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第四章系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定4.1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性一外部穩(wěn)定性1.定義:一個(gè)線性因果系統(tǒng),如果對(duì)應(yīng)于一個(gè)有界的輸入u(t),即滿足條件注意:討論外部穩(wěn)定,必須假定系統(tǒng)初始條件為零。2結(jié)論1:時(shí)變系統(tǒng)對(duì)于零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng),為其脈沖響應(yīng)矩陣,則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是,存在一個(gè)有限常數(shù)k,使對(duì)于一切的每一個(gè)元均滿足關(guān)系式必要性:利用反讓法。再考慮多輸入—多輸出情況
有界個(gè)有界函數(shù)之和仍為有界,利用單輸入—單輸出情況的結(jié)論,可證得此結(jié)論。3結(jié)論2:(定常情況)對(duì)于零初始條件的線性定常系統(tǒng),表初始時(shí)刻為其脈沖響應(yīng)矩陣,為其傳遞函數(shù)矩陣,則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是,存在一個(gè)有限常數(shù)
的每一個(gè)元均滿足關(guān)系式:二內(nèi)部穩(wěn)定性1定義:對(duì)于線性定常系統(tǒng)三內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性間的關(guān)系結(jié)論1:設(shè)線性定常系統(tǒng)(1)是內(nèi)部穩(wěn)定的,則必是BIBO穩(wěn)定的。結(jié)論2:設(shè)線性定常系統(tǒng)(1)是BIBO穩(wěn)定的,則不能保證系統(tǒng)發(fā)必是漸近穩(wěn)定的。結(jié)論3:如果線性定常系統(tǒng)(1)為能控和能觀測(cè)的,則其內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性必是等價(jià)的。
一自治系統(tǒng)、受擾運(yùn)動(dòng)和平衡狀態(tài)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為4.2李亞普諾夫意義下運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的
一些基本概念
系統(tǒng)平衡狀態(tài)可以為零(),也可不為零(),但對(duì)任意總可引入一個(gè)新狀態(tài),經(jīng)一定的坐標(biāo)變換,把它化到坐標(biāo)原點(diǎn)(即零狀態(tài))。對(duì)線性定常系統(tǒng),有孤立平衡狀態(tài):如果多個(gè)平衡狀態(tài)彼此是孤立的,則稱這樣的狀態(tài)為孤立平衡狀態(tài),單個(gè)平衡狀態(tài)也是孤立平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性問題:是指系統(tǒng)的狀態(tài)解(常稱“運(yùn)動(dòng)”)是否能趨于平衡狀態(tài)解的問題。若系統(tǒng)的狀態(tài)解能回復(fù)到平衡狀態(tài),則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)的狀態(tài)解雖然不能最終回復(fù)到平衡狀態(tài),而是在平衡狀態(tài)的某一鄰域內(nèi)呈現(xiàn)自激振蕩,而這種振蕩又為實(shí)際系統(tǒng)所允許,那么也應(yīng)把這種系統(tǒng)稱之為穩(wěn)定的。反之稱為不穩(wěn)定的。二穩(wěn)定性的基本定義1穩(wěn)定(李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定)1)定義:對(duì)于系統(tǒng)(2),如果給定任何一實(shí)數(shù),都相應(yīng)地存在另一實(shí)數(shù),使由滿足不等式
2)幾何意義2漸近穩(wěn)定1)定義:對(duì)于系統(tǒng)(2),如果給定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和,都有相應(yīng)地存在另兩個(gè)實(shí)數(shù)和,使由滿足不等式:
2)幾何意義
3)討論:
a)
如果和T均與無關(guān),則稱此平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。
b)
漸近穩(wěn)定的最大區(qū)域稱為引力域。3大范圍漸近穩(wěn)定1)定義:如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,且其引力域包括整個(gè)狀態(tài)空間,即有:則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的。2)討論:
a)
大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的必要條件是整個(gè)狀態(tài)空間中只存在一個(gè)平衡狀態(tài)。
b)
對(duì)于線性系統(tǒng),如果其平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,那么它也一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。4不穩(wěn)定1)定義:如果給定任意實(shí)數(shù)且無論它們?nèi)〉枚嗝葱?,在由不等?/p>
