高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)高分突破講義：專題22 拋物線【藝體生專供-選擇填空搶分專題】2023年高考高頻考點(diǎn)題型精講+精練新高考通

【藝體生專供一選擇填空搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考高頻考點(diǎn)題型精講+精練（新高考通用）

專題22拋物線

一、考向解讀

考向：高考中拋物線的考查主要是它的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義等?；A(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是拋物線的定義、

方程與性質(zhì)，其中對(duì)稱性的考查一般體現(xiàn)在小壓軸中。標(biāo)準(zhǔn)方程的考查主要是解答題笫

一'可，一般結(jié)合直線或者圓，要重點(diǎn)掌握好！

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。

導(dǎo)師建議：重視拋物線的定義（考的很多！！重點(diǎn)掌握），在選擇填空中往往作為隱含

條件！

知識(shí)點(diǎn)匯總

拋物線的方程與性質(zhì)

圖形

/—F*

y2=2pxy2=-2pxx2=2py“2=-2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

（P>°）（P>°）（P>°）（">0）

與一定點(diǎn)F和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F不在定直

定義

線/上）

離心率e=i頂點(diǎn)（0,0）

對(duì)稱軸x軸或y軸

范圍x>0x<0y>0y<0

隹占

，八、、喑,。）《。蜀F

準(zhǔn)線方程T

22

叼=%十§

焦半徑\MF\=-XQ+^M=-^o+y

M(xoyo)

通徑過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑：W"'|=2p

焦點(diǎn)弦長

M卻=芭+.+p

公式

參數(shù)p的

參數(shù)〃表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，〃越大，開口越闊

幾何意義

三、題型專項(xiàng)訓(xùn)練

目錄一覽

①拋物線的定義

②拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

③拋物線的性質(zhì)

④多選題與填空題

高考題及模擬題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①拋物線的定義

一、單選題

1.若拋物線丁=2川（〃>0）上一點(diǎn)2（2,），。）到其準(zhǔn)線的距離為3,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=4xB.y2=6JC.y2=8xD.y2=1Ox

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)即可求解.

【詳解】P（2.y°）到其準(zhǔn)線的距離為2+六3np=2?故拋物線方程為/=4x.

故選：A

2.拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線上一點(diǎn)/，在其對(duì)稱軸的上方，若仍日=3,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

A.（4,4）B.（3,2點(diǎn)）C.（2,2x/2）D.（1,2）

【答案】C

【分析】先設(shè)出2點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義列出等式，即可得點(diǎn)。坐標(biāo).

【詳解】解:由題設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為口,目，

根據(jù)拋物線的定義知I尸尸|=x+1=3,所以x=2,

代入拋物線中可得y=2&,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2&）.

故選:C

3.已知拋物線C：y2=41的焦點(diǎn)為F,〃（公,九）是C上一點(diǎn)，/K可/，則不=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】直接利用拋物線的定義即可求解.

【詳解】依題意知，焦點(diǎn)尸（1,。），

4

由定義知：I"用=%+1,所以/+1=耳%,所以而=3.

故選：C.

4.拋物線后：），=4/的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）

4

A.-B.-C.2D.4

84

【答案】C

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到〃，再根據(jù)〃的幾何意義得解；

【詳解】解：拋物線匕y=!/，即/=4）,,貝|J2〃=4,所以p=2,

4

所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為P=2.

故選：C

5.已知產(chǎn)為拋物線C：犬=20,（〃>0）的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5的點(diǎn)A在。上，|人月=8,則〃=（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義列式計(jì)算作答.

【詳解】依題意，拋物線C：一=2外的焦點(diǎn)尸（0苧，準(zhǔn)線方程為），=4,

顯然有|4尸|=5-（-9=8,所以p=6.

故選：D

6.已知拋物線犬=〃r（"?>0）上的點(diǎn)（不，1）到該拋物線焦點(diǎn)”的距離為2,則〃?=（）

A.I

C.4

D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義，可列方程，得到答案.

【詳解】由f=沖（〃>0）,可得其焦點(diǎn)尸（0彳），準(zhǔn)線方程為），=-彳，

因?yàn)辄c(diǎn)（如1）到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為2,所以點(diǎn)（知1）到拋物線準(zhǔn)線的距離為2,

則1+—=2,解得加=4,

故選：C.

