2024-2025學(xué)年河北省承德市承德縣高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省承德市承德縣高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．若直線與平行，則（

）A． B． C． D．22．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的斜率為（

）A． B． C．3 D．3．若橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過點(diǎn)0,2，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．4．正四棱柱中，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．在直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．6．已知直線與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．8．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．圓心的坐標(biāo)為B．圓的半徑為C．圓心到直線的距離為2D．10．已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為 B．C．若，則的面積為9 D．最小值為11．已知正方體棱長(zhǎng)為1，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成角為B．直線到平面的距離是C．點(diǎn)到直線的距離為D．平面與平面所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．若M，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是該雙曲線上任意一點(diǎn)．當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，記為，，則．13．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為．14．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，直線平面；②直線到平面的距離是；③存在點(diǎn)，使得；④面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．(本題13分)已知圓.(1)若直線與圓相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為和.①求四邊形面積的最小值；②當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為4時(shí)，求直線的方程.16．(本題15分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若點(diǎn)的軌跡與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若直線的斜率為，求線段的長(zhǎng).17．(本題15分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，．(1)求證：平面；(2)求直線平面夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．18．(本題17分)如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，.(1)證明：：(2)求平面和平面夾角的正弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值：苦不存在，請(qǐng)說明理由.19．(本題17分)已知圓和定點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若是曲線上的一點(diǎn)，過的直線與直線分別交于S，T兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn)．①求證：直線l與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②求的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．答案：題號(hào)12345678910答案ACBDDAAAACDBCD題號(hào)11答案BCD1．A【分析】根據(jù)直線平行列式求解，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述.故選：A.2．C【分析】利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得解.【詳解】由直線l經(jīng)過點(diǎn)，，得直線l的斜率.故選：C3．B【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意得橢圓焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過點(diǎn)0,2，所以，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．4．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用異面直線夾角余弦公式求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，故直線與所成角的余弦值為.故選：D5．D【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，利用勾股定理可表示出弦長(zhǎng)，代入面積公式，結(jié)合二次函數(shù)求最值即可求解.【詳解】圓心到直線的距離，，又，所以，即.故選：D.6．A【分析】解方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算出距離．【詳解】由得，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選：A．7．A【分析】根據(jù)題意，得證為等腰三角形，于是建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，根據(jù)與直線AC與BD所成角為建立方程，求得，然后找出外接球球心，根據(jù)相關(guān)數(shù)量關(guān)系，建立外接球半徑的等式關(guān)系，求出半徑，應(yīng)用球的表面積公式即可得解【詳解】由題意可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又，且所以，所?取的中點(diǎn)，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，D0,1,0，令，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€AC與BD所成角為，所以，解得，即，如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的投影為，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱錐外接球表面積為，故選：A方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；2.若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體求解；3.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)．4.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)．5.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解．8．A【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性結(jié)合，得到四邊形為矩形，設(shè)，，在直角中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)，得到的范圍，從而利用對(duì)勾函數(shù)的值域得到的范圍，進(jìn)而由即可得解.【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，則，所以平行四邊形為矩形，故，設(shè)，，則，在中，，，所以，則，所以，令，得，又由，得，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，則，故，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性證得四邊形為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定理，結(jié)合條件得到關(guān)于的齊次不等式，從而得解.9．ACD【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式判斷AB；求出圓心到直線距離判斷C；利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于AB，圓：的圓心，半徑，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線：的距離，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD10．BCD【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【詳解】由橢圓方程可知，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．11．BCD【分析】由線面垂直得證線線垂直，判斷A，由直角三角形求點(diǎn)線距判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面距判斷B，結(jié)合正方體的性質(zhì)得平面的法向量，由法向量夾角求二面角判斷D．【詳解】平面，平面，所以，A錯(cuò)；以為原點(diǎn)，分別以為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，得，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為，B正確；是直角三角形，，因此到直線的距離等于，C正確；由正方體的性質(zhì)，可得平面，平面，，，，，所以平面與平面所成角的余弦值為，D正確．故選：BCD．12．【分析】直接由斜率公式結(jié)合雙曲線方程即可求解.【詳解】由題意設(shè)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，記為，，則.故答案為.13．【分析】首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后列出等式，最后化簡(jiǎn)所得的等式可得軌跡方程.【詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡(jiǎn)得，即.故答案為.14．①②③【分析】對(duì)①：由線面平行的判定定理進(jìn)行判斷即可；對(duì)②：把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法求解即可；對(duì)③和④：都屬動(dòng)點(diǎn)問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的問題，對(duì)于③，只需證明有解即可；對(duì)于④，只需求出點(diǎn)到直線距離的最小值即可.【詳解】對(duì)①，如圖所示:因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，顯然也是的交點(diǎn)，連接，所以，而平面，平面，所以直線平面，故①正確；以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，對(duì)②，，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，平面，平，故平面，故直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，，，，，，由得，故②正確；對(duì)③，設(shè)，，，則，，由，得，得，由，故存在點(diǎn)，使得，故③正確；對(duì)④，由③得到的投影為，故到的距離，面積為，，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，④錯(cuò)．故①②③15．(1)(2)①；②【分析】（1）利用距離公式即可得到答案.（2）①利用面積的公式即可求出最小值；②利用切點(diǎn)弦方程的公式即可得到答案.【詳解】（1）命題等價(jià)于到直線的距離小于，即，解得的取值范圍是.（2）①易知，所以，等號(hào)對(duì)成立，故最小值是；②因?yàn)椋运狞c(diǎn)共圓，圓心為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以圓的半徑為，方程為，即，直線AB為兩圓公共弦所在直線方程，兩圓方程相減整理得直線AB的方程為.16．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意建立等式求解即可；（2）先利用點(diǎn)差法求得，然后聯(lián)立方程組求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）設(shè)得（2）設(shè)Ax1,所以有得由題可知兩式求差化簡(jiǎn)得即因?yàn)樗运灾本€的方程為聯(lián)立解得或所以17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線線平行得到線面平行即可證明；（2）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，由線面角的夾角向量公式求出直線平面夾角的正弦值；（3）在（2）基礎(chǔ)上，由點(diǎn)到平面距離向量公式求出答案.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，則，

直線平面夾角的正弦值為；（3）由（2）知，平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離為.18．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的邊的關(guān)系可證明，再結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)可得；（2）結(jié)合（1）中結(jié)果可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量后可求夾角的正弦值；（2）設(shè)，利用點(diǎn)到平面的距離公式可求的值.【詳解】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，而，故，而，平面，故平面，而平面，故.（2）因?yàn)?，結(jié)合（1）中可得，而，故，故，結(jié)合（1）中及可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，故平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，而，則即，取，則，故，而，故.（3）設(shè)，其中，由（2）可得平面的法向量為，故到平面的距離為，由題設(shè)有，故，故.19．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，即可得到，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得；（2）（i）設(shè)，不妨令，，即可得到，從而表示出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、由，即可證明；（ii）由（i）求出，，再計(jì)算可得為定值，即可結(jié)合基本不等式求解.【詳解】（1）為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則，則，點(diǎn)的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，且，故點(diǎn)的軌跡方程為；（2）（i）設(shè)，直線是雙曲線的漸近線，如圖所示：則：①．②，①+②得，