的百分率，設(shè)平均每次降價的百分率為x，所列方程正確的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為．得到第二次降價后價格的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，由題意得：，故選：B．5.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點P在上，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OB，OC，由正方形ABCD的性質(zhì)得，再根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，∵正方形ABCD內(nèi)接于，∴∴故選：B．【點睛】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．6.用配方法將方程變形為，則m的值是（）．A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】本題主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟練掌握配方法解一元二次方程步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，即：，∴，∴，故選：B．7.平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，3），將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到OA'，則點的坐標是()A.（，3） B.（，4） C.（3，） D.（4，）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為點O，旋轉(zhuǎn)方向順時針，旋轉(zhuǎn)角度90°，作出點A的對應(yīng)點A'，可得所求點的坐標．【詳解】作AB⊥x軸于B點，A′B′⊥y軸于B′點．如圖所示．∵A（4，3），∴OB=4，AB=3．∴OB′=4，A′B′=3．∵A′在第四象限，∴A′（3，－4）．故選C．【點睛】考查由圖形旋轉(zhuǎn)得到相應(yīng)坐標；根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向及角度得到相應(yīng)圖形是解決本題的關(guān)鍵．8.有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上分別刻有1到6的點數(shù)．將它投擲一次，則擲得骰子朝上一面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了概率公式的應(yīng)用．注意掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，是解決問題得關(guān)鍵．【詳解】解：∵骰子六個面中奇數(shù)為1，3，5，投擲一次出現(xiàn)1，2，3，4，5，6，共6種等可能結(jié)果，∴將它投擲一次，則擲得骰子朝上一面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是，故選：A．9.如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（）A.2r， B.0， C.2r， D.0，【答案】D【解析】【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．10.拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，，三點，且．在下列四個結(jié)論中：①；②；③當時，若點在該拋物線上，則；④若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則；其正確結(jié)論的序號是（）．A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④【答案】B【解析】【分析】把代入得，即可判斷①正確；根據(jù)圖象經(jīng)過，，且拋物線與軸的一個交點一定在或的右側(cè)，判斷出拋物線的開口一定向下，即，繼而得出拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)，得出拋物線的頂點在點的右側(cè)，得出1，根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)即可得出即可判斷②正確；根據(jù)拋物線對稱軸在直線的右側(cè)，得出到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，根據(jù)，拋物線開口向下，距離拋物線的對稱軸越近的函數(shù)值越大，即可得出③錯誤；根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)解，得出，由，即，求出，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，即，根據(jù)，得出，求出的取值范圍，即可判斷④正確．【詳解】解：圖象經(jīng)過，則把代入，得：，故①正確；圖象經(jīng)過，，即拋物線與軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物線與軸的交點都在的左側(cè)，∵中，∴拋物線與軸的一個交點一定在或的右側(cè)，∴拋物線的開口一定向下，即，∵，即∵，，∴，，∴方程的兩個根的積大于0，即，∵，∴，∴，即拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)，∴拋物線的頂點在點的右上方，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴當時，，∴拋物線對稱軸在直線的右側(cè)，∴到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，∵，拋物線開口向下，∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，∴，故③錯誤；方程可變?yōu)?，∵方程有兩個相等的實數(shù)解，∴．∵，即∴，即，∴，∴，即，∵，在拋物線上，∴，為方程的兩個根，∴，∴，∵，∴，∴．故④正確．綜上，正確結(jié)論有：①②④．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，拋物線與軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分．）11.一元二次方程的解是__．【答案】x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移項，在兩邊開方即可得出答案．【詳解】∵∴=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案為x1＝3，x2＝﹣3．【點睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法，熟練掌握該方法是本題解題的關(guān)鍵.12.如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面時，水面寬，若水面下降，則水面寬度增加________．（結(jié)果可保留根號）【答案】【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：建立平面直角坐標系，設(shè)橫軸通過水面，縱軸通過中點且通過點，則通過畫圖可得知為原點，則拋物線以軸為對稱軸，且經(jīng)過，兩點，可知，則拋物線頂點坐標為，設(shè)頂點式，代入點坐標，得：，所以拋物線解析式為，把代入拋物線解析式得出：，解得：，所以水面寬度增加到，比原先的寬度當然是增加了，故答案為：．13.關(guān)于x的方程的一根為1，則另一根為_________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)這個一元二次方程的另一根為，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，進而可求解，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個一元二次方程的另一根為，∵關(guān)于的方程的一根為1，∴，∴，故答案為：．14.如圖，已知正方形的邊長為3，為邊上一點，．以點為中心，把△順時針旋轉(zhuǎn)，得△，連接，則的長等于________【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解．【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC-DE=2，CE′=BC+BE′=4．根據(jù)勾股定理得到：EE′=．故答案為：15.如圖，轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤2次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針2次都落在灰色區(qū)域的概率是_________．【答案】##025【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法求概率是解答本題的關(guān)鍵．畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及指針2次都落在灰色區(qū)域的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：因轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，可將轉(zhuǎn)盤看作是等分為灰、白兩種顏色，畫樹狀圖如下：共四種等可能的結(jié)果，其中指針2次都落在灰色區(qū)域的結(jié)果有1種，指針2次都落在灰色區(qū)域的概率是．16.如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則________________．（結(jié)果保留根號）【答案】##【解析】【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計算圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，解得：，，∴；故答案為：【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形的弧長的計算，圓錐的底面半徑的計算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查了求解一元二次方程，把右邊的項移到左邊，然后提公因式法因式分解，求出方程的兩個根．熟練掌握解一元二次方程的解法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，即，∴或，∴，．18.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．（1）求b和c的值；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)取值時，y隨x的增大而減??？【答案】（1），（2）當時，隨的增大而減小【解析】【分析】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．（1）把已知兩點坐標代入拋物線解析式求出與的值即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定出滿足題意的范圍即可．【小問1詳解】解：將，代入，得：，解得：，∴，；【小問2詳解】由（1）可知：，則拋物線的對稱軸為直線，，開口向上，∴當時，隨的增大而減?。?9.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，在平面直角坐標系內(nèi)，四邊形的四個頂點都在格點上，且，O為邊的中點．若把四邊形繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)，試解答下列問題：（1）畫出四邊形旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）設(shè)點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，寫出的坐標，并求B旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換作圖和弧長公式的計算方法，根據(jù)要求作出圖形是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（2）結(jié)合圖形可得點的坐標，由旋轉(zhuǎn)可知點的旋轉(zhuǎn)路徑是以為圓心，為半徑的半圓弧，進而即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】由旋轉(zhuǎn)可知，，點旋轉(zhuǎn)路徑是以為圓心，為半徑的半圓?。畡t旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑長為．20.已知關(guān)于x的方程（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】（1），；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列方程組求解即可；（2）要證方程都有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明根的判別式大于0即可．【詳解】解：（1）設(shè)方程的另一根為x1，∵該方程的一個根為1，∴，解得．∴a的值為，該方程的另一根為．（2）∵，∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【點睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩個根，則x1+x2，x1?x2，要記牢公式，靈活運用．21.如圖，是的直徑，點C在上，且，．（1）尺規(guī)作圖：過點O作的垂線，垂足為E，交劣弧于點D，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，分別求和的長．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】本題考查了作垂線，直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理，勾股定理，中位線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．（1）如圖，作的垂直平分線，與圓的交點即為，連接即可；（2）由題意可知點為的中點，可知為的中位線，進而可得，由圓周角定理可知，再利用勾股定理可得，則，得，再結(jié)合勾股定理即可求解．【小問1詳解】解：分別、以為圓心，大于的長為半徑畫弧交于點，連接，與圓的交點即為，則即為的垂線，連接，如圖即為所求；【小問2詳解】由（1）可知，，則，即點為的中點，∵，∴為的中位線，∴，∵是的直徑，∴，由勾股定理可得：，∴，則，由勾股定理可得：．22.甲、乙兩位同學(xué)相約打乒乓球．（1）有款式完全相同4個乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機選取1個，乙再從余下的球拍中隨機選取1個，求乙選中球拍C的概率；（2）雙方約定：兩人各投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發(fā)球，否則乙先發(fā)球．這個約定是否公平？為什么？【答案】（1）（2）公平．理由見解析【解析】【分析】（1）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，再用乙選中球拍C的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)即可；（2）分別求出甲先發(fā)球和乙先發(fā)球的概率，再比較大小，如果概率相同則公平，否則不公平．【小問1詳解】解：畫樹狀圖如下：一共有12種等可能的結(jié)果，其中乙選中球拍C有3種可能的結(jié)果，∴乙選中球拍C的概率；【小問2詳解】解：公平．理由如下：畫樹狀圖如下：一共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上有2種可能的結(jié)果，∴甲先發(fā)球的概率，乙先發(fā)球的概率，∵，∴這個約定公平．【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率，游戲的公平性，掌握列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，動點Q從點B開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，那么的面積S隨出發(fā)時間t而變化．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)解析式，寫出t的取值范圍；（2）當t取何值時，S最大？最大值是多少？【答案】（1）（2）當時，的面積S有最大值36【解析】【分析】本題主要考查動點在線段上運動的規(guī)律，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)等知識，理解動點運動中時間與的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意直接列式表示，，結(jié)合三角形的面積公式即可作答；（2）將（1）的結(jié)果配成頂點式，即可作答．小問1詳解】解：根據(jù)題意有：，，∵，，∴，∴根據(jù)題意有：，∵，，∴，故S關(guān)于的函數(shù)解析式為；【小問2詳解】解：∵，∴當時，的面積S有最大值36．24.是上的一條不經(jīng)過圓心的弦，，在劣弧和優(yōu)弧上分別有點A，B（不與M，N重合），且，連接，．（1）如圖①，是直徑，交于點C，，求的度數(shù)；（2）如圖②，連接，，過點O作交于點D．求證：；（3）如圖③，連接，，試猜想的值是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）是定值16，理由見解析【解析】【分析】（1）如圖1，根據(jù)圓周角定理得到；由圓周角、弧、弦的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)推知，，即可求出結(jié)論；（2）如圖2，連接，，，利用圓周角、弧、弦的關(guān)系和平行線的性質(zhì)推知：；根據(jù)等腰的性質(zhì)知：；結(jié)合的內(nèi)角和定理得到：，即；（3）設(shè)，．如圖3，延長至點，使，連接，作于點E．構(gòu)造全等三角形：，則該全等三角形的對應(yīng)邊相等，，由勾股定理知，，代入化簡即可得到該結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖1，∵是的直徑，∴．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解