江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 附答案

景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末質(zhì)量檢測卷高二數(shù)學(xué)命題人：程朝鵬（昌江一中）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．在空間四邊形中，化簡（）A． B． C． D．2．動(dòng)圓經(jīng)過定點(diǎn)，且與軸相切，則圓心的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．共軛雙曲線與，有（）A．相同的離心率 B．公共焦點(diǎn) C．公共頂點(diǎn) D．公共漸近線5．直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）A． B． C．2 D．106．已知方程表示的曲線為，則下列命題正確的個(gè)數(shù)有（）①若曲線為橢圓，則且焦距為常數(shù)②曲線不可能是焦點(diǎn)在軸的雙曲線③若，則曲線上存在點(diǎn)，使，其中為曲線的焦點(diǎn)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A． B．3 C． D．8．南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖所示，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為，往杯盞里面放入一個(gè)半徑為的小球，要使小球能觸及杯盞的底部（頂點(diǎn)），則最大值為（）圖2A． B． C． D．二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．已知向量，則（）A． B． C． D．向量的夾角為10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上不同的兩點(diǎn)，則（）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C．若，則線段的中點(diǎn)到軸距離為4D．以線段為直徑的圓與軸相切11．已知正方體，點(diǎn)是四邊形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，為四邊形的中心，則下列說法正確的是（）A．不存在點(diǎn)，使平面B．三棱錐的體積為定值C．直線與直線的夾角為定角D．平面截正方體所得的截面是有一組對邊平行的四邊形12．若直線被圓所截的弦長不小于2，則下列曲線中，與直線一定有公共點(diǎn)的是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知，則______．14．焦點(diǎn)為的橢圓上有一點(diǎn)，若的中點(diǎn)落在軸上，則______．15．在正三棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則直線與平面夾角的正弦值為______．16．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線的右支交與點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為______．四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（本小題滿分10分）在直三棱柱中，四邊形是邊長為3的正方形，，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．（1）求的值；（2）求證：．18．（本小題滿分12分）已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，求的值．19．（本小題滿分12分）在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，，，點(diǎn)在上，且．（1）求異面直線與夾角的余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離．20．（本小題滿分12分）若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，焦距長為4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積．21．（本小題滿分12分）某校一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E，F(xiàn)，G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）．圖1圖2（1）若是四邊形對角線的交點(diǎn)，求證：平面；（2）若二面角的平面角為，求平面與平面夾角的余弦值．22．（本小題滿分12分）若橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為．（1）求的值；（2）傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，是否存在直線滿足？如果存在求出直線方程，如果不存在說明理由．

景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末質(zhì)量檢測卷高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．123456789101112BDADBDCCACABDBCDAB二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13． 14．1 15． 16．三、解答題：本大題共6大題，滿分70分．17．解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，（2）因?yàn)?，，（第二問也可找中點(diǎn)，利用平面）18．解：（1）由已知，得又，，方程為（2）聯(lián)立，得即當(dāng)時(shí)，顯然有一個(gè)解，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，綜上，或2．19．解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，即異面直線與夾角的余弦值為（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量，，由，得，于是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)到平面的距離．（第二問也可以利用等體積法）20．解：（1）由已知，得設(shè)方程為，則，得方程為（2）聯(lián)立，得，即，．又因?yàn)椋?1．解：（1）取線段中點(diǎn)，連接由圖1可知，四邊形是矩形，且，在圖2中，且，且，四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，平面．（2）由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，