所確定的球域內(nèi),至少存在一個(gè)初態(tài),由出發(fā)的,時(shí)的狀態(tài)x
不滿足下列不等式
則稱狀態(tài)是不穩(wěn)定的。2)幾何意義
李亞普諾夫第二方法是建立在這樣一個(gè)直觀的物理事實(shí)上的,任何一個(gè)系統(tǒng)或物體之所以有運(yùn)動(dòng),無非是因?yàn)樗哂心芰康木壒?。如果系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中,其內(nèi)部貯存的能量隨著時(shí)間的增加而逐漸減小,一直到運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)處,系統(tǒng)的能量耗盡或變得最小,那么系統(tǒng)自然將在此平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定。即有。由于實(shí)際系統(tǒng)很難找到一個(gè)統(tǒng)一的、簡(jiǎn)便的用于完全描述上述過程的所謂能量函數(shù),李氏認(rèn)為在判斷一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí),不一定非要找到系統(tǒng)的真正能量函數(shù),可以根據(jù)不同的系統(tǒng)虛構(gòu)一個(gè)廣義的能量函數(shù),稱為李亞普諾夫函數(shù)(李氏函數(shù))。李氏函數(shù)能滿足一定的條件,也就可根據(jù)它來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。李氏函數(shù)一般是狀態(tài)分量和時(shí)間t的標(biāo)量函數(shù),用表示。若與t無關(guān),可用表示。在多數(shù)情況下,常取二次型函數(shù)作為李氏函數(shù)。4.3李亞普諾夫第二方法的主要定理定理1設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為定理2:系統(tǒng)如(3)所示,如果它在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi),存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)對(duì)t具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)存在,對(duì)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在,且滿足如下條件定理3:系統(tǒng)如(3)所示,如果它在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi),存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)對(duì)t具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)存在,對(duì)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在,且滿足如下條件定理4:系統(tǒng)如(3)所示,如果它在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi),存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)對(duì)t具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)存在,對(duì)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在,且滿足如下條件例子:系統(tǒng)方程為試用李亞普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例子:系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試用李亞普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
一線性定常系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性判據(jù)考察線性這下常自治系統(tǒng)是它的一個(gè)平衡狀態(tài)。判據(jù)1:(特征值判別據(jù))對(duì)于線性定常系統(tǒng)(4),有(1)系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的充分必要條件為,A的所有特征值均具有非正(負(fù)或零)實(shí)部,且具有零實(shí)部的特征值為A的最小多項(xiàng)式的單根。(2)系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為,A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。
4.4線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的判據(jù)例給定線性定常自治系統(tǒng)判據(jù)2:(李亞普諾夫判據(jù))線性定常系統(tǒng)(4)的零平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件,是對(duì)任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱矩陣Q,如下形式的李亞普諾夫矩陣方程
