2024-2025學(xué)年廣西南寧市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西南寧市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)可導(dǎo)，且，則曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角為（

）A．45° B．60° C．120° D．135°2．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．4．已知點(diǎn)，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．5．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，，則的值為（

）A．949 B．1160 C．1276 D．2261二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且.記，則下列說法正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．C． D．10．已知圓直線，則以下幾個(gè)命題正確的有（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓C被軸截得的弦長為C．直線與圓恒相交D．直線被圓截得最短弦長時(shí)，直線的方程為11．如圖，圓.圓動(dòng)圓P與圓F?外切于點(diǎn)M，與圓F?內(nèi)切于點(diǎn)N，且P，M，N不重合，圓心P的軌跡記為曲線C則（

）

A．曲線C的方程為B．∠MPN的最小值為120°C．曲線C的一條弦AB被點(diǎn)(2，1)平分，則D．三、填空題（本大題共3小題）12．雙曲線上的一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于7，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.13．南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成新的等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為2，3，6，11，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為.14．已知正項(xiàng)數(shù)列{}是公比不等于1的等比數(shù)列，且若則.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．16．已知圓．(1)若直線經(jīng)過點(diǎn),且與圓相切,求直線的方程；(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在圓上,為線段的中點(diǎn),求的軌跡的長度．17．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若，存在正整數(shù)n使得，成立，求k的取值范圍.19．已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個(gè)數(shù)，并說明理由.(3)過點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)在某定直線上，并求出該定直線的方程.

答案1．【正確答案】A【詳解】由，可得，則曲線在處的切線斜率為1，由（為傾斜角），，可得.故選：A．2．【正確答案】D【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式即可.【詳解】方程化為標(biāo)準(zhǔn)式得，則.故選：D.3．【正確答案】D【詳解】由題意可知，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，求出直線，的斜率，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.

5．【正確答案】B【分析】計(jì)算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，滿足，所以，又，故，故選B.6．【正確答案】C【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故點(diǎn)在軸上.如圖，在直角中，，在中，，化簡得，∴橢圓的離心率.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，故，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，不妨設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：A.8．【正確答案】A【詳解】由題意：，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.所以，.所以.故選：A.9．【正確答案】ACD【詳解】由變形得，即為等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以，，，所以，故ACD正確.故選：ACD10．【正確答案】AC【詳解】選項(xiàng)A中，直線的方程整理得，由，解得，∴直線過定點(diǎn)，故A正確；選項(xiàng)B中，在圓方程中令，得，解得，∴軸上的弦長為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，，∴在圓內(nèi)，直線與圓一定相交，故C正確；選項(xiàng)D中，直線被圓截得弦最短時(shí)，直線且，∴，則直線方程為，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由條件得，則，且不重合，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓（去掉重合的點(diǎn)），則曲線的方程為：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由圖知，與互補(bǔ)，當(dāng)取最小時(shí)，則取最大，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，取最大，此時(shí)，即，則的最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)該弦與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則，且點(diǎn)為中點(diǎn)，則，因?yàn)?，兩式作差可得，則，即，可得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD12．【正確答案】【詳解】由，可得，所以，所以，不妨設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)為，且，由雙曲線的定義，可得，所以，解得或（舍去）.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)二階等差數(shù)列為，令，則，，，由題意可得：數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，即，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得；，又因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即，所以；令，則；所以，即.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意結(jié)合正弦定理可得，即，∵，∴，∴，故．（2）由，解得．由余弦定理可得，∴，∴的周長為．16．【正確答案】(1)x=?1或(2)【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:因?yàn)?所以點(diǎn)在圓外,故過點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),圓心到直線的距離所以直線與圓C相切.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線,即所以圓心C到直線的距離,由題意,解得,此時(shí),即,終上所述,直線的方程為x=?1或.（2）設(shè)因?yàn)闉镈E的中點(diǎn),所以,因?yàn)辄c(diǎn)E在圓C上，所以,即，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,所以的軌跡的長度為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，，分別為、的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，且，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，則且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）解：假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，如圖，連接、、，在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，則是四棱錐的高，設(shè)，則，，所以，，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，故，，，設(shè)，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，.易知平面的一個(gè)法向量為，，整理可得，解得，合乎題意，所以，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）由得：，兩式相減得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，由于，即，又因?yàn)?，所以，即?shù)列是等差數(shù)列上，公差為，首項(xiàng)為，所以,即;（2）由于，則，利用錯(cuò)位相減法，則，上面兩式相減得：，則，即；（3）由于，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，即，因?yàn)楫?dāng)，存在正整數(shù)n使得，成立，則，由,變形得：，因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以有，則有.19．【正確答案】(1)拋物線的方程為(2)當(dāng)?shù)拿娣e小于時(shí)，有4個(gè)，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，有3個(gè)，當(dāng)?shù)拿娣e大于時(shí)，有2個(gè)(3)點(diǎn)在直線上【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，于是，解得：，所以拋物線的方程為．（2）由（1）知，直線的方程為，設(shè)，由，消去得：，，則，所以，設(shè)與平行且與拋物線相切的直線方程為，，消去得：，，解得，所以切線方程為，切線與的距離，當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，的面積為，當(dāng)?shù)拿娣e小于時(shí)，在直線各有兩個(gè)點(diǎn)符合題意，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，在直線上