2023-2024學(xué)年廣東省深圳市科學(xué)高中高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳科學(xué)高中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分.共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.3.已知，，.則的值是（）A.2 B.1 C. D.4.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)是為偶函數(shù)的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.若不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)滿足.若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，…，.則等于（）A3m B.6m C.9m D.12m二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則，D.若，，則10.下列說法正確的是（）A.命題“，”否定是“，”B函數(shù)與表示相同函數(shù)C.“”是“”的必要而不充分條件D.“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)實(shí)數(shù)根”的充要條件11.已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A.在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的值域是 D.的值域是三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.函數(shù)的值域是______．14.已知，則______．15.已知，且，則的最小值是___________.16.已知，，若任給，存在．使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.求下列式子的值：（1）（2）18.已知集合，或，為實(shí)數(shù)集．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．20.深圳科學(xué)高中創(chuàng)辦于2012年，是一所管理規(guī)范、校風(fēng)優(yōu)良、充滿朝氣與活力的優(yōu)質(zhì)學(xué)校．自辦學(xué)以來形成了良好的社會(huì)效應(yīng).走出了一條科高特色的發(fā)展之路，建立了獨(dú)特的科高“魔法”文化，已成為深圳優(yōu)質(zhì)教育的先進(jìn)樣本．為了給學(xué)生營造更加良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，確保學(xué)生安全.學(xué)校決定實(shí)行人車分流，新開一個(gè)大門——東大門供車輛進(jìn)出校園.因此，需要在學(xué)校東大門的門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米.底面為24平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻.無需建造費(fèi)用.工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左、右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元．設(shè)屋子的左，右兩面墻的長(zhǎng)度均為x米（），房屋的造價(jià)為y元．（1）寫出y關(guān)于x的表達(dá)式；（2）當(dāng)左、右兩面墻長(zhǎng)度x為多少時(shí)，工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià)．21.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù).且．（1）用定義法判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）解不等式．22.定義在上的單調(diào)函數(shù)滿足且對(duì)任意x，都有．（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

深圳科學(xué)高中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分.共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，然后按補(bǔ)集定義求補(bǔ)集，再用并集定義求解即可【詳解】或所以，故選：D2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，，，，C對(duì)，ABD都錯(cuò).故選：C.3.已知，，.則的值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出即可.【詳解】由，所以，故選：B4.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)是為偶函數(shù)的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和充要條件的定義，分析可得結(jié)論．【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù))為偶函數(shù)，則，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的充分必要條件，故選：A．5.若不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意確定是的兩根，且，即可求得的值，繼而解不等式，即可得答案.【詳解】由不等式的解集是，可知是的兩根，且，故，故即，解得或，即不等式的解集是，故選：D6.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，由此將化為，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足，即為奇函數(shù)；又在R上單調(diào)遞增，故不等式為，則，即的解集是，故選：A7.已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圖象的對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列出不等式，即可求得答案.【詳解】函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上具有單調(diào)性，故或，即或，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是，故選：C8.已知函數(shù)滿足.若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，…，.則等于（）A.3m B.6m C.9m D.12m【答案】A【解析】【分析】由判斷關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，進(jìn)而判斷函數(shù)與圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由此求出和的值，即可得答案.【詳解】由函數(shù)滿足可得，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由函數(shù)，其圖象可由向上平移3個(gè)單位得到，故關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，…，必關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)，和關(guān)于對(duì)稱，依此類推；設(shè)，則，故，同理令，可得，故，故選：A二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則，D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷A，B；舉反例判斷C；利用作差法比較大小判斷D.【詳解】對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，，則，，即，B正確；對(duì)于C，取，則，但不滿足，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，即，D正確，故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)與表示相同函數(shù)C.