7.設(shè)拋物線。：/=一］2），的焦點(diǎn)為八點(diǎn)?在。上，Q（0.-9）,若|PF|=|Q向則|P0=（）

A.2&B.4x/2C.5&D.672

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得出|"|是拋物線通徑的一半，再由勾股定理即可解決.

【詳解】由題意可知尸（0,-3）,|明=6,所以|P尸|=6?

因?yàn)閽佄锞€C的通徑長2P三12,

所以尸/Fy軸，所以|尸0=用+62=6拒

故選：D.

8.已知拋物線V=34的焦點(diǎn)為人點(diǎn)尸為拋物線上任意一點(diǎn)，則歸目的最小值為（）

【答案】B

【分析】結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.

【詳解】拋物線丁=34的焦點(diǎn)為唱0）,準(zhǔn)線為x=-（,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（小,%）,-vn>0,根據(jù)拋物線的定義有=故歸日的最小值為:

444

故選：B

9.已知點(diǎn)44.4）在拋物線C：y2=2px上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，則|尸山+歸0|的

最小值為（）

A.6B.2石C.Vl3D.2岳

【答案】D

【解析】根據(jù)點(diǎn)44,4）在拋物線C：），2=2px上河求得〃=2,可得準(zhǔn)線方程尸一1,取8（-2.0）,貝lj

|以|+1PO|=|+1PB|習(xí)AB|即可得到.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)44.4）在拋物線C：），2=2/n?上，

所以16=8〃，所以〃=2,所以，=4x,準(zhǔn)線為：戶一1

取B（-2,0）,則|+1PO|=|PA什|PB14PBi=J（-2-4）2+（（）-4、=2萬,

當(dāng)且僅當(dāng)AR8三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào).故選：D.

10.尸為拋物線。:/=今的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8（0,5）,若|八目二忸目,則448戶的面積為（）

A.B.4百C.4D.8

【答案】B

【分析】求出焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得忸用,即的長度，根據(jù)拋物線定義可求得A點(diǎn)坐標(biāo),

進(jìn)而可求出面積.

【詳解】解:因?yàn)閽佄锞€口/=43所以尸（0,1）,準(zhǔn)線為：尸-1

因?yàn)?（0,5）,所以|跖|=4=|4尸設(shè)4ApyJ,根據(jù)拋物線定義可知：y+l=4,解得*:3,

所以4（±2。,3）,所以5板=；?忸斗同=34、26=4收

故選:B

11.已知拋物線C：）?=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,A為C上的點(diǎn)，過A作/的垂線，垂足為8,忸f|=4,

則44尸=（）

A.30°B.60°C.45°D.90°

【答案】B

【分析】由|8百=4結(jié)合拋物線性質(zhì)可得/6明=60,利用拋物線定義可得AAB尸為正三角形，即可得出

答案.

【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線1與x軸交于點(diǎn)M,

則由拋物線可知||口必|=2,又|明=4,故/月5M=30,NF胡=60,

又由拋物線定義|AB|=|AF|,可得△48尸為正三角形，故NBA尸=60.

故選：B

12.已知拋物線丁=41，尸為其焦點(diǎn)，拋物線.上兩點(diǎn)A、8滿足|A/1+|4尸|=8,則線段/W的中點(diǎn)到準(zhǔn)線

的距離等于（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】先求出拋物線準(zhǔn)線方程，再根據(jù)焦半徑求出段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后即可求出答案.

【詳解】??拋物線產(chǎn)=4,丫，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，

.?.廣。,0）,準(zhǔn)線為4-1,

設(shè)A（%,yJ,8（w，y2）,?】人“1+14用=%+1+占+1=8,.?.玉+工2=6,

所以，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,即線段A8的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為3,

所以線段A8的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于4.

故選：C.

13.已知拋物線C：）尸=4%的焦點(diǎn)為A斜率為2的直線/與C的交點(diǎn)為A,4.若|AF|+忸F|=10,貝I”的

方程為（）

A.y=2x+7B.y=2.r+lC.y=2x-7D.y=2x-1

【答案】C

【分析】設(shè)斜率為2的直線/方程為y=2x+"與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得4f+（4。-4）x+/=o,設(shè)A（X“J,

8（々，必），所以用+毛=1-"接著利用拋物線的定義即可求解

【詳解】由拋物線C：）/=4l可得焦點(diǎn)*1,0）,準(zhǔn)線為A-1,

設(shè)斜率為2的直線/方程為y=2x+bt

所以‘；力消去了得4^+（助一4八+//=0,

D=（4/?-4）2-16/72>0,解得

設(shè)A（E，X）,成％必），所以工+。=1一〃，

利用拋物線的定義可得|AF|+|BF|=%+l+w+l=10,即1-"2=10,解得b=-7,

所以/的方程為），=2x-7

故選：C

②拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

14.已知拋物線的焦點(diǎn)為尸（0,1）,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=-4xB.x2=-4yC./=4xD.x2=4y

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，確定開口方向和〃的值，即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為尸（0,1）在y軸上,

令x2=2py（p>0）且5=1,得〃=2,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=4y.

