2024-2025學(xué)年河南省南陽市高二上學(xué)期第二次月考考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省南陽市高二上學(xué)期第二次月考考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其中，則（

）A．4050 B．4048 C．2025 D．20242．已知直線，直線，若，則與的距離為（）A． B． C． D．3．若雙曲線的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．4．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足、、成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．5．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．6．已知數(shù)列是首項(xiàng)大于的等比數(shù)列，記的公比為，前項(xiàng)和為.設(shè)命題甲：；命題乙：對任意的，恒成立，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列,均為正項(xiàng)等比數(shù)列，,分別為數(shù)列,的前項(xiàng)積，且，則的值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線是的一條漸近線，是右支上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．到的距離為 B．的漸近線方程為C．的離心率為 D．10．若等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，其前項(xiàng)和為，，其中，，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．中的最大項(xiàng)為 D．中的不同數(shù)值有個(gè)11．在平面幾何中，有這樣一個(gè)著名的命題：“如圖所示，設(shè)是圓中弦的中點(diǎn)，過點(diǎn)做兩條弦，連結(jié)交于兩點(diǎn)，則是線段的中點(diǎn).”由于題目的的圖形像一只蝴蝶，因此后人給它取名為“蝴蝶定理”.這一命題最早出現(xiàn)在1815年英國倫敦出版的著名數(shù)學(xué)科普刊物《男士日記》上，而“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)于《美國數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號，這是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.而且后人在對此定理的研究中發(fā)現(xiàn)，將“蝴蝶定理”中的圓改成橢圓、雙曲線、拋物線，這個(gè)命題的結(jié)論仍然成立.請?jiān)跈E圓中直接運(yùn)用蝴蝶定理解決如下問題：如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)為.過做直線與交于，連接，過直線軸與交于，交直線于，交直線于，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線、交于點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．在定直線上三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列滿足：，，則．13．已知是拋物線上一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最小值是.14．設(shè)為雙曲線：在第一象限上的一動點(diǎn)，，.過做的平行線交于點(diǎn)，過做的平行線交于點(diǎn)，若直線的斜率，則雙曲線的離心率取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知三點(diǎn)，記的外接圓為.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，求的面積.16．如圖，四棱錐的底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；18．已知動點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程.(2)已知及曲線上的兩點(diǎn)和，直線和直線的斜率分別為和，且，求證：直線過定點(diǎn).19．已知橢圓：過，，，中的三點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)是橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，若，求的取值范圍.(3)設(shè)點(diǎn)是上的動點(diǎn)，是否存在定圓，使得當(dāng)過點(diǎn)能作圓的兩條切線，時(shí)（其中，分別是兩切線與的另一交點(diǎn)），總滿足？若存在，寫出定圓的方程，若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】由，所以，則，所以可得，根據(jù)兩平行直線間的距離公式可得與的距離為.故選：C.3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，即，所以，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，所以雙曲線方程為，故選：A.4．【正確答案】D【詳解】由題意可得：，，，故選：D5．【正確答案】A【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A6．【正確答案】A【詳解】．當(dāng)時(shí)，，可知．所以“”是“對任意的，”的充分條件．又當(dāng)時(shí)，．若n為偶數(shù)，則；若n為奇數(shù)，則．所以，當(dāng)時(shí)，對任意的，恒成立．綜上，“”是“對任意的，恒成立”的充分不必要條件，故選：A．7．【正確答案】B【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)F1,0，由題意可知直線斜率顯然不為0，可設(shè)直線的方程為，Ax1,y聯(lián)立，整理可得，所以顯然成立，又為的中點(diǎn)，可得，即;所以，整理可得，解得或（舍）；因此.故選：B8．【正確答案】A【詳解】數(shù)列均為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比分別為；,分別為數(shù)列,的前項(xiàng)積，，,則.故選：A9．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，又是的一條漸近線，所以，因?yàn)椋?，所以，所以雙曲線的方程為.對于A，由雙曲線知右焦點(diǎn)，，所以到的距離為，故A正確；對于B，的漸近線方程為，即，故B錯誤；對于C，的離心率為，故C正確；對于D，當(dāng)點(diǎn)是雙曲線的右支與軸的交點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】ACD【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可?則，可得，即，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋芍炔顢?shù)列為遞減數(shù)列，且，所以，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：可知，根據(jù)的符號可知：，當(dāng)時(shí)，均為正數(shù)，且最大，最小，可知中的最大項(xiàng)為，且為正數(shù)；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：中的最大項(xiàng)為，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，同理可得：，可知?dāng)時(shí)，中的不同數(shù)值有10個(gè)；當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)C可知每個(gè)值均不同，共有81個(gè)；綜上所述：中的不同數(shù)值有個(gè)，故D正確；故選：ACD.11．【正確答案】BD【詳解】對于A，，，聯(lián)立，所以，所以，故A錯誤；對于B，為中點(diǎn)，，根據(jù)蝴蝶定理可知，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，故B正確；對于C，由題知，，設(shè)所在直線為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，，所以，因?yàn)?，所以不為定值，，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，聯(lián)立直線、方程，則，所以，所以在定直線上，故D正確，故選：BD.12．【正確答案】【詳解】由題意得：，，，，所以數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所以.故2.13．【正確答案】6【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程為,過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)過圓心作拋物線準(zhǔn)線的垂線時(shí)，三點(diǎn)共線時(shí)，且在線段上時(shí)，最小，且.故6.14．【正確答案】【詳解】設(shè)，，過做的平行線方程為，則，解得，則，同理，因?yàn)椋?，即，所以，即，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線的離心率取值范圍為，故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的一般方程為，由題意可知，解得，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，，半徑.則圓心到直線的距離為，所以，故的面積為..16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，又四棱錐的底面是正方形，所以，設(shè)到平面的距離為，則，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接，則，即，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），時(shí)，有，時(shí)有，，，又，也符合上式，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，.（2），時(shí)，，時(shí)有，，又，也符合上式，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)Px0,y0，，是，，又，代入得．故點(diǎn)的軌跡方程是．（2）由題意點(diǎn)坐標(biāo)適合，即點(diǎn)A在C上，由題意可知BD斜率不會為0，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，需滿足，即，設(shè)，，則，，因?yàn)?，，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經(jīng)過定點(diǎn).19．【正確答案】(1)(2)(3)，半徑為【詳解】（1）由橢圓的對稱性知，，必在橢圓上，又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在軸上，則不在橢圓上，有在橢圓上，因此，解得，所以橢圓C的方程為.（2）由可知不妨設(shè)，，，即，所以，易知，解得；所以由對勾函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)=1時(shí)最小，，當(dāng)