有唯一正定對(duì)稱矩陣解P。第五章線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合系統(tǒng)的分析與綜合:分析問題:已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)及已知外輸入作用,研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的定性行為(如能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性)和定量的變化規(guī)律。綜合問題:已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù),以及所期望的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式或某些特征,要確定的則是需要施加于系統(tǒng)的外輸入作用即控制作用的規(guī)律。一般控制作用規(guī)律常取反饋的形式。5.1引言綜合問題給定系統(tǒng)狀態(tài)空間描述
A、B、C均為常陣且給定。再給出所期望的性能指標(biāo):1)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)期望形式所規(guī)定的某些特征量。2)對(duì)其運(yùn)動(dòng)過程所規(guī)定的某種期望形式或需取極小(或極大)值的一個(gè)性能函數(shù)。綜合:尋找一個(gè)控制作用u,使得在其作用下,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的行為滿足所給出的期望性能指標(biāo)。一般u依賴于系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)。形式為:u=-kx+v狀態(tài)反饋控制(2)
u=-Fy+v
輸出反饋控制(3)其中:k為p×n常陣,狀態(tài)反饋矩陣。
F為p×q常陣,輸出反饋矩陣。
v—參考輸入向量。二性能指標(biāo)的類型性能指標(biāo)非優(yōu)化型性能指標(biāo):是一類不等式型的指標(biāo),即只要性能達(dá)到或好于期望指標(biāo)就算實(shí)現(xiàn)了綜合目標(biāo)。優(yōu)化型性能指標(biāo):是一類極值型指標(biāo),綜合的目的是要使性能指標(biāo)在所有可能值中取為極?。ɑ驑O大)值。常用非優(yōu)化型性能指標(biāo):(1)以漸近穩(wěn)定性為性能指標(biāo),相應(yīng)的綜合問題稱為鎮(zhèn)定問題。(2)以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo),相應(yīng)的綜合問題為極點(diǎn)配置問題。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的形態(tài),即動(dòng)態(tài)性能(如超調(diào)量)、過渡過程)主要由極點(diǎn)的位置所決定。(3)以使系統(tǒng)的輸出y無靜差地跟蹤一個(gè)外部信號(hào)作為性能指標(biāo),相應(yīng)的綜合問題為跟蹤問題。(4)以便一個(gè)多輸入—多輸出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)“一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出”作為性能指標(biāo),相應(yīng)的綜合問題稱為解耦控制問題。優(yōu)化型性能指標(biāo)常取一個(gè)相對(duì)于狀態(tài)x和控制u的二次型積分性能指標(biāo),其形式為:三研究綜合問題的思路1建立可綜合的條件:建立相對(duì)于給定的受控系統(tǒng)和給定的期望性能指標(biāo),使相應(yīng)的控制存在,并實(shí)現(xiàn)綜合目標(biāo)所應(yīng)滿足的條件。2建立起相應(yīng)的用以綜合控制規(guī)律的算法。利用這些算法,對(duì)滿足可綜合條件的問題。確定出滿足要求的控制規(guī)律,即確定出相應(yīng)的狀態(tài)反饋和輸出反饋矩陣。
一反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)形式1狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)形式1)基本結(jié)構(gòu)形式
2)特點(diǎn):采用對(duì)狀態(tài)向量的線性反饋規(guī)律來構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。3)優(yōu)點(diǎn):不引入新的狀態(tài)變量。4)狀態(tài)空間模型5.2狀態(tài)反饋和輸出反饋2輸出反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)形式1)基本結(jié)構(gòu)形式2)特點(diǎn):采用輸出反饋。
3)模型受控系統(tǒng)二反饋控制系統(tǒng)的通用結(jié)構(gòu)形式1帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋(克服狀態(tài)向量x不可能測(cè)到,借助狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu))。1)結(jié)構(gòu)圖2)觀測(cè)器系統(tǒng)是受控系統(tǒng)的狀態(tài)的重構(gòu)狀態(tài)。是可直接量測(cè)的。與雖不等,但漸近相等。觀測(cè)器系統(tǒng)的階次低于受控系統(tǒng)的階次。