“”是“”的必要而不充分條件D.“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)實(shí)數(shù)根”的充要條件【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定判斷A；根據(jù)函數(shù)的定義判斷B；判斷“”和“”的邏輯推理關(guān)系判斷C；求出方程有一正一負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)m的取值范圍，判斷其和的推理關(guān)系，判斷D.【詳解】對(duì)于A，命題“，”為全稱命題，其否定為“，”，A正確；對(duì)于B，函數(shù)與的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域相同，故二者為相同函數(shù)，B正確；對(duì)于C，由，可推出，反之也成立，即“”是“”的充要條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，關(guān)于x的方程有一正一負(fù)實(shí)數(shù)根，即得，解得，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，不一定有成立，故“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)實(shí)數(shù)根”的充分不必要條件，D錯(cuò)誤，故選：AB11.已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意可知，，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知D錯(cuò)誤；，可知A正確；利用基本不等式可知，化簡(jiǎn)整理可知B正確；在根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)，即可判斷C正確.【詳解】由題可知，，又，所以，D錯(cuò)誤；因?yàn)?，有．所以A正確；由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；又因?yàn)?，，所以，故，B正確；由于，，所以，C正確.故選：ABC．12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A.在上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的值域是 D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷A，再由特殊值判斷B，根據(jù)函數(shù)求值域判斷CD.【詳解】根據(jù)題意知，，在定義域上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式，即可得出函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，函數(shù)的值域是.故答案為：.14已知，則______．【答案】【解析】【分析】利用配湊法，將化為，即得答案.【詳解】由于，故，故答案為：15.已知，且，則的最小值是___________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：8.16.已知，，若任給，存在．使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可推得在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?根據(jù)分段函數(shù)各段的單調(diào)性，得出.進(jìn)而分，，三種情況，得出的范圍，列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】由任給，存在．使得，可知，在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，，所以，；當(dāng)時(shí)，.，且，則.因?yàn)?，且，所以，，，所以，，，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以.所以有，解得；當(dāng)時(shí)，不滿足；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.所以有，解得.綜上所述，或.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.求下列式子的值：（1）（2）【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值，即得答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值，即得答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知集合，或，為實(shí)數(shù)集．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，由，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由題意，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】不等式，解得，則，或，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】或，，若“”是“”的充分不必要條件，則有，當(dāng)符合題意，有，解得，當(dāng)時(shí)，有，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，求得最值，即可得答案；（2）討論a的取值范圍，判斷函數(shù)圖像的對(duì)稱軸和給定區(qū)間的位置關(guān)系，即可求得函數(shù)最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，其圖象對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?小問2詳解】，其圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，,在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.20.深圳科學(xué)高中創(chuàng)辦于2012年，是一所管理規(guī)范、校風(fēng)優(yōu)良、充滿朝氣與活力的優(yōu)質(zhì)學(xué)校．自辦學(xué)以來形成了良好的社會(huì)效應(yīng).走出了一條科高特色的發(fā)展之路，建立了獨(dú)特的科高“魔法”文化，已成為深圳優(yōu)質(zhì)教育的先進(jìn)樣本．為了給學(xué)生營造更加良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，確保學(xué)生安全.學(xué)校決定實(shí)行人車分流，新開一個(gè)大門——東大門供車輛進(jìn)出校園.因此，需要在學(xué)校東大門的門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米.底面為24平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻.無需建造費(fèi)用.工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左、右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元．設(shè)屋子的左，右兩面墻的長(zhǎng)度均為x米（），房屋的造價(jià)為y元．（1）寫出y關(guān)于x的表達(dá)式；（2）當(dāng)左、右兩面墻的長(zhǎng)度x為多少時(shí)，工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià)．【答案】（1），.（2）4米，28800元【解析】【分析】（1）確定屋子前墻的長(zhǎng)度，根據(jù)題意即可列出函數(shù)解析式；（2）利用基本不等式即可求得的最小值，以及此時(shí)x的值，即得答案.【小問1詳解】由題意可得屋子的左，右兩面墻的長(zhǎng)度均為x米（），則前面墻的長(zhǎng)度為米，故，.【小問2詳解】由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)左、右兩面墻的長(zhǎng)度x為4米時(shí)，工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低，最低報(bào)價(jià)為28800元.2