故選：D

15.已知拋物線V=QX的焦點(diǎn)為（1,0）,則此拋物線的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y1--2xD.y2--4x

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義和方程求解.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2=or=2x|xx,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為已0）,

所以￡=1解得。=4,所以此拋物線的方程為），2=4-

4

故選：B.

16.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=l,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A..V2=-4yB,x2=4jC.y2=4.rD.y2=-4x

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可解決.

【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=1,所以拋物線開口向左，即P=2,

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=-2px,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=-4x,

故選：D

17.拋物線），2二—X的準(zhǔn)線方程是工=1,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.--B.-C.4D.T

44

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程列式得出結(jié)果.

【詳解】由題意得：=1，解得：

4。4

故選：A.

18.數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽

略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線），=如2的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。，-2）.校門最高點(diǎn)到地面距離約為

18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（）

A.18米B.21米C.24米D.27米

【答案】C

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出。的值，即可得到拋物線方程，再令＞=78.2求出x

的估值，從而得解.

【詳解】依題意知，拋物線），=欠2,即/=：）,,

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,所以;=一2,所以。=-：，

4a8

所以拋物線方程為y=

O

令y=-18.2,則》=145.6=144,解得x*±12,

所以校門位于地面寬度最大約為24米.

故選：C.

19.如圖為一個(gè)拋物線形拱橋，當(dāng)水面經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，水面寬度為18m,則此時(shí)欲經(jīng)過橋洞的一艘

寬12m的貨船，其船體兩側(cè)的貨物距離水面的最人高度應(yīng)不超過（）

A.2mB.2.5mC.3mD.3.5m

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，抽象出拋物線的幾何模型，根據(jù)拋物線的通經(jīng)性質(zhì)求得拋物線方程，即可求當(dāng)寬為12m

時(shí)的縱坐標(biāo)即可求解.

【詳解】根據(jù)題意畫出拋物線如下圖所示：

y

o

設(shè)寬度為18m時(shí)與拋物線的交點(diǎn)分別為AB,當(dāng)寬度為12m時(shí)與拋物線的交點(diǎn)分別為C。，

當(dāng)水面經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，水面寬度為18m,

所以由拋物線的性質(zhì)可知2〃=18,則拋物線方程為/=78)，，則

所以當(dāng)寬度為12m時(shí)，設(shè)。(6,〃)，代入拋物線方程得6?=-18〃，解得。=-2,

所以直線A8與直線C。的距離〃=(-2)---=2.5,

\z)

即船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過2.5m,

故選：B

20.已知拋物線C：V=2px,直線/經(jīng)過焦點(diǎn)“交C于AB兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4),則A8|=()

1525

A.—B.5C.6D.—

44

【答案】D

【分析】解法一：由拋物線所過點(diǎn)可求得〃，進(jìn)而得到拋物線方程和焦點(diǎn)產(chǎn)，將直線/方程與拋物線方程聯(lián)

立可求得4,利用拋物線的焦點(diǎn)弦長公式可求得結(jié)果；

解法二：由拋物線所過點(diǎn)可求得P,利用二級(jí)結(jié)論.4=￡可求得出,代入拋物線的焦點(diǎn)弦長公式可求得

結(jié)果.

【詳解】解法一：拋物線。過點(diǎn)A(4,4),./ngp,解得：p=2t.-.C:/=4x,"(1,0),

4-04

「?直線/：y=7^(ki),即產(chǎn)[工-1),

4—13

4

由卜一5。一"得：4x2-17x+4=0,解得：x=4或x=?.?4=；，

2.44

y=4x

[25

：.\AB\=xA+xB+p=4+-+2=-^i

解法二：二拋物線C過點(diǎn)A(4,4),.?.42=8p,解得：p=2,

=

*.,xAxtt-—1>~f|AS]="A+xfi+p=44--+2=,

故選：D.