3)閉環(huán)系統(tǒng)階次等于受控系統(tǒng)階次與觀測(cè)器系統(tǒng)階次之和。2帶補(bǔ)償器的輸出反饋克服基本結(jié)構(gòu)形式,不能隨心所欲地任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn),借助補(bǔ)償器來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的任意配置。1)結(jié)構(gòu)圖2)補(bǔ)償器系統(tǒng)補(bǔ)償器系統(tǒng)的階次低于受控系統(tǒng)的階次。3)閉環(huán)系統(tǒng)階次等于受控系統(tǒng)階次與補(bǔ)償器系統(tǒng)階次之和。三狀態(tài)反饋和輸出反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性結(jié)論1:狀態(tài)反饋的引入,不改變系統(tǒng)的能控性,但可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。證明:先證能控性。再證狀態(tài)反饋系統(tǒng)不一定能保持能觀測(cè)性。舉例說明:
從而,表明狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。結(jié)論2:輸出反饋的引入能同時(shí)不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,即輸出反饋系統(tǒng)為能控(能觀測(cè))的充分必要條件是受控系統(tǒng)為能控(能觀測(cè))。證略。四狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較1狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較都是借助于一個(gè)線性反饋陣(K或H)來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制,都具有不增加系統(tǒng)階次的優(yōu)點(diǎn)。2狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為(A-BK),其中K為狀態(tài)反饋陣。輸出反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為(A-BHC),其中H為輸出反饋陣,這里HC相當(dāng)于狀態(tài)反饋陣中的
K陣,但K的選擇自由度大,而H的選擇自由度小,尤其是HC對(duì)系統(tǒng)的影響效果要比K小得多,所以輸出反饋對(duì)改善閉環(huán)系統(tǒng)的控制特性要比狀態(tài)反饋差一些。3狀態(tài)反饋和輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)形式均不太適用于工程實(shí)際問題。狀態(tài)反饋和輸出反饋的通用結(jié)構(gòu)形式較適用于工程實(shí)際問題。帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),可解決系統(tǒng)狀態(tài)不能測(cè)量時(shí)的狀態(tài)重構(gòu)問題;帶有補(bǔ)償器的輸出反饋系統(tǒng),可解決輸出反饋基本結(jié)構(gòu)形式不能任意配置極點(diǎn)的問題。4狀態(tài)反饋能保持原受控系統(tǒng)的能控性,但不一定能保持原受控系統(tǒng)的能觀測(cè)性。輸出反饋能同時(shí)保持原受控系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。
一狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問題狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置問題:就是對(duì)給定的受控系統(tǒng),確定狀態(tài)反饋律u=-Kx+v,v為參考輸入,即確定一個(gè)
的狀態(tài)反饋增益矩陣K,使所導(dǎo)出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為{},也就是成立解決上述極點(diǎn)配置問題,需要解決兩個(gè)問題:1)建立可配置條件問題,即利用狀態(tài)反饋而任意地配置其閉環(huán)極點(diǎn)所應(yīng)遵循的條件。2)建立相應(yīng)的算法,即用以確定滿足極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣K的算法。5.3極點(diǎn)配置問題:可配置條件和算法二極點(diǎn)可配置條件〈一〉準(zhǔn)備知識(shí)1循環(huán)矩陣定義:如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式等同于其最小多項(xiàng)式,則稱為循環(huán)矩陣。2循環(huán)矩陣特性:1)A為循環(huán)矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)它的約當(dāng)規(guī)范形中相應(yīng)于每一個(gè)不同的特征值僅有一個(gè)特征塊。2)如果A的所有特征值為兩兩相異,則對(duì)應(yīng)于每一個(gè)特征值必僅有一個(gè)約當(dāng)塊,因此A必定是循環(huán)的。3)若A為循環(huán)矩陣,則其循環(huán)性是指:必存在一個(gè)向量b,使向量組可張成一個(gè)n維空間,也即{A,b}為能控。
4)若{A,B}為能控,且A為循環(huán),則對(duì)幾乎任意的實(shí)向量p,單輸入矩陣對(duì){A,Bp}為能控。5)若A不是循環(huán)的,但{A,B}為能控,則對(duì)幾乎任意的常陣K,A-BK為循環(huán)?!炊蹬渲脳l件線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充分必要條件,是此系統(tǒng)為完全能控。證:必要性:已知可配置極點(diǎn),欲證{A,B}為能控。利用反證法,假設(shè){A,B}不完全能控,則必可分解為:
