2024-2025學年河北省秦皇島市青龍滿族自治縣高二上學期11月期中數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年河北省秦皇島市青龍滿族自治縣高二上學期11月期中數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線與曲線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直．若，，則的值為（

）．A．7 B． C．28 D．113．已知橢圓一個焦點，離心率為，則橢圓的標準方程（

）A． B．C． D．4．已知，，，若共面，則實數(shù)等于（）A． B． C． D．5．設拋物線的焦點為，點在上，，若以線段為直徑的圓與軸相切，且切點為，則的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或6．將上各點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到曲線，若直線與曲線交于兩點，且中點坐標為，那么直線的方程為（

）A． B． C． D．7．已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在半徑為的同一個球的球面上.則球的體積與圓柱的體積的比值為（

）A． B． C． D．8．已知為直角三角形，，點為所在平面內(nèi)一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中，正確的有（

）A．過點且在，軸截距相等的直線方程為B．直線的縱截距是．C．直線的傾斜角為60°D．過點并且傾斜角為90°的直線方程為10．已知直線與圓交于兩點，為優(yōu)弧上的一點（不包括），若，則的值可能為（

）A．2 B．-4 C．1 D．-311．在四棱錐中，已知底面為正方形，平面、平面都與平面垂直，，點分別為的中點，點在棱上，則（

）A．四邊形BCTS為等腰梯形B．不存在點，使得∥平面C．存在點，使得D．點到兩點的距離和的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線和，若，則實數(shù)．13．如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于.14．已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．二次函數(shù)與坐標軸交于三點，圓為的外接圓，斜率為1的直線與圓相交于不同兩點，的中點為，為坐標原點，且.（1）求圓的方程；（2）求直線的方程.16．在正四棱柱中，為的中點.(1)求證:平面.(2)若為中點，求直線與平面所成角的正弦值，17．已知橢圓過點，離心率為.直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的斜率.18．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船順利升空并于6.5小時后與天和核心艙成功對接，這是中國航天史上的又一里程碑.如圖1，是神舟十二號飛船推進艙及其推進器的簡化示意圖，半徑相等的圓，，，與圓柱底切于，，，四點，且圓與，與，與，與分別外切，線段為圓柱的母線.點為線段中點，點在線段上，且已知圓柱底面半徑為2，.(1)線段上是否存在一點使得平面，若存在，求出的長；若不存在請說明理由.(2)如圖2，是飛船推進艙與即將對接的天和核心艙的相對位置的簡化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進艙共軸，即，，，共線.核心艙體兩側伸展出太陽翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對接過程中，核心艙相對于推進艙可能會相對作出逆時針旋轉的運動，請你求出在艙體相對距離保持不變的情況下，在艙體相對旋轉過程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.19．在平面直角坐標系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點到點的距離的最大值為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點，使得直線：與圓：相交于不同的兩點、，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】C【分析】確定直線恒過定點，確定曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側的半圓，包括點，由直線與圓位置關系解決即可.【詳解】由題知，直線恒過定點，曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側的半圓，包括點，當直線經(jīng)過點時，與曲線有2個交點，此時，不滿足題意，直線記為，當直線經(jīng)過點時，與曲線有1個交點，此時，滿足題意，直線記為，如圖，當直線與半圓相切時，由，解得，直線記為，由圖知，當或，與曲線有1個交點.故選C.2．【正確答案】C【分析】由向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直，得且，然后利用向量的數(shù)量積的運算性質求解【詳解】向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直，所以且．因為，，所以．故選：C．此題考查平面向量的數(shù)量積運算性質的應用，屬于基礎題3．【正確答案】D【詳解】因為橢圓一個焦點，所以橢圓的的焦點在橫軸上，且，又因為該橢圓的離心率為，所以有，所以，因此橢圓的方程為：，故選：D4．【正確答案】D【分析】利用共面向量基本定理列坐標關系，求解即可.【詳解】解：因為共面，所以存在實數(shù)，使得，所以所以，解得：故選：D5．【正確答案】D【詳解】由題意知，，設點，線段的中點為，則，由拋物線的定義知，①，，因為以線段為直徑的圓與軸相切于點，，解得，而，②，由①②解得，或，所以，拋物線的方程為或．故選：D．6．【正確答案】B【詳解】將上各點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，則設曲線上的點坐標為，故在上，故，即曲線方程為.設，則，，利用點差法有，，又中點坐標為，故，即，直線的斜率為.故直線的方程為，化簡可得.故選：B7．【正確答案】D【詳解】設圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，又球的體積為所以球的體積與圓柱的體積的比故選D8．【正確答案】A【詳解】如圖建系，,設，，，則.故選:A.9．【正確答案】BD【分析】根據(jù)直線的截距的定義，傾斜角和斜率的關系，結合直線的方程，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：因為直線也過點且在，軸截距相等，故錯誤；：對直線方程，令，可得，則其縱截距為，故B正確；C：直線的斜率，設其傾斜角為，則，又，故該直線的傾斜角為，故C錯誤；D：過點并且傾斜角為90°的直線為，故正確.故選.10．【正確答案】CD【詳解】由，得，取的中點，連接，如圖，則.由，得，則，所以圓心到直線的距離，得或，故C、D正確.故選CD.11．【正確答案】BC【詳解】因為平面、平面都與底面垂直，平面平面，所以平面．選項A：如下圖所示：因為分別為的中點，故，又，所以，故四邊形為梯形，但，，故四邊形BCTS不是等腰梯形，故A錯誤．選項B：連接，如下圖：因為平面與平交，而平面，且不會與平面和平面的交線平行，所以不存在點，使得平面，故B正確．選項C：連接，設，易知為的中點，如下圖所示，當為的中點時，則，因為平面，所以平面．又平面，所以．因為四邊形為正方形，所以．因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，故C正確．選項D：易知，將沿著展開，使與在同一個平面上，連接交于點，如圖所示，則由對稱性可得，點到兩點的距離和的最小值為．在中，其斜邊上的高，所以，所以D錯誤．故選：BC.12．【正確答案】1或【詳解】因為，所以，即，解得或．故1或.13．【正確答案】【詳解】平面，則，向量在上的投影向量為故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題意知為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，故，