21.已知拋物線f=2p），（〃>0）的準(zhǔn)線為y=-g,0為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B都在此拋物線上，若直線AB過（0,2）,

則。AO4=（）

A.4B.8C.0D.-8

【答案】C

【分析】法一：先由拋物線的準(zhǔn)線方程求得拋物線的方程，再直接利用特殊直線法求得AB的坐標(biāo)，從而

得解；

法二：聯(lián)立直線A8與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理與向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】法一：

因?yàn)閽佄锞€Y=2n，（〃>0）的準(zhǔn)線為y=—g,所以即〃

所以拋物線的方程為/=2），，

因?yàn)橹本€AB過（0,2）,

所以可取直線A4為尸2代入拋物線方程，計(jì)算得4-2,2）,8（2,2）,

所以O(shè)AOB=-2x2+2x2=0;

法二：

依題意，直線A8的斜率必然存在，設(shè)直線A8為丁=丘+2,A（N，y）,雙孫力），

聯(lián)立卜二2y消去》，，得/_26-4=0,

y=kx+2

此時(shí)△=43+16>0,所以中”-4，則乂/=五,%=4，

22

所以O(shè)A?OB=NW+y\y2=o.

故選：c.

③拋物線的性質(zhì)

22.對(duì)拋物線下列描述正確的是（）

O

A.開口向上，焦點(diǎn)為（0,2）B.開口向上，焦點(diǎn)為（），最

D.開口向右，焦點(diǎn)為（表,0

C.開口向右，焦點(diǎn)為（2,0）

【答案】A

【解析】將拋物線方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)方程形式/=8），，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為F=8），，

則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。,2）.

故選：A.

23.若拋物線）2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1,則〃的取值范圍是（）

A.p<lB.p>1C.p<2D.p>2

【答案】D

【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值三，列不等式求解.

【詳解】???設(shè)P為拋物線的任意一點(diǎn)，

則P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線：的距離，

顯然當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值即p>2.

故選：I）.

【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的幾何性質(zhì)，根據(jù)幾何性質(zhì)解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的取值范圍問題.

24.已知點(diǎn)（x,），）在拋物線盧4犬上，則z=Y+；+3的最小值是（）

A.2B.3C.4D.0

【答案】B

【分析】將拋物線方程代入，利用二次函數(shù)的性質(zhì)配方即可求最值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)（x,y）在拋物線y2=4x上，所以收0,

因?yàn)閦=x2+；y2+3=x2+2x+3=（x+1）2+2,所以當(dāng)x=0時(shí)，z最小，最小值為3?

故選：B.

25.以x軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2的拋物線方程是（）

A.y2=8xB.y2=-8x

C./=8xxikr=-8xD.丁=8），或V=-8），

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為丁=±2PMp>0）.因?yàn)榻裹c(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2,所以5=2,所以2p=8,

所以拋物線方程為V=8x或V=-8x.

故選：C.

26.已知圓丁+9=產(chǎn)(廠>0)與拋物線),2=3、.相交于知，N,且|MN|=26,則”()

A.夜B.2C.2GD.4

【答案】B

【分析】由圓與拋物線的對(duì)稱性及|MN|=2G,可得M點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線得橫坐標(biāo)，求出IOMI即可

得解.

【詳解】因?yàn)閳A二，(，>0)與拋物線丁=3x相交于M,N,且|MN|=2X/5,

由對(duì)稱性，不妨設(shè)M(x,75),

代入拋物線方程，貝!J3=3x,解得x=l,

所以

故r=|OM|==2

故選：B

④多選題與填空題

二、多選題

27.(多選)拋物線V=8x的焦點(diǎn)為R點(diǎn)P在拋物線上，若|PQ=5,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(3,276)B.(3,-276)

C.(-3,25/6)D.(-3,-2>/6)

【答案】AB

【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),利用拋物線的定義可得x—(—2)=5,求得x=3代入拋物線方程中可求出

y的值，從而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)

【詳解】拋物線y2-8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),

V|PF|=5,Ax-(-2)=5,???x=3.，把x=3代入方程y2=8x得y2=24,:.、=土2瓜

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,±25/6).

故選：AB.

