2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、填空題（本大題滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）1．直線的傾斜角是．2．已知圓心為，半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．圓錐的側(cè)面展開圖中扇形中心角為，底面周長為，這個(gè)圓錐的側(cè)面積是．4．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，一條漸近線的方程是，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．5．已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B的距離的3倍，則點(diǎn)P的軌跡方程是．6．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為.7．已知圓與圓交于、兩點(diǎn)，則所在的直線方程是．8．若橢圓的方程為，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a＝.9．已知直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值是．10．雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，第二象限內(nèi)的一點(diǎn)P在雙曲線上，且，則三角形的面積是．11．反比例函數(shù)的圖像都是雙曲線，求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．12．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓上兩點(diǎn)，滿足，且，則橢圓C的離心率為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）13．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．設(shè)a，b表示空間的兩條直線，α表示平面，給出下列結(jié)論：（1）若且，則

（2）若且，則（3）若且，則

（4）若且，則其中不正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)15．已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．416．如圖所示，過三棱臺(tái)上底面的一邊，作一個(gè)平行于棱的截面，與下底面的交線為DE；若D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．已知直線與直線．(1)若兩條直線垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若兩條直線的夾角為，求實(shí)數(shù)a的值．18．四邊形是邊長為1的正方形，與交于點(diǎn)，平面，且二面角的大小為.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求直線與平面所成的角.19．已知?jiǎng)訄AM（M為圓心）過定點(diǎn)，且與定直線相切．(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；(2)設(shè)過點(diǎn)P且斜率為的直線與（1）中的曲線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長；(3)設(shè)點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間距離的最小值．20．某高校的志愿者服務(wù)小組受“進(jìn)博會(huì)”上人工智能展示項(xiàng)目的啟發(fā)，會(huì)后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如下圖：A、B兩個(gè)信號(hào)源相距10米，O是AB的中點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線l與直線AB的夾角為．機(jī)器貓?jiān)谥本€l上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足；接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到B點(diǎn)的信號(hào)晚秒（注：信號(hào)每秒傳播米）．在時(shí)刻時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離O點(diǎn)為4米．(1)以O(shè)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；(2)游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)．如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？21．已知橢圓的長軸長為，且過點(diǎn)．記橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P、Q．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若以線段PQ為直徑的圓過點(diǎn)，求直線l的方程；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1．##【分析】將直線方程化成斜截式，求得其斜率，再求傾斜角.【詳解】由可得：，則得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，故得.故答案為.2．【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，將圓心和半徑代入整理即得.【詳解】因圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為.3．【分析】借助扇形弧長公可計(jì)算出圓錐母線長，結(jié)合扇形面積公式即可得圓錐側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓錐母線長為l，扇形圓心角為，則，故，則.故答案為.4．【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出雙曲線方程，由題設(shè)條件列出方程組，解之即得.【詳解】因雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，且，①又由一條漸近線的方程是可得：②，聯(lián)立①②解得：，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為.5．【分析】設(shè)出點(diǎn)，結(jié)合距離公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，由題意可得，化簡可得，即.故答案為.6．3【分析】將的最小值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線的距離來求解.【詳解】可以理解為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又∵點(diǎn)在直線上，∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，且.故本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.7．.【分析】兩圓方程作差，即可得到交線的方程.【詳解】聯(lián)立方程，即，兩式作差得，，整理可得，.所以，所在的直線方程是.故答案為.8．4或8【分析】先由橢圓方程表示出焦距，再由題意列出方程，求解即可.【詳解】因?yàn)槭菣E圓的方程，所以且，所以,由橢圓的方程可得，又，所以，解得或.故答案為4或8本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)，由橢圓的長半軸、短半軸以及半焦距之間的關(guān)系即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.9．0或【分析】由題意知，直線斜率存在，且經(jīng)過定點(diǎn)，由圖知，過點(diǎn)斜率存在且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條，一條與軸平行，一條與與拋物線相切,求之即得.【詳解】

