江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 附答案

秘密★啟用前萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答，答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.根據(jù)下表數(shù)據(jù)，通過(guò)最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為：，則（）12340.60.81.11.5A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.12.已知，，是空間中兩兩垂直的單位向量，則（）A. B.14 C. D.23.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為（）A. B.2 C. D.4.某一地區(qū)患有癌癥的人占0.05，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.9，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.05.現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，則此人是癌癥患者的概率為（）A. B. C. D.5.有7種不同的顏色給下圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，且相鄰的兩個(gè)格子顏色不能相同，若最多使用3種顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A.462 B.630 C.672 D.8826.加斯帕爾·蒙日是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖）.已知橢圓：，是直線：上一點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，連接（是坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)為直角時(shí)，直線的斜率（）A. B. C. D.7.以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成60°的二面角.若，，其中，，則的最小值為（）A. B. C. D.8.拋物線：（）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且滿足，在上的射影為，若的面積為，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.9二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量，則B.若隨機(jī)事件，滿足：，，，則事件與相互獨(dú)立C.若事件與相互獨(dú)立，且，則D.若殘差平方和越大，則回歸模型對(duì)一組數(shù)據(jù)，，…，的擬合效果越好10.曲線：，直線：與：，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.曲線的圖象一定關(guān)于對(duì)稱 B.當(dāng)時(shí)，與間的距離為C.當(dāng)時(shí)， D.若與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是11.如圖，正方體邊長(zhǎng)為1，是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角的正弦值為D.直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為12.雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，兩條漸近線分別為，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，為上異于，的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)，則B.若，則或9C.過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，若（），則D.設(shè)，的斜率分別為，，則的最小值為2第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷共2頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答，答題無(wú)效.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知過(guò)點(diǎn)的直線在軸上的截距是其在軸上截距的3倍，則滿足條件的一條直線的方程為______.14.將6名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，不同的分配方案有______種.（用數(shù)字作答）15.若隨機(jī)變量，且，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)是______.16.盒中裝有5個(gè)大小、質(zhì)地相同的小球，其中3個(gè)白球和2個(gè)黑球.兩位同學(xué)先后輪流不放回摸球，每次摸一球，當(dāng)摸出第二個(gè)黑球時(shí)結(jié)束游戲，或能判斷出第二個(gè)黑球被哪位同學(xué)摸到時(shí)游戲也結(jié)束.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)兩位同學(xué)摸球的總次數(shù)為，則______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知圓是的外接圓，圓心為，頂點(diǎn)，，且______.在下列所給的三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.①頂點(diǎn)；②；③.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，求的最小值.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，.（1）證明：；（2）若異面直線與所成角的余弦值為，求平面與平面所成角的正弦值.19.（本小題滿分12分）甲、乙兩所學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生分別有1000人和800人，為了解兩所學(xué)校全體高三年級(jí)學(xué)生在該地區(qū)八校聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，采用分層抽樣方法從兩所學(xué)校一共抽取了72名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下：甲校分組頻數(shù)3148103乙校分組頻數(shù)210221（1）計(jì)算，的值；（2）若規(guī)定考試成績(jī)?cè)趦?nèi)為尖子，現(xiàn)從兩校的尖子生中隨機(jī)抽取4人，求恰有1人來(lái)自乙校的概率；（3）若規(guī)定考試成績(jī)?cè)趦?nèi)為優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異.甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)參考公式：，.臨界值表：0.10.050.012.7063.8416.63520.（本小題滿分12分）在一次智力游戲中，甲、乙兩人輪流答題，每人每次答一題，游戲開始時(shí)由甲先答題，約定：先答對(duì)題者為游戲獲勝方：當(dāng)游戲分出勝負(fù)或兩人各答錯(cuò)3次時(shí)游戲均結(jié)束，兩人各答錯(cuò)3次視為平局.已知甲每次答對(duì)題的概率均為，乙每次答對(duì)題的概率均為，且每次答題互不影響.（1）求兩人共答題不超過(guò)4次時(shí)，甲獲勝的概率；（2）求游戲結(jié)束時(shí)乙答題次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.21.（本小題滿分12分）如圖，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面，，且.（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（本小題滿分12分）如圖，橢圓：（）的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率，、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷直線與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（分）BACDC；DDB.二、多項(xiàng)選擇題（分）ABC；ABC；ACD；AD.三、填空題（分）13.（或）；14.50；15.48；16..四、解答題（共70分）17.答案：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）的最小值為3.（1）若選①：【方法一】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，∵圓過(guò)點(diǎn)，，∴圓心在直線上，即；∵圓過(guò)點(diǎn)，，∴圓心在直線上，即，∴圓的圓心為，半徑，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【方法二】設(shè)圓的一般方程為，∵圓過(guò)點(diǎn)，，，代入方程，解得，，，∴圓的一般方程為，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選②：∵，∴是直角三角形，∴的外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題知，圓心為，半徑，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選③：∵，∴圓心為邊的中點(diǎn)，為圓的直徑，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題知，圓心為，半徑，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）依題意：，，又∵，∴，即，∴的最小值為3.18.答案：（1）見詳解；（2）平面與平面所成角的正弦值為.（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，∵底面是菱形，，∴又∵，∴，，、平面，∴平面，∵平面，∴；（2）∵，∴為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，則，又，由余弦定理，，在中，，∴，由（1）可知，，，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，因?yàn)槠矫?，故平面的法向量，設(shè)平面和平面所成角為，則，則，故平面和平面所成角的正弦值為.19.答案：（1），：（2）：（3）列聯(lián)表見后；不能在犯錯(cuò)誤的概率數(shù)學(xué)成績(jī)有差異.（1）甲校抽取人，乙校抽取人，故，；（2）由表知甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人，恰有1人來(lái)自乙校的概率；（3）列聯(lián)表如下：9分甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀15520非優(yōu)秀252752總計(jì)403272，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為兩所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異.20.答案：（1）；（2）.（1）計(jì)，分別表示甲、乙在第次答題答對(duì)，則，，，記“甲獲勝”為事件，則；（2）的所有可能為：0，1，2，3，，，，，綜上所述，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望（次）.21.答案：（1）見詳解；（2）存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.（1）證明：設(shè)點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，連接，.∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，在正方形中，，所以，，∴四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，∴平面；（2）∵平面，，∴以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)，，，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，∵點(diǎn)到平面的距離為，所以，解得