28.已知拋物線的焦點(diǎn)在直線1-2>-4=。上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.y-=16xB.?=-8yC.x-=16vD..r=Sy

【答案】AB

【分析】分別求出選項(xiàng)中各拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線檢驗(yàn)即可得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,拋物線），=16/開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,在直線x-2y-4=0上；

對(duì)于B,拋物線開口向下，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,在直線工-2打4=0上；

對(duì)于C,拋物線V=16y開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）,不在直線x-2y-4=。上；

對(duì)于D,拋物線/=8），開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,不在直線x-2y-4=0上；

故選：AB.

29.已知拋物線C:/=4），的焦點(diǎn)為立點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M（l,3）,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.|尸產(chǎn)|的最小值為2

B.拋物線。關(guān)于x軸對(duì)稱

C.過點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條

D.點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)/距離之和的最小值為4

【答案】AB

【分析】根據(jù)焦半徑公式結(jié)合條件判斷A,由拋物線的對(duì)稱性判斷B,由直線與拋物線的位置關(guān)系判斷C,

結(jié)合拋物線的定義，把|尸耳轉(zhuǎn)化為。到準(zhǔn)線的距離后可求得題中距離和的最小值判斷D.

【詳解】設(shè)P5，%）,則片=4幾，%之。，又拋物線的焦點(diǎn)為尸（0,1）,

對(duì)A,由題可知|夕尸卜治+出1,%=。時(shí)，等號(hào)成立，所以歸產(chǎn)|的最小值是LA錯(cuò)；

對(duì)B,拋物線的焦點(diǎn)在V軸上，拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，B錯(cuò)；

對(duì)C,由題知點(diǎn)M在拋物線的內(nèi)部（含有焦點(diǎn)的部分），因此過“與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)

公共點(diǎn)，其他直線與拋物線都有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；

對(duì)D,記拋物線的準(zhǔn)線為/,準(zhǔn)線方程為），=-1,

過尸作P〃_L/于〃，過M作MN_U于N,則|QF|=|/W|,|?陷+|?目=1網(wǎng)+|尸M，

所以當(dāng)M,P,〃三點(diǎn)共線，即4與N重合時(shí)，|PM|十|P目最小，最小值為3+1=4.D正確.

故選：AB.

30.如圖，拋物線C：尸=2沖（〃>0）的焦點(diǎn)為尸，過拋物線C上一點(diǎn)P（點(diǎn)尸在第一象限）作準(zhǔn)線/的垂

線，垂足為"廳落為邊長為8的等邊三角形.則（)

C.點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（636）D.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,4月

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：拋物線C的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線為x=-5,

設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q,

在RlZV/FQ中，則=尸=60。，|?？?〃，

可得|〃F|==2p=8,解得〃=4,故A錯(cuò)誤，B正確；

cos9Z.3HFsQ

V\H（^^\QF\tanZHFQ=73/7=473,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為|。川-|國|=8-2=6,且點(diǎn)P在第一象限,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6.46），故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

31.已知拋物線。:），2=2庶（〃>0）的焦點(diǎn)為/4,（））,夕為。上的一動(dòng)點(diǎn)，A（5』），則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃=4B.當(dāng)巴口_x軸時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8

C.歸目的最小值為4D.|到+|叩的最小值為9

【答案】CD

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得〃=8，即可判斷A,根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷B,根據(jù)焦半徑以及自變量的范圍即

可判斷C,根據(jù)三點(diǎn)共線即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由拋物線。：），2=2〃式（〃>。）的焦點(diǎn)為尸（4,0）可知5=4=“=8,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,當(dāng)PF_Lx軸時(shí)，則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為4,將其代入V=16x中得y=±8,故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,設(shè)“（孫兒），則陽=毛+勺為+4,由于與雙所以|所|=七+4",故陽的最小值為4,故C

正確，

對(duì)于D,過〃作PM垂直于準(zhǔn)線于M,過A作AZ?垂直于準(zhǔn)線于E,

^\P^+\PF\=\PA\+\PM\>\AM\>\AE\=69當(dāng)p,E,A三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

故D正確；

故選：CD

32.若經(jīng)過點(diǎn)外1,3）的直線與拋物線C:y2=2px（〃>0）恒有公共點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線可能是（）.

A.x=-2B.x=-3

C.X--42D.x=-2V2

【答案】BD

【分析】由題意得，點(diǎn)尸（L3）在拋物線上或其內(nèi)部，則后23,求出，的范圍，即可得出答案.

