2024-2025學(xué)年河北省秦皇島市青龍滿(mǎn)族自治縣高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省秦皇島市青龍滿(mǎn)族自治縣高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直．若，，則的值為（

）．A．7 B． C．28 D．113．已知橢圓一個(gè)焦點(diǎn)，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（

）A． B．C． D．4．已知，，，若共面，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C． D．5．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以線(xiàn)段為直徑的圓與軸相切，且切點(diǎn)為，則的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或6．將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到曲線(xiàn)，若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)坐標(biāo)為，那么直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．7．已知圓柱的高為，它的兩個(gè)底面的圓周在半徑為的同一個(gè)球的球面上.則球的體積與圓柱的體積的比值為（

）A． B． C． D．8．已知為直角三角形，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．過(guò)點(diǎn)且在，軸截距相等的直線(xiàn)方程為B．直線(xiàn)的縱截距是．C．直線(xiàn)的傾斜角為60°D．過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線(xiàn)方程為10．已知直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，為優(yōu)弧上的一點(diǎn)（不包括），若，則的值可能為（

）A．2 B．-4 C．1 D．-311．在四棱錐中，已知底面為正方形，平面、平面都與平面垂直，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則（

）A．四邊形BCTS為等腰梯形B．不存在點(diǎn)，使得∥平面C．存在點(diǎn)，使得D．點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離和的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線(xiàn)和，若，則實(shí)數(shù)．13．如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，圓為的外接圓，斜率為1的直線(xiàn)與圓相交于不同兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.（1）求圓的方程；（2）求直線(xiàn)的方程.16．在正四棱柱中，為的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)若為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，17．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線(xiàn)的斜率.18．2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對(duì)接，這是中國(guó)航天史上的又一里程碑.如圖1，是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡(jiǎn)化示意圖，半徑相等的圓，，，與圓柱底切于，，，四點(diǎn)，且圓與，與，與，與分別外切，線(xiàn)段為圓柱的母線(xiàn).點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且已知圓柱底面半徑為2，.(1)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)使得平面，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)如圖2，是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡(jiǎn)化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即，，，共線(xiàn).核心艙體兩側(cè)伸展出太陽(yáng)翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對(duì)接過(guò)程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值.19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】C【分析】確定直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，確定曲線(xiàn)表示圓心為，半徑為1，且位于直線(xiàn)右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)，由直線(xiàn)與圓位置關(guān)系解決即可.【詳解】由題知，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，曲線(xiàn)表示圓心為，半徑為1，且位于直線(xiàn)右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與曲線(xiàn)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，不滿(mǎn)足題意，直線(xiàn)記為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與曲線(xiàn)有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，滿(mǎn)足題意，直線(xiàn)記為，如圖，當(dāng)直線(xiàn)與半圓相切時(shí)，由，解得，直線(xiàn)記為，由圖知，當(dāng)或，與曲線(xiàn)有1個(gè)交點(diǎn).故選C.2．【正確答案】C【分析】由向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直，得且，然后利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解【詳解】向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直，所以且．因?yàn)椋?，所以．故選：C．此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3．