上式表明,狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)不能控部分的特征值,因此不可能任意地配置極點(diǎn),與已知前提矛盾,故假設(shè)不成立。所以{A,B}為能控。充分性。已知{A,B}為能控,欲證可配置極點(diǎn)。分三步來證明:(1)使系統(tǒng)矩陣A為循環(huán)矩陣。若是即可。若A不是循環(huán)陣,則可予置一個(gè)狀態(tài)反饋,使得
(2)化多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題為等價(jià)的單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題。表明對(duì)任給{}都必可找到使上式成立,即可任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。三算法1單輸入極點(diǎn)配置問題的算法給定能控矩陣對(duì){A,b}和一組期望的閉環(huán)特征值{},要確定的反饋增益矩陣k,使成立第一步:計(jì)算A的特征多項(xiàng)式,即第二步:計(jì)算由{}所決定的多項(xiàng)式,即第三步:計(jì)算第四步:計(jì)算變換陣第五步:求第六步:所求增益陣?yán)航o定單輸入線性定常系統(tǒng)2多輸入極點(diǎn)配置問題的算法算法一:1)條件:給定能控矩陣對(duì){A,B}和一組所期望的閉環(huán)特征值{},要確定的反饋增益矩陣K,使
成立。2)算法:第一步:判斷A是否為循環(huán)矩陣。若否,選取一個(gè)常陣,使為循環(huán),并表示為;若是,則。第二步:對(duì)循環(huán)陣,通過適當(dāng)選取一個(gè)實(shí)常向量,表示為,且{}為能控。第三步:對(duì)于等價(jià)單輸入問題{},利用單輸入極點(diǎn)配置問題的算法,求出增益向量k。
第四步:當(dāng)A為循環(huán)時(shí),所求的增益矩陣;當(dāng)A為非循環(huán)時(shí),所求的增益矩陣為。算法二:1)條件:同上。2)算法:第一步:把能控矩陣對(duì){A,B},化為龍伯格規(guī)范形。假設(shè)n=0,p=3.如:
第二步:把給定的期望閉環(huán)特征值{}按龍伯格規(guī)范形的對(duì)角線塊陣的維數(shù),相應(yīng)地計(jì)算第三步:取
由此可導(dǎo)出:
由給定的矩陣對(duì){A,B},計(jì)算出變換矩陣第五步:所求狀態(tài)反饋增益矩陣即為。算法三例:給定多輸入線性定常系統(tǒng)規(guī)范形方案2四狀態(tài)反饋對(duì)傳遞函數(shù)矩陣的零點(diǎn)的影響(一)單輸入—單輸出系統(tǒng)1分析給定完全能控線性定常系統(tǒng)
2結(jié)論:(1)比較(1)、(2)式,一般情況下,引入狀態(tài)反饋雖能使g(s)的極點(diǎn)移動(dòng)位置,但卻不影響g(s)的零點(diǎn)。(2)設(shè)某些極點(diǎn)在狀態(tài)反饋引入后被移動(dòng)到與g(s)的零點(diǎn)相重合,而構(gòu)成對(duì)消的情況下,則此時(shí)狀態(tài)反饋也影響了g(s)的零點(diǎn),并且造成了被對(duì)消掉的那些極點(diǎn)成為不可觀測(cè)。(二)多輸入—多輸出系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋可以影響受控系統(tǒng)的G(s)的元傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。五輸出反饋的極點(diǎn)配置問題1一般地說,利用非動(dòng)態(tài)輸出反饋(v為參考輸入),不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)。
2對(duì)于能控和能觀測(cè)的受控系統(tǒng){A,B,C},令系統(tǒng)的維數(shù)為n,且
rankB=p,
rankC=g,則采用非動(dòng)態(tài)線性輸出反饋,可對(duì)數(shù)目為
min{n,p+q-1}
個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)進(jìn)行“任意地接近”式配置,即可使它們?nèi)我獾亟咏谥付ǖ钠谕麡O點(diǎn)位置。3如果在引入輸出反饋的同時(shí),附加引入補(bǔ)償器,那么通過適當(dāng)選取和綜合補(bǔ)償器的結(jié)構(gòu)和特性,將可對(duì)所導(dǎo)出的輸出反饋系統(tǒng)的全部極點(diǎn)進(jìn)行任意地配置。
一能鎮(zhèn)定性定義:對(duì)線性定常系統(tǒng),如果存在狀態(tài)反饋陣K(或輸出反饋陣H)使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)反饋(或輸出反饋)能鎮(zhèn)定的。推論:1)如果狀態(tài)完全能控,那么該系統(tǒng)必然是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。但逆命題不一定成立,即一個(gè)狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的系統(tǒng),卻不一定是狀態(tài)完全能控的。2)如果是輸出反饋能鎮(zhèn)定的,那么該系統(tǒng)必然是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。但逆命題不一定成立,即一個(gè)狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的系統(tǒng),卻不一定是輸出反饋能鎮(zhèn)定的。5.4鎮(zhèn)定問題:可鎮(zhèn)定條件和算法二可鎮(zhèn)定的條件1狀態(tài)反饋:設(shè)有線性定常系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)其不能控部分為漸近穩(wěn)定時(shí),則該系統(tǒng)就是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。