2024-2025學(xué)年河北省唐山市開灤市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省唐山市開灤市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．兩平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．2．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（

）A．5 B．1 C． D．4．直線和直線，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．7．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．，函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知橢圓的長軸端點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為B．的周長為C．面積的最大值為D．10．以下四個(gè)命題為真命題的是（

）A．過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．已知，，則邊的中垂線所在的直線的方程為D．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為11．已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，則PQ的可能取值為（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間中三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)到直線的距離為.13．若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．14．已知，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)，則當(dāng)該橢圓的離心率取得最大值時(shí)，該橢圓的方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線過定點(diǎn)，根據(jù)下列條件求直線的方程．(1)若直線與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為16；(2)若直線與圓相切，求直線的方程．16．如圖，在六棱柱中，底面是正六邊形，設(shè)．若，求：(1)試用向量表示，并求的值；(2)求．17．已知圓與圓．(1)若圓與圓相外切，求的值．(2)若，試求：①圓與圓所得的公共弦長；②經(jīng)過兩圓與圓的交點(diǎn)且與軸相切的圓的方程．18．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大?。?3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，且，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，且曲線與直線相切．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．

答案1．【正確答案】C【詳解】依題意，直線為，所以兩平行直線與之間的距離．故選：C2．【正確答案】C【分析】根據(jù)基底的性質(zhì)，結(jié)合共面向量的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項(xiàng)A不符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項(xiàng)B不符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，即，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以上式向量式無實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：C3．【正確答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，m的取值可以為.故選：C4．【正確答案】B【詳解】，則，解得或，題中應(yīng)是充分不必要條件，故選：B．5．【正確答案】D【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則與所成的角的余弦值為.故選：D6．【正確答案】B【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于的方程可得解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知被橢圓截得線段的中點(diǎn)在軸上，不合題意；故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，，有，，解得，所以直線的方程為，即.故選B.7．【正確答案】C【詳解】如圖所示.設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即.故選C.8．【正確答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故選：C9．【正確答案】ABD【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對(duì)于A，橢圓的離心率為，故A正確；對(duì)于B，的周長為，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)，則面積的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，因此，故D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BCD【詳解】選項(xiàng)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)直線方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以直線方程為，綜上所述該直線方程為或，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以傾斜角的范圍是，正確；選項(xiàng)，點(diǎn)，的中點(diǎn)為，直線的傾斜角為，則邊的中垂線所在的直線平行于軸，即該直線方程為，故正確；選項(xiàng)，設(shè)直線關(guān)于對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入得，即，故正確；故選.11．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于方程，將換成可得：，即，可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)在軸上，則只需討論軸以及其上方的圖象即可，當(dāng)，則曲線方程化為，即，此時(shí)曲線為以為圓心，半徑的半圓，可知，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)，則曲線方程化為，即，此時(shí)曲線為以為圓心，半徑，可知，當(dāng)且僅當(dāng)為的延長線與曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立；即，結(jié)合選項(xiàng)可知：AD錯(cuò)誤；BC正確.故選：BC.12．【正確答案】【詳解】由點(diǎn)，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)C到直線的距離為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由可得，即曲線表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的上半部分，畫出圖形，可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A?2,0時(shí)，，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由圓心到直線的距離可得，由圖可得，所以要使直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則.故選：C.

故14．【正確答案】【詳解】由題意知：橢圓以為焦點(diǎn)，所以，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得：所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，又，所以，即，所以當(dāng)時(shí)該橢圓的離心率取得最大值，所以該橢圓的方程為．故15．【正確答案】(1)或；(2)或.【詳解】（1）依題意，設(shè)直線的橫縱截距分別為，則直線的方程為，則有，由三角形面積，聯(lián)立解得或，所以直線的方程為或.（2）依題意，圓的圓心，半徑為1，①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)與圓相切，符合題意；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程為，即，由直線與圓相切，得，解得，此時(shí)直線方程為，所以直線的方程為或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）令正六邊形的中心為，連接，則四邊形為菱形，，所以；；由，得，，所以.（2）由（1）知，，，所以.17．【正確答案】(1)(2)①

②或【詳解】（1）圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，則，由圓與圓相外切，得，所以.（2）①當(dāng)時(shí)，圓，，圓與圓相交，兩圓方程相減得，點(diǎn)到直線距離為，所以圓與圓所得的公共弦長為；②直線的方程為，即，依題意，過兩圓與圓的交點(diǎn)的圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，點(diǎn)到直線距離，圓的半徑為，由軸與圓相切，得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，半徑為1，方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，半徑為5，方程為，所以圓的方程為或.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，或.【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大??；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面所成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因?yàn)樵谥校?，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在平面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面所成角余弦值為.則滿足，化簡得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點(diǎn)