2024-2025學(xué)年陜西省榆林市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省榆林市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列中，，則等于（）A．13 B．16 C．15 D．143．若直線(xiàn)與平行，則與之間的距離是（）A． B． C． D．4．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由到時(shí)，左邊增加了（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．k項(xiàng) D．1項(xiàng)5．謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個(gè)實(shí)心正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個(gè)小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，用上面的方法可以無(wú)限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．6．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，若，則（）A． B． C． D．8．已知雙曲線(xiàn)，兩焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交右支于A，B點(diǎn)，且，若，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A． B． C． D．2二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則下列關(guān)于雙曲線(xiàn)C的說(shuō)法正確的是（）A．實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．虛軸長(zhǎng)為2C．焦距為 D．離心率為10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直”的充要條件B．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行”的充要條件C．直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是D．若直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線(xiàn)的方程為11．已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A．若，則B．若則數(shù)列是等比數(shù)列C．若，則D．若，則三、填空題（本大題共3小題）12．?dāng)?shù)列中的前n項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為．13．已知橢圓的方程為，若點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為．14．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為，四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且成等比數(shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值及此時(shí)的值.16．已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列：(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為θ的動(dòng)直線(xiàn)l交E于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線(xiàn)E的方程；(2)證明：無(wú)論θ如何變化，是定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，其右焦點(diǎn)為F，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)，在直線(xiàn)BP上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)滿(mǎn)足．若直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交C于點(diǎn)M，N（異于點(diǎn)A），證明：P，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)．

答案1．【正確答案】C【詳解】根據(jù)得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且，所以，即，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.2．【正確答案】D【詳解】由得，，故，∴.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】∵，∴，解得，∵直線(xiàn)可化為，∴與之間的距離為.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，故增加的項(xiàng)數(shù)為.故選：B.5．【正確答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得正確答案.【詳解】由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是：.故選：C6．【正確答案】D【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離為.故選：D．7．【正確答案】C【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得，，由得，.故選：C.8．【正確答案】A【詳解】令，由，得，，

由雙曲線(xiàn)定義，，在中，，由余弦定理，得，整理得，解得，則，，在中，由余弦定理，得，整理得，則.故選：A9．【正確答案】ABD【詳解】由題意得，，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，由實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍得，選項(xiàng)A，B正確.由得，，故，焦距為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.離心率，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A，由可得直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，故充分性滿(mǎn)足，由直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，可得，解得或，，則必要性不滿(mǎn)足，所以“”不是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直”的充要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行，故充分性滿(mǎn)足，由直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行可得，解得，則必要性滿(mǎn)足，所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行”的充要條件，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角，則，又，所以，故C正確；對(duì)于D，直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則直線(xiàn)方程為；若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率為，在坐標(biāo)軸上的截距為，所以直線(xiàn)方程為，即；所以直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線(xiàn)的方程為或，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．【正確答案】AC【詳解】A.由得，，∴，選項(xiàng)A正確.B.由得，，，∵，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.由得，，且，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴，∴，選項(xiàng)C正確.D.由得，，即，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不成立，所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由題意得，，故，根據(jù)橢圓的定義得.在中，由余弦定理得，即，可得，∴的面積為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由得，，方程表示以為圓心，為半徑的圓.表示點(diǎn)與圓上一點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，如圖，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)時(shí)，取最小值，設(shè)的方程為：，即，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得，，整理得，解得或（舍），故的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)最小值為,【分析】（1）為等差數(shù)列，公差為2，根據(jù)題目條件得到方程，求出首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式；（2）求出，求出最小值及的值.【詳解】（1）由知為等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，成等比數(shù)列，所以，即，解得，又，所以的通項(xiàng)公式為；（2）由(1)得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）∵，∴，即，且，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，∴，∴.17．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，依題意，直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)，，由消去得：，顯然，，，，當(dāng)時(shí)，，于是，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.（2）由（1）可知，，則，因此對(duì)任意的實(shí)數(shù)，為定值，所以無(wú)論θ如何變化，是定值.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，化簡(jiǎn)得，所以是以首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可得，則，①，②，①②得，所以.19．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）依題意，，設(shè)，由，得，則，即，而，因此