【詳解】由題意得，點(diǎn)P（L3）在拋物線上或其內(nèi)部，則32《2p,而之3,解得〃之會(huì)

?,?其準(zhǔn)線為X=-y<一'.

故選:BD.

33.已知拋物線C：）r=2pMp>0）的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)尸旦斜率為G的直線/與拋物線C交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)

（點(diǎn)4在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)7若|A/H=8,則以下結(jié)論正確的是（）

A.〃=4B.DF=FA

C.\BD\=^BF\D.|8尸|=4

【答案】AB

【分析】過A,6作拋物線C的準(zhǔn)線〃，的垂線，結(jié)合拋物線定義可得AAQ"為正三角形，從而可求出產(chǎn)”的

長度即為〃的值即可判斷A,再根據(jù)歸川=：但/|=；|人同即可確定尸為AD中點(diǎn)即可判斷B,再利用拋物線

的定義可判斷C,D.

如圖所示，分別過4B作拋物線C的準(zhǔn)線，〃的垂線，垂足為已加，

拋物線的準(zhǔn)線交火?軸于點(diǎn)尸，則|P尸卜〃，

由于直線/的斜率為石，則傾斜角為60,

因?yàn)?E〃工軸，所以NE4尸=60,

由拋物線的定義可知M目二|人臼,所以"是等邊三角形，

所以N￡Q=ZAE/=60,

則NPE尸=30,所以|的=年日=2|叩=2〃=8,解得〃=4,A正確；

因?yàn)閨AE|=|E尸|=2|「用，又PFHAE,所以尸為人。中點(diǎn)，則OF=E4，B正確；

所以/DAE=60",ZADE=30，所以|砌=2忸M=2忸川，C錯(cuò)誤；

11Q

因?yàn)殁疃?他尸|=學(xué)陰=觸錯(cuò)誤,

故選:AB

34.已知拋物線C：y=：/的焦點(diǎn)為Rp為c上一點(diǎn)、,下列說法正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-l

B.直線y=x-i與C相切

C.若M（0,4）,則歸M的最小值為4

D.若M（3,5）,則△尸加尸的周長的最小值為11

【答案】ABD

【分析】確定〃=2,尸(0,1),設(shè)尸(即為),計(jì)算A正確,聯(lián)立方程得到B正確，|尸叫=河不后W26,

C錯(cuò)誤，過點(diǎn)尸作尸〃垂直于準(zhǔn)線于，，計(jì)算得到D正確，得到答案.

【詳解】拋物線C：y=1x2,即爐=今，〃=2,產(chǎn)(0,1),設(shè)〃(如兒)，

對(duì)選項(xiàng)A：拋物線C的準(zhǔn)線方程為)，=-5=-1,正確；

對(duì)選項(xiàng)B：整理得到(“-2)2=0,方程有唯一解，故相切，正確；

對(duì)選項(xiàng)C|PM|=>/片+(為=&，0-2)2+1222班,%=2〉0時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：過點(diǎn)/，作尸〃垂直于準(zhǔn)線于“，|叫+歸根+|例閆=|月根+|“片+|尸”|之屈不+5+1=11，當(dāng)

M，P，”共線時(shí)等號(hào)成立，正確.

故選：ABD

三、填空題

35.已知拋物紙C:y2=2px的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)夕(3,26)在拋物線。上，貝I」「日=

【答案】4

【分析】先求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出|MF|.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(3,26)為拋物線丁2=2*(〃>0)上一點(diǎn)，

所以(26Y=2px3,解得〃=2,所以焦點(diǎn)RL0),

所以歸目="3-1『+(26-0『=4.

故答案為：4.

36.已知拋物線f=2?，的焦點(diǎn)在直線3x+2)，-6=0上，則。=.

【答案】6

【分析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】拋物線-=20的焦點(diǎn)為(0,；｝焦點(diǎn)在直線3xi2y6=0上

2x—6=0.,.a=6

2

故答案為：0

37.有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車

輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m,若行車道總寬度為7.2m,則車輛通

過隧道時(shí)的限制高度為m.

【答案】3.8

【分析】由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，明確點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線方程，可得答案.

則E（-4.8,-4.8）,尸（4.8,-4.8）,D（T.8,-7.2）,C（4.8,-7.2）,

如圖可設(shè)，拋物線方程為y=將七代入，可得T.8=a.(4.8)2,求得。=-±=-三,

'4.824

故拋物線方程為

24

將工=3.6代入拋物線方程，可得y=x(3.6)2=.I,

7.2-0.7-2.7=3.8.