證明:(1)對(duì)不完全能控系統(tǒng),可根據(jù)結(jié)構(gòu)分解定理使之化為(2)根據(jù)非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性的性質(zhì),所以可研究來代替對(duì)(A,B,C)的研究。對(duì)可引入狀態(tài)反饋陣,于是有2輸出反饋設(shè)有線性定常系統(tǒng),其輸出反饋能鎮(zhèn)定的充分必要條件為:1)其能控且能觀測(cè)部分是輸出反饋能鎮(zhèn)定的。2)其能控不能觀、不能控不能觀、不能控但能觀各部分的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。三算法給定{A,B},且知其滿足可鎮(zhèn)定條件,則鎮(zhèn)定問題中綜合狀態(tài)反饋增益矩陣K
的計(jì)算步驟如下:1)對(duì){A,B}按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解,導(dǎo)出{},并求出變換陣P。
2)對(duì){},求出約當(dāng)規(guī)范形:
3)利用極點(diǎn)配置問題算法,計(jì)算的反饋增益陣,使均具有負(fù)實(shí)部。4)所求的鎮(zhèn)定反饋增益矩陣。一解耦的意義:所謂解耦控制問題:就是尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律,使得多輸入多輸出閉環(huán)系統(tǒng)中的每個(gè)輸出僅由一個(gè)輸入所控制,這樣就把一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)化成了多個(gè)獨(dú)立的單輸入單輸出系統(tǒng),從而楞實(shí)現(xiàn)自治控制。二能解耦性定義:設(shè)有多輸入多輸出系統(tǒng)
引入如下假設(shè)條件:(1)p=q且p<=n即傳遞函數(shù)陣為嚴(yán)格真有理分式陣。5.5解耦控制問題:可解耦條件和算法
(2)控制規(guī)律采用輸入變換加狀態(tài)反饋的形式。即其中K為
狀態(tài)反饋陣。L為輸入變換陣。(3)
輸入變換陣L為非奇異,即有
此時(shí)可將閉環(huán)系統(tǒng)簡(jiǎn)記為:且傳遞函數(shù)為:如果存在某個(gè)K、L陣,使閉環(huán)傳遞函數(shù)為如下形式的非奇異對(duì)角線陣
則稱這樣的受控系統(tǒng)是完全解耦的。實(shí)現(xiàn)完全解耦后:三傳遞函數(shù)矩陣的兩個(gè)特征量1定義:四可解耦條件:線性定常受控系統(tǒng)可采用狀態(tài)反饋和輸入變換即存在矩陣對(duì){L,K}
進(jìn)行解耦的充分必要條件,是如下常陣推論:1)受控系統(tǒng)能否可采用狀態(tài)反饋和輸入變換來實(shí)現(xiàn)解耦,唯一地決定于其傳遞函數(shù)矩陣G(s)的兩組特征向量和
。從表面上看,與系統(tǒng)的能控性和能鎮(zhèn)定性無關(guān),但從解耦后的系統(tǒng)要能正常運(yùn)行并具有
良好性能而言,仍要求受控系統(tǒng)是能控的,或至少是能鎮(zhèn)定的。2)為了判斷受控系統(tǒng)能否可采用狀態(tài)反饋和輸入變換來實(shí)現(xiàn)解耦,既可從系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣描述來組成判別矩陣E,也可從系統(tǒng)狀態(tài)空間描述來組成判別陣E。3)對(duì)于一個(gè)可解耦的受控系統(tǒng),當(dāng)選取{L,K}為:
時(shí),必可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦,且解耦控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為:五確定解耦控制矩陣對(duì){L,K}的算法給定受控系統(tǒng):
其中,dim(u)=dim(y)=p,{A,B}為能控。再規(guī)定以實(shí)現(xiàn)解耦為主要綜合目標(biāo),同時(shí)對(duì)解耦的每一個(gè)單輸入—單輸出控制系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)期望的極點(diǎn)配置。第一步:計(jì)算{}和{}。判斷是否為非奇異。若是可解耦。否則不能解耦,退出計(jì)算。第二步:計(jì)算第三步:取第四步:引入線性非奇異變換,把{}變換為如下的解耦規(guī)范形:
其中,虛線分塊化表示按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解形式,當(dāng){}為能觀測(cè)時(shí),{}中不出現(xiàn)不能觀測(cè)部分。進(jìn)而有:第五步:對(duì)解耦規(guī)范形{}。引入狀態(tài)反饋來實(shí)現(xiàn)解耦控制和解耦后的單輸入—單輸出控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。狀態(tài)反饋增益矩陣取為如下形式的常陣。并且,由此可導(dǎo)出和表明:的結(jié)構(gòu)形式保證了解耦控制的實(shí)現(xiàn),而的元?jiǎng)t由解耦后的第i個(gè)單輸入—單輸出控制系統(tǒng)的期望極點(diǎn)組所決定。第六步:對(duì)于所討論的受控系統(tǒng),使其實(shí)現(xiàn)解耦和對(duì)解耦后各單輸入—單輸出系統(tǒng)進(jìn)行期望的極點(diǎn)配置的{K,L}為完全能觀測(cè)例:給定雙輸入—雙輸出的線性定常受控系統(tǒng)為:
顯然{}為能觀測(cè),且{}已處于解耦規(guī)范形,所以無需作進(jìn)一步變換Q=I。