故，當且僅當共線時取等號，所以，當且僅當共線時取等號，而,故的最小值為.15．【正確答案】（1）；（2）【詳解】（1）令，得，令得，由題設知：，設圓心為，則，∵，弦的中點為，∴弦BC的垂直平分線的方程為：，由得圓心為，，圓的方程為：；（2）設，直線，∵，即，則，即，得，，∴，代入中得：，∴，直線方程為：16．【正確答案】(1)詳見解析.(2)【分析】（1）連接AC與BD交于點O，根據(jù)E，O為中點，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，分別求得的坐標和平面的一個法向量，再由.【詳解】（1）證明：如圖所示：連接AC與BD交于點O，因為E，O為中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，設直線與平面所成的角為，則.17．【正確答案】（1）（2）（1）由橢圓過點，離心率為，列出關于的方程組，可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓，消去整理可得的值，由，可得，代入可得關于的方程，可得答案.【詳解】解：（1）依題意，解得，故橢圓的方程為.（2）依題意，聯(lián)立方程組:，消去整理得，，故，因為，所以，所以，，即；所以，即，得.18．【正確答案】(1)存在，；(2).【詳解】（1）依題意，由對稱性知，平面，由線段為圓柱的母線，得平面，而平面，則，又平面，則平面，平面，則，要使平面，只需，則，在直角梯形中，，點在線段上，且，則點到直線距離，點到直線的距離，則，，因此，而，所以存在符合條件的點，.（2）以平面為參照面，令平面與圓交于，點在圓上，在圓上運動，到達點，設，在圓所在平面內(nèi)過作于，由平面垂直于圓所在平面，則平面，連，則為直線與平面所成角，由圖知，的正弦值最大時，，，在直角梯形中，，，，設，，當且僅當，即時取等號，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19．【正確答案】（1）；（2）存在，M的坐標為、、、，最大值為．【詳解】試題分析：（1）離心率，得到，即此時橢圓方程為，設橢圓上的點為P，兩點間的距離等于3，可得到b=1，所以可求得橢圓方程；（2）在解析幾何中，三角形的面積公式