故答案為：3.8.

38.已知拋物線氏./=24(〃>0)的焦點(diǎn)為E,過點(diǎn)尸的直線/與拋物線交于41兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于C點(diǎn),

廣為AC的中點(diǎn)，且耳=3,則〃=.

3

【答案】-

【分析】利用拋物線的定義結(jié)合三角形中位線定理求解即可.

【詳解】設(shè))'軸交準(zhǔn)線于N,過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q,因?yàn)槭瑸锳C的中點(diǎn)，且|4月=3,

則由拋物線的定義可得AQ=3,

39.設(shè)拋物線f=4)，的焦點(diǎn)為F,4為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足|AF|=2,尸為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，

則|以|+1Pq的最小值為.

【答案】275

【分析】設(shè)A(xO,y())(x0>0),根據(jù)拋物線的定義，由|AF|=yO+5,可得42,1),作出A關(guān)于直線y=-1對(duì)

稱的點(diǎn)為A,根據(jù)IP為+1P"1=1和I+1尸產(chǎn)閆相I可求得|PA|+|PF|的最小值;

【詳解】由x2=4y,知p=2,則焦點(diǎn)F(O,1),準(zhǔn)線y=-l.

依題意，設(shè)A(xO,yO)(xO>O),由定義，得|AF|=yO+^,即2=%+1,則>?=2—1=1,

???八(2,1),AF_Ly軸，如圖：設(shè)A關(guān)于直線)，=-1對(duì)稱的點(diǎn)為A,則A(2,-3),

=

貝1」|24|+|「”|=|2411+1。尸以％1"二不=2石，當(dāng)且僅當(dāng)，的坐標(biāo)為(LT)時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：2石

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用A關(guān)于直線)，=-1對(duì)稱的點(diǎn)為A求|PA|+|PF|的最小值是解題關(guān)鍵.

40.已知過拋物線）1=4工的焦點(diǎn)”且傾斜角為6G的直線與拋物線交于A3兩點(diǎn)，則弦43的中點(diǎn)到尸軸的

距離為.

52

【答案】

【分析】由題意求得直線":），=瓜-6得出AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系為：小/=與，再由拋物線的

定義可得結(jié)果.

【詳解】易知：拋物線V=4x的焦點(diǎn)/（1,0）且準(zhǔn)線x=-1,

如圖所示：設(shè)AB中點(diǎn)為。過A、B、。分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為EG、H,設(shè)?！迸cy軸交于D,

:.直線A8:），=&-6，與拋物線方程y2=4x聯(lián)立可得3/一]0x+3=0,45，

由梯形中位線可知：2|CH|=BG|+|AE|=xfi+l+xA+l=y+2=2|CD|+2,則|CD|=g.

故答案為：（

41.已知拋物線C：）R=2px（〃>0）的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A,8在拋物線C上，且滿足設(shè)

線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d,則卵的最小值為.

a

【答案】a

【分析】作輔助線，利用拋物線的定義可知直角梯形的兩底分別為|AF|,忸耳，利用梯形的中位線定理表

示出"，進(jìn)而表示出網(wǎng)，再根據(jù)基本不等式求得最小值.

a

【詳解】如圖示：設(shè)AB的中點(diǎn)為M,分別過點(diǎn)ARM作準(zhǔn)線I的垂線，垂足為C,D,N,

設(shè)|AF|二a,\BF\=b,貝!j|Aq=a,|BZ)|二Z?,

MN為梯形ACDB的中位線，則"二|用時(shí)二審,

由AFJ_BF.可得|A8|=后工7,故苧二嗎普

因?yàn)?+6之史也當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

2

故IABIJVT/二&（4+/》二口

da+ba+b

故答案為：夜.

42.若P,。分別是拋物線％2=3，與圓（工-3）2+），2=1上的點(diǎn)，則|PQ|的最小值為

【答案】V5-1

【分析】設(shè)點(diǎn)網(wǎng)即片），圓心C（3,0）,|叫的最小值即為|“|的最小值減去圓的半徑，求出|色的最小值

即可得解.

【詳解】依題可設(shè)夕（小,石），圓心C（3,0）,根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，

歸0的最小值即為|CP|的最小值減去半徑.