解耦后單輸入—單輸出系統(tǒng)的期望特征值為:六靜態(tài)解耦控制問題1定義:考慮輸出維數(shù)和輸入維數(shù)相等的線性定常受控系統(tǒng)2判據(jù):存在{K,L},可使受控系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦的充分必要條件是(I)受控系統(tǒng)是用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的;(II)受控系統(tǒng)的系數(shù)矩陣滿足秩關(guān)系式
其中:n為系統(tǒng)的維數(shù),p為輸出(和輸入)的維數(shù),且L為非奇異。3算法:第一步:判斷{A,B}是否能穩(wěn)定或能控,判斷系數(shù)矩陣的秩條件是否成立。第二步:對(duì)于滿足可靜態(tài)解耦條件的系統(tǒng),按極點(diǎn)配置算法,確定一個(gè)狀態(tài)反饋增益矩陣K,使(A-BK)的特征值均具有負(fù)實(shí)部。
第三步:按照靜態(tài)解耦后各單輸入—單輸出自治系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益要求,確定
第四步:取輸入變換陣
一問題的提出在線性定??刂葡到y(tǒng)中,狀態(tài)反饋具有任意配置極點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn),可使系統(tǒng)獲得一系列極為有用的重要性質(zhì),是一種廣泛采用的控制方法。但狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的狀態(tài)向量的每一個(gè)分量勻均應(yīng)能直接量測(cè)得到。然而在許多復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用中,系統(tǒng)內(nèi)部的每個(gè)狀態(tài)分量并不都能量測(cè)得到,這就給狀態(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)造成困難。這就提出一個(gè)問題,能否通過原系統(tǒng)的輸出輸入加以改造來重新構(gòu)造新的狀態(tài)向量,使得在時(shí),能復(fù)現(xiàn)或近似復(fù)現(xiàn)原系統(tǒng)狀態(tài)向量?回答是肯定的,這就是所謂狀態(tài)重構(gòu)問題。觀測(cè)器的含義:如果存在一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng),它以原受控系統(tǒng)的輸出和輸入作為自身的輸入,且當(dāng)時(shí),的輸出逼近原控系統(tǒng)的狀態(tài),則稱是的狀態(tài)觀測(cè)器。5.8狀態(tài)重構(gòu)問題和狀態(tài)觀測(cè)器二狀態(tài)觀測(cè)器的定義1定義:設(shè)有線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)是不能直接量測(cè)的,若存在另一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng),滿足如下條件:(1)以的輸出y和輸入u作為輸入量;(2)的輸出滿足為的狀態(tài),則稱是的狀態(tài)觀測(cè)器。2構(gòu)造觀測(cè)器的一般原則:(1)觀測(cè)器必須以原受控系統(tǒng)的輸出y和輸入u作為輸入。(2)為使觀測(cè)器滿足(1)式,則要求原受控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的,或其不能觀部分是漸近穩(wěn)定的。(3)觀測(cè)器的輸出應(yīng)有足夠快的逼近的的速度,因此要求應(yīng)有足夠的頻帶。(4)觀測(cè)器應(yīng)有較好的抗干擾性。(5)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單,即的維數(shù)應(yīng)盡可能低。三觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)形式1觀測(cè)器的種類全維觀測(cè)器:觀測(cè)器的維數(shù)等于受控系統(tǒng)的維數(shù)。降維觀測(cè)器:觀測(cè)器的維數(shù)小于受控系統(tǒng)的維數(shù)。2觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)形式A全維觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)形式一般結(jié)構(gòu)形式(1)
結(jié)構(gòu)圖:重構(gòu)系統(tǒng)是以原系統(tǒng)的可量測(cè)變量
u和y為輸入的一個(gè)
n維線性定常系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)形式(2)結(jié)構(gòu)圖:B
降維觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)形式一般結(jié)構(gòu)形式四全維狀態(tài)觀測(cè)器1全維狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行任意極點(diǎn)配置的條件結(jié)論:n維線性定常系統(tǒng)是能觀測(cè)的,即若(A,C)為能觀測(cè),則必可采用全維觀測(cè)器來重構(gòu)其狀態(tài),并且必可通過選擇增益陣L而任意配置(A-LC)的全部特征值。2算法:給定被估計(jì)系統(tǒng),設(shè){A,C}為能觀測(cè),再對(duì)所要設(shè)計(jì)的全維觀測(cè)器指定一組期望極點(diǎn){},則設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器的步驟為:第
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