如圖，因直線的斜率為,且經(jīng)過定點(diǎn)，又拋物線的對(duì)稱軸為軸，故當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；由消去，得：，由，解得：，此時(shí)直線與拋物線相切.綜上，或.故0或.10．##【分析】利用雙曲線的定義表達(dá)式和余弦定理聯(lián)立方程組，可求得的值，代入三角形的面積公式計(jì)算即得.【詳解】由可得：，如圖，設(shè)則①，在中，由余弦定理，，即：②由①②聯(lián)立，解得.則三角形的面積為.故答案為.11．，【分析】結(jié)合雙曲線性質(zhì)，計(jì)算雙曲線的半實(shí)軸長及半虛軸長即可得其半焦距，即可得其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由雙曲線的漸近線為軸與軸，故其焦點(diǎn)在上，聯(lián)立，解得或，故其兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，故其半實(shí)軸長為，與軸、軸夾角都為，又，故其半虛軸長為，故其半焦距為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.故，.12．【分析】如圖，延長，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，設(shè)可得，在中，用余弦定理可得到，繼而得到，即可求解【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，如圖，延長，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，由，所以根據(jù)對(duì)稱性可知，，設(shè)，則，，從而，故，在中，，所以，在中，，即，所以，所以，所以離心率，故13．B【分析】由，求得，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，直線，直線，因?yàn)?，可?，即，解得，所以“”是“”的必要非充分條件.故選：B.14．D【分析】根據(jù)直線與直線平行、直線與平面平行的性質(zhì)分別判斷命題真假即可得解.【詳解】若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或?yàn)楫惷嬷本€，故命題錯(cuò)誤；若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或相交或異面，故命題錯(cuò)誤.故選：D15．B【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時(shí)根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.16．A【分析】根據(jù)線面平行和面面平行得到線線平行，得到幾何體為棱柱，另外，根據(jù)柱體和臺(tái)體體積公式求出答案.【詳解】平面與棱平行，平面平面，平面平面，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，故幾何體為棱柱，設(shè)棱柱的高為，故，又D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，則，由臺(tái)體體積公式得，故故選：A17．(1)(2)或【分析】（1）就參數(shù)分類討論，利用兩直線垂直的充要條件即可求得；（2）結(jié)合圖象分類討論驗(yàn)證，得出時(shí)符合題意，再運(yùn)用到角公式計(jì)算即得另一值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線與直線顯然不垂直，由可得：，即直線斜率為：，由知直線斜率為，因兩條直線垂直，則得，即.（2）設(shè)兩直線的夾角為，依題意，，①當(dāng)時(shí)，直線，如圖，設(shè)直線的傾斜角為，則，即，因是銳角，故，即有，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由可得其斜率為：，又直線的斜率為，由可得：，由到角公式：，即：，解得.綜上，或.18．(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法及二面角的大小求出的值，再求平面的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離求解即可；（2）先求出平面的法向量，利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫危矫?，平面，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，取平面的法向量，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，解得，即，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，所以點(diǎn)到平面的距離.（2）由（1）得，設(shè)平面的法向量，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，所以直線與平面所成的角為.19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即得動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得弦長；（3）根據(jù)題設(shè)先求出的解析式，可將距離最小值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值問題，分類討論即得.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)圓M過定點(diǎn)，且與定直線相切，所以由拋物線定義知：圓心M的軌跡是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，拋物線方程形如：，又焦準(zhǔn)距為，故圓心M的軌跡方程為．（2）

如圖，由題知，直線AB的方程為，所以，解得：，則得：．（3）設(shè)，則，（），因，則，因二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為：，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).故：20．(1)(2)沒有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)【分析】（1）根據(jù)題意和雙曲線定義，可得機(jī)器鼠所在的點(diǎn)的軌跡方程，利用與其聯(lián)立，計(jì)算即得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）依題考慮與直線平行且距離不超過的直線，判斷機(jī)器鼠是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)，就可以轉(zhuǎn)化為與是否有交點(diǎn)問題，而這可以通過方程聯(lián)立，計(jì)算方程根的判別式的符號(hào)得到.【詳解】（1）如圖，設(shè)機(jī)器鼠在點(diǎn)處，則由題意，得，所以，P為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8，焦距為10的雙曲線右支上的點(diǎn)，該雙曲線的方程為，由，即：，將其與雙曲線方程聯(lián)立，解得：，故得，即在時(shí)刻時(shí)，機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)榕c直線l平行且距離不超過1.5的直線方程為，則由可得：．考慮與是否有交點(diǎn)，聯(lián)立，得，故，因?yàn)?，所以，所以，與沒有交點(diǎn)，即機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，沒有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)．思路點(diǎn)睛：本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，屬于較難題.解題思路包括：①求動(dòng)點(diǎn)軌跡，一般將其與圓錐曲線的定義進(jìn)行比較，符合定義則可以用其標(biāo)準(zhǔn)方程得到軌跡方程；②對(duì)于此題中的“機(jī)器鼠是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)”，要將其理解為直線與是否有交點(diǎn)問題即可迎刃而解.21．(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)長軸長與點(diǎn)求橢圓方程；（2）根據(jù)求直線方程；