因?yàn)閨C斤二（%-3『+（豆；-0）~=*+玉；一6/+9,xeR,

設(shè)f（x）=A4+x2-6x+9,

/（力=4/+2~6=2（公。（2/+21+3）,由于2丁+2x+3=2|x+[+工＞0恒成立,

、2）2

所以函數(shù)/（X）在（-00,1）上遞減，在（1,內(nèi)）上遞增，即&=*）=5,

所以|CP|n“n=^＞l,即的最小值為百-1.

故答案為：＞/5—1.

四、高考真題及模擬題精選

一、單選題

1.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)【））已知A為拋物線C:>2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)

A到C的焦點(diǎn)的距離為12,至Uy軸的距離為9,則〃=（）

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.

【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,由拋物線的定義知|從用=/+曰=12,即12=9+與，解得〃=6.

故選：C.

2.（2021年全國新高考0卷數(shù)學(xué)試題）拋物線/=2〃4（〃>0）的焦點(diǎn)到直線），=工+1的距離為&,則〃=（）

A.1B.2C.242D.4

【答案】B

【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得〃的值.

【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

￡-oi

其到直線x-），+l=。的距離：+=&,解得：P=2（p=-6舍去）.故選：B.

x/iTT

3.（2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)廠為拋物線C:J=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)4在C上，點(diǎn)以3,0）,若

\AF\=\BF\,則|陽=（）

A.2B.2\/2C.3D.3及

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)A坐標(biāo)，即可

得到答案.

【詳解】由題意得，尸（1,0）,則4目=忸尸|=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在工軸上方，代入得，4（1,2）,所以=2）2=20.

故選：B

4.（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)拋物線的J貝點(diǎn)為。，焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/.P是拋物線上異于。的一

點(diǎn)，過，作尸Q，/于Q,則線段尸Q的垂直平分線（）.

A.經(jīng)過點(diǎn)。B.經(jīng)過點(diǎn)P

C.平行于直線0PD.垂直于直線。戶

【答案】B

【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在x軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可

知，線段尸Q的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)兒即求解.

【詳解】如圖所示:

因?yàn)榫€段R2的垂直平分線上的點(diǎn)到EQ的距離相等，又點(diǎn)P在拋物線上，根據(jù)定義可知，|尸。|=|爐|,所

以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022年高考天津卷（回憶版）數(shù)學(xué)真題）已知拋物線V=4石x,不鳥分別是雙曲線捺-5=1（”0,力＞0）

的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)匕，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A,若=則雙曲

線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

.x->,

A.-----y-=1B.

10-

x),

C.x2-^-=lD.-----y-=1

44

【答案】C

【分析】由已知可得出C的值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo),分析可得|4周二|月6|，由此可得出關(guān)于，、/八。的方程

組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】拋物線一），2=46大的準(zhǔn)線方程為犬=-石，則。=石，則6（-6,0）、%（百,0）,

bX=-CZ,

y=-x

不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立.〃可得be,即點(diǎn)A-C,二

y=—Va

a

因?yàn)锳￡_L6入且N"鳥A=:,則尸2A為等腰直角三角形，

且M=|耳閭，即?=2c,可得3=2,

-=2

aa=1

所以，卜=石，解得〃=2,因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一￡二1.

2224

c=a+hC=V5

故選：C.

6.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）己知雙曲線，-營=13>0法>0）的右焦點(diǎn)與拋物線丁=2/“5>0）的焦點(diǎn)

重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于4,B兩點(diǎn),交雙曲線的漸近線于。、。兩點(diǎn)，若|CD|=0|A8|.則雙曲線

的離心率為（）

A.&B.75C.2D.3

【答案】A

【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為（。,0）,進(jìn)而可得準(zhǔn)線為*=-。，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得

再由雙曲線離心率公式即可得解.

【詳解】設(shè)雙曲線￡=1（。>0力>0）與拋物線y2=2px（p>0）的公共焦點(diǎn)為（c,o）,

則拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線為X=-。，

令I(lǐng),則捺一￡=1,解得…j所以卜用=當(dāng)，

又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為），=土，x,所以=

所以四￡=2至，即°=&,所以所以雙曲線的離心率e=￡=應(yīng).

aa2a

故選：A.

二、多選題

7.（2022年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)41,1）在拋物線。：/=2〃），（〃>（））上，過點(diǎn)

仇。，-1）的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=7B.直線/W與C相切

C.|O"|OQ|>|CM『