【正確答案】D【詳解】因?yàn)闄E圓一個(gè)焦點(diǎn)，所以橢圓的的焦點(diǎn)在橫軸上，且，又因?yàn)樵摍E圓的離心率為，所以有，所以，因此橢圓的方程為：，故選：D4．【正確答案】D【分析】利用共面向量基本定理列坐標(biāo)關(guān)系，求解即可.【詳解】解：因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)，使得，所以所以，解得：故選：D5．【正確答案】D【詳解】由題意知，，設(shè)點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則，由拋物線(xiàn)的定義知，①，，因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)，，解得，而，②，由①②解得，或，所以，拋物線(xiàn)的方程為或．故選：D．6．【正確答案】B【詳解】將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，則設(shè)曲線(xiàn)上的點(diǎn)坐標(biāo)為，故在上，故，即曲線(xiàn)方程為.設(shè)，則，，利用點(diǎn)差法有，，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，故，即，直線(xiàn)的斜率為.故直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)可得.故選：B7．【正確答案】D【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，又球的體積為所以球的體積與圓柱的體積的比故選D8．【正確答案】A【詳解】如圖建系，,設(shè)，，，則.故選:A.9．【正確答案】BD【分析】根據(jù)直線(xiàn)的截距的定義，傾斜角和斜率的關(guān)系，結(jié)合直線(xiàn)的方程，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：因?yàn)橹本€(xiàn)也過(guò)點(diǎn)且在，軸截距相等，故錯(cuò)誤；：對(duì)直線(xiàn)方程，令，可得，則其縱截距為，故B正確；C：直線(xiàn)的斜率，設(shè)其傾斜角為，則，又，故該直線(xiàn)的傾斜角為，故C錯(cuò)誤；D：過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線(xiàn)為，故正確.故選.10．【正確答案】CD【詳解】由，得，取的中點(diǎn)，連接，如圖，則.由，得，則，所以圓心到直線(xiàn)的距離，得或，故C、D正確.故選CD.11．【正確答案】BC【詳解】因?yàn)槠矫妗⑵矫娑寂c底面垂直，平面平面，所以平面．選項(xiàng)A：如下圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，又，所以，故四邊形為梯形，但，，故四邊形BCTS不是等腰梯形，故A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：連接，如下圖：因?yàn)槠矫媾c平交，而平面，且不會(huì)與平面和平面的交線(xiàn)平行，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故B正確．選項(xiàng)C：連接，設(shè)，易知為的中點(diǎn)，如下圖所示，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，因?yàn)槠矫?，所以平面．又平面，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕驗(yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故C正確．選項(xiàng)D：易知，將沿著展開(kāi)，使與在同一個(gè)平面上，連接交于點(diǎn)，如圖所示，則由對(duì)稱(chēng)性可得，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離和的最小值為．在中，其斜邊上的高，所以，所以D錯(cuò)誤．故選：BC.12．【正確答案】1或【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得或．?或.13．【正確答案】【詳解】平面，則，向量在上的投影向量為故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，而,故的最小值為.15．【正確答案】（1）；（2）【詳解】（1）令，得，令得，由題設(shè)知：，設(shè)圓心為，則，∵，弦的中點(diǎn)為，∴弦BC的垂直平分線(xiàn)的方程為：，由得圓心為，，圓的方程為：；（2）設(shè)，直線(xiàn)，∵，即，則，即，得，，∴，代入中得：，∴，直線(xiàn)方程為：16．【正確答案】(1)詳見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）連接AC與BD交于點(diǎn)O，根據(jù)E，O為中點(diǎn)，得到，再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得的坐標(biāo)和平面的一個(gè)法向量，再由.【詳解】（1）證明：如圖所示：連接AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)镋，O為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則.17．【正確答案】（1）（2）（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，列出關(guān)于的方程組，可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，消去整理可得的值，由，可得，代入可得關(guān)于的方程，可得答案.【詳解】解：（1）依題意，解得，故橢圓的方程為.（2）依題意，聯(lián)立方程組:，消去整理得，，故，因?yàn)?，所以，所以，，即；所以，即，?18．【正確答案】(1)存在，；(2).【詳解】（1）依題意，由對(duì)稱(chēng)性知，平面，由線(xiàn)段為圓柱的母線(xiàn)，得平面，而平面，則，又平面，則平面，平面，則，要使平面，只需，則，在直角梯形中，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，則，，因此，而，所以存在符合條件的點(diǎn)，.（2）以平面為參照面，令平面與圓交于，點(diǎn)在圓上，在圓上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)，設(shè)，在圓所在平面內(nèi)過(guò)作于，由平面垂直于圓所在平面，則平面，連，則為直線(xiàn)與平面所成角，由圖知，的正弦值最大時(shí)，，，在直角梯形中，，，，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為.19．【正確答案】（1）；（2）存在，M的坐標(biāo)為、、、，最大值為．【詳解】試題分析：（1）離心率，得到，即此時(shí)橢圓方程為，設(shè)橢圓上的點(diǎn)為P，兩點(diǎn)間的距離等于3，可得到b=1，所以可求得橢圓方程；（2）在解析幾何中，三角形的面積公式