2024-2025學(xué)年山東省煙臺市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省煙臺市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為兩個）.經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成（

）A．511個 B．512個 C．1023個 D．1024個2．已知等差數(shù)列的公差是，若，，成等比數(shù)列，則等于（

）A． B． C． D．3．曲線y＝x2－3x上在點P處的切線平行于x軸，則P的坐標為()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則函數(shù)（

）．A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增5．已知等差數(shù)列的前項和為，，且，則取最大值時，（

）．A．9 B．10 C．9或10 D．10或116．函數(shù)的極值情況是（

）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既無極大值也無極小值 D．既有極大值又有極小值7．已知等差數(shù)列的前項和為．若，且，，則（

）A．38 B．20 C．10 D．98．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．是奇函數(shù)B．在內(nèi)單調(diào)遞增C．是周期為的周期函數(shù)D．在內(nèi)有個極值點10．如圖，已知點是平行四邊形的邊的中點，為邊上的一列點，連接交于，點滿足，其中數(shù)列是首項為的正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．11．在單位圓上任取一點，圓與軸正向的交點是，設(shè)將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到所成的角為，記關(guān)于的表達式分別為，，則下列說法正確的是（

）．A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．對于恒成立D．函數(shù)的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在題后的橫線上．12．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則＝．13．已知，，，成等差數(shù)列，且，為方程的兩根，則．14．函數(shù)在[0，3]上的最大值等于.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知：等差數(shù)列{}中，=14，前10項和.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將{}中的第2項，第4項，…，第項按原來的順序排成一個新數(shù)列，求此數(shù)列的前項和.16．設(shè)，曲線在點處的切線與軸相交于點，求函數(shù)的極值．17．數(shù)列的前項和為，，，(1)求數(shù)列的通項;(2)求數(shù)列的前n項和.18．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．19．一個倉庫由上下兩部分組成：上部分形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部分形狀是正四棱柱（如圖所示），并且正四棱柱的高是正四棱錐的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為，當PO1為多少時，倉庫的容積最大？1．B【分析】先算出分裂的次數(shù)，即可求得總個數(shù).【詳解】20分鐘分裂一次，經(jīng)過3個小時，總共分裂了九次，也就是29=512個，故選：B．2．A【分析】利用等比中項，結(jié)合等差數(shù)列通項公式列方程求解即可.【詳解】解：因為等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，故選：A3．B【分析】根據(jù)點P處的切線平行于x軸，由y′＝0求解.【詳解】解：因為y＝x2－3x，所以y′＝2x－3，令y′＝0.即2x－3＝0，得x＝.代入曲線方程y＝x2－3x，得y＝－.所以P的坐標為，故選：B4．D【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.故選：D5．C【分析】先根據(jù)利用等差數(shù)列前項和公式，得出和的關(guān)系，判斷出數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，再利用拋物線的性質(zhì)即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列前項和公式，得：，，又，，即，又，，由此可知，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，點在開口向下的拋物線上，又，點與點關(guān)于直線對稱，當或時，最大.故選：C6．D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.【詳解】∵，∴，由，得或，時，；時，；時，，∴函數(shù)的遞減區(qū)間是，；遞增區(qū)間是，∴當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值，∴函數(shù)既有極大值又有極小值.故選：D.7．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由，可求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得．∵，∴或．若，顯然不成立，∴．∴，解得．故選：C．8．A【分析】利用求導(dǎo)思想，把函數(shù)單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)值恒大于或等于0，再用分離參變量思想就可以解決問題.【詳解】由求導(dǎo)可得：，因為在上單調(diào)遞增，所以在時，，即，而當時，，所以，故選：A.9．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期函數(shù)定義判斷選項A，C；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負以及零點的個數(shù)可判斷B,D的正誤．【詳解】對于A，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于B，當時，求導(dǎo)可得：，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，求導(dǎo)可得：，當時，，在上單調(diào)遞增，故選項B正確；對于C，若存在周期，則必滿足，因為，所以是周期為的周期函數(shù)，故C錯誤；對于D，當時，求導(dǎo)可得：，令，即，解得解集為：，在有10個變號零點，函數(shù)是奇函數(shù)，在有20個變號零點，即在內(nèi)有20個極值點，故選項D正確．故選：ABD．10．AB【分析】由平面向量線性運算和向量共線可得到，由此可確定遞推關(guān)系式，得到，由此確定B正確；利用等比數(shù)列通項公式求得，進而得到，可確定AC正誤；利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得，知D錯誤.【詳解】為中點，，即，三點共線，，又，，化簡得：，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，B正確；，，C錯誤；則，A正確；，D錯誤.故選：AB.關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列與向量的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量的線性運算和向量共線的性質(zhì)推導(dǎo)得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，由此構(gòu)造出所需的等比數(shù)列進行求解.11．AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，再結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C，令，首先判斷的周期，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，從而判斷D.【詳解】由題意可知：，，即，，所以是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故A正確．顯然在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故B錯誤．令，當時，所以，，即對于恒成立，故C正確．，令，因為，所以的最小正周期，又，，令，則，解得或，在這一個周期內(nèi)或或，所以當時，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，所以函數(shù)的最大值為，故D錯誤.故選：AC12．3【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得的值，根據(jù)點M在切線上，可求得的值，即可得答案.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，又在切線上，所以，則=3，故3本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.13．##【分析】利用韋達定理求出，再根據(jù)下標和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，為方程的兩根，所以，又，，，成等差數(shù)列，所以.故14．5【分析】對求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求最大值.【詳解】，則當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增當時，，當時，所以函數(shù)在處取到最大值5所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5.故5.15．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式以及求和公式將條件化為關(guān)于首項與公差的方程組，解得首項與公差，代入通項公式即得結(jié)果，（2）新數(shù)列為，所以利用分組求和法求和，即分別計算一個等比數(shù)列的和與一個常數(shù)列的和，最后再求兩者的和.【詳解】（Ⅰ）由∴

由

（Ⅱ）設(shè)新數(shù)列為{}，由已知，

本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如），符號型（如），周期型（如）16．，【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可表示出函數(shù)在的切線方程，根據(jù)切線過點，求出，即可得到函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.【詳解】因為，所以，則，又，所以在點處的切線方程為，由點在切線上，可得，解得.所以，則定義域為，所以，令，解得或，所以、、的關(guān)系如下表所示：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為,所以，.17．(1)(2)【分析】（1）由可得，從而可先求出的通項公式，再根據(jù)與的關(guān)系得出答案.（2）利用錯位相減法可得出答案.【詳解】（1）則，所以又，∴數(shù)列是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，．∴當時，，又所以（2），當時，；當時，，

①，

②得：，，又也滿足上式，．18．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，解得即可；（2）由（1）可得，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因為，所以，依題意，解得，經(jīng)檢驗符合題意.（2）由（1）得且定義域為，又，對任意都成立，令，解得，，①當即時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當即時，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減；③當即時，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減．綜上可得：當時在上單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.19．(1)